2025年上学期高二数学目标设定评估试题

2025年上学期高二数学目标设定评估试题一、选择题（共10题，每题6分，共60分）已知函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax^2$在$x=1$处取得极值，且$f'(2)=3$，则实数$a$的值为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$在等差数列${a_n}$中，$a_3+a_7=18$，前9项和$S_9=81$，则$a_5$的值为（）A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期和对称轴方程分别为（）A.$\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$B.$2\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$C.$\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$D.$2\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$已知空间向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec{b}=(m,1,3)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$m$的值为（）A.$-3$B.$-1$C.$1$D.$3$双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的渐近线方程和离心率分别为（）A.$y=\pm\frac{3}{2}x$，$e=\frac{\sqrt{13}}{2}$B.$y=\pm\frac{2}{3}x$，$e=\frac{\sqrt{13}}{3}$C.$y=\pm\frac{3}{2}x$，$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$D.$y=\pm\frac{2}{3}x$，$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[-1,3]$上的最大值为（）A.$2$B.$0$C.$-2$D.$-4$在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{4}$，则$c$的值为（）A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{13}$C.$4$D.$5$已知正四棱锥的底面边长为$2$，侧棱长为$\sqrt{5}$，则该棱锥的体积为（）A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.$4$D.$8$若数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则$a_5$的值为（）A.$15$B.$31$C.$63$D.$127$抛物线$y^2=4x$上一点$P$到焦点的距离为$5$，则点$P$的坐标为（）A.$(4,4)$或$(4,-4)$B.$(5,2\sqrt{5})$或$(5,-2\sqrt{5})$C.$(3,2\sqrt{3})$或$(3,-2\sqrt{3})$D.$(2,2\sqrt{2})$或$(2,-2\sqrt{2})$二、填空题（共6题，每题5分，共30分）函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域为________，值域为________。曲线$y=x^3-2x+1$在点$(1,0)$处的切线方程为________。已知$\tan\alpha=2$，则$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$________。若直线$l:y=kx+1$与圆$C:x^2+y^2-2x-3=0$相切，则$k$的值为________。在$\triangleABC$中，$D$为$BC$中点，$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec{b}$，则$\vec{AD}=$________（用$\vec{a},\vec{b}$表示）。若函数$f(x)=\log_a(x+1)(a>0,a\neq1)$在区间$[0,1]$上的最大值与最小值之和为$2$，则$a$的值为________。三、解答题（共6题，共60分）（10分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求：（1）函数$f(x)$的单调区间；（2）函数$f(x)$在区间$[-1,2]$上的最值。（10分）在等差数列${a_n}$中，$a_1=2$，公差$d=2$，数列${b_n}$满足$b_n=2^{a_n}$。（1）求数列${a_n}$和${b_n}$的通项公式；（2）求数列${b_n}$的前$n$项和$S_n$。（10分）已知函数$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分图像如图所示，其中最高点为$(\frac{\pi}{6},2)$，相邻对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。（1）求函数$f(x)$的解析式；（2）求函数$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的取值范围。（10分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$BC$中点。（1）求证：$A_1D\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）求直线$A_1B$与平面$ADC_1$所成角的正弦值。（10分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）设直线$l:y=kx+m$与椭圆$C$交于$A,B$两点，若$OA\perpOB$（$O$为坐标原点），求$m$的取值范围。（10分）某工厂生产一种产品，每件成本为$40$元，销售单价为$60$元，每月可销售$1000$件。为了扩大销售，工厂决定降价促销，经市场调研发现，销售单价每降低$1$元，每月销量可增加$100$件。设销售单价降低$x$元（$x\geq0$），每月利润为$y$元。（1）求$y$与$x$的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润为多少？参考答案及评分标准一、选择题C2.C3.A4.B5.A6.A7.B8.A9.B10.A二、填空题$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$，$(-\infty,4)\cup(4,+\infty)$12.$y=x-1$13.$3$14.$\pm1$15.$\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$16.$2$三、解答题（1）$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。单调递增区间为$(-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})$，$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$；单调递减区间为$(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})$。（5分）（2）$f(-1)=-5$，$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}+1$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1$，$f(2)=1$。最大值为$1$，最小值为$-5$。（5分）（1）$a_n=2n$，$b_n=4^n$。（5分）（2）$S_n=\frac{4(4^n-1)}{3}$。（5分）（1）$A=2$，$\omega=2$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$，$f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$。（5分）（2）取值范围为$[1,2]$。（5分）（1）证明：以$A$为原点，$AB,AC,AA_1$为坐标轴建立空间直角坐标系，$A_1(0,0,2)$，$D(1,1,0)$，$\vec{A_1D}=(1,1,-2)$，$\vec{BC}=(-2,2,0)$，$\vec{BB_1}=(0,0,2)$，$\vec{A_1D}\cdot\vec{BC}=0$，$\vec{A_1D}\cdot\vec{BB_1}=0$，故$A_1D\perp$平面$BCC_1B_1$。（5分）（2）直线$A_1B$与平面$ADC_1$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。（5分）（1）$a^2=8$，$b^2=2$，椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（5分）（2）$