2025年上学期高二数学能力拓展训练（二）

2025年上学期高二数学能力拓展训练（二）一、函数与导数综合应用题型一：函数单调性与极值的综合问题例题：已知函数$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在区间$(2,3)$上单调递减，求实数$a$的取值范围。解析：求导分析：对函数求导得$f'(x)=3x^2-6ax+3$，由题意知$f'(x)\leq0$在$(2,3)$上恒成立。分离参数：$3x^2-6ax+3\leq0\Rightarrowa\geq\frac{x^2+1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$。构造新函数：设$g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，需满足$a\geqg(x)_{\text{max}}$在$(2,3)$上成立。求最值：对$g(x)$求导得$g'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x^2}$，在$(2,3)$上$g'(x)>0$，故$g(x)$单调递增。因此$g(x)_{\text{max}}<g(3)=\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$，所以$a\geq\frac{5}{3}$。解题思路总结：利用导数与单调性的关系转化为不等式恒成立问题；通过分离参数将问题转化为求函数最值；注意定义域对函数单调性的影响，避免忽略端点值验证。题型二：导数在实际问题中的应用例题：某工厂生产一种无盖圆柱形容器，容积为$3\pi$立方米，已知底面材料单价是侧面材料单价的2倍，如何设计容器尺寸使总造价最低？解析：设变量：设底面半径为$r$，高为$h$，侧面材料单价为$k$，则底面单价为$2k$。建立关系：由容积$V=\pir^2h=3\pi\Rightarrowh=\frac{3}{r^2}$。造价函数：总造价$C=2k\cdot\pir^2+k\cdot2\pirh=2k\pir^2+2k\pir\cdot\frac{3}{r^2}=2k\pi\left(r^2+\frac{3}{r}\right)$。求导求最值：对$C(r)=r^2+\frac{3}{r}$求导得$C'(r)=2r-\frac{3}{r^2}$，令$C'(r)=0\Rightarrowr=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$。验证极值：当$r<\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$时$C'(r)<0$，当$r>\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$时$C'(r)>0$，故$r=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$时造价最低，此时$h=2\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$。解题思路总结：关键在于建立目标函数，明确自变量与因变量的关系；利用导数求函数极值时，需结合实际意义确定定义域；结果需验证是否符合实际问题的约束条件（如尺寸为正数）。二、立体几何综合题型题型一：空间几何体的体积与表面积例题：已知三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=2$，求三棱锥外接球的表面积。解析：补形法：将三棱锥补形为长方体，其中$PA$、$AB$、$BC$为长方体的三条棱，长分别为2、2、2。求外接球直径：长方体体对角线长即为外接球直径$2R=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\RightarrowR=\sqrt{3}$。计算表面积：$S=4\piR^2=12\pi$。解题思路总结：不规则几何体的外接球问题可通过补形法转化为规则几何体（如长方体、正方体）；利用“体对角线等于外接球直径”快速求解半径；常见补形模型：墙角模型（三条棱两两垂直）、侧棱垂直底面模型等。题型二：空间线面位置关系的证明与计算例题：如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC$，$D$为$AB$中点，求证：$AC_1\parallel$平面$CDB_1$。证明：构造中位线：连接$BC_1$交$B_1C$于点$O$，连接$OD$。证明线线平行：在$\triangleABC_1$中，$O$为$BC_1$中点，$D$为$AB$中点，故$OD\parallelAC_1$。线面平行判定：因为$OD\subset$平面$CDB_1$，$AC_1\not\subset$平面$CDB_1$，所以$AC_1\parallel$平面$CDB_1$。解题思路总结：证明线面平行的常用方法：构造中位线、平行四边形或利用面面平行性质；辅助线添加需结合几何体特征，如三棱柱中常利用侧棱平行或对角线交点；书写证明过程需严格遵循定理条件，避免逻辑断层。三、概率统计综合题型题型一：几何概型与古典概型的综合例题：在区间$[0,2]$上任取两个实数$x$，$y$，求事件“$x^2+y^2\leq1$且$x+y\geq1$”发生的概率。解析：确定样本空间：$x,y\in[0,2]$，样本空间为边长为2的正方形，面积$S_{\Omega}=4$。确定事件区域：$x^2+y^2\leq1$表示以原点为圆心，半径1的四分之一圆（第一象限），面积$S_1=\frac{\pi}{4}$；$x+y\geq1$表示直线$x+y=1$右上方区域，与四分之一圆的交集为扇形减去三角形。计算交集面积：扇形面积：$\frac{1}{4}\pi\times1^2=\frac{\pi}{4}$；三角形面积：$\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$；交集面积$S_A=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$。计算概率：$P=\frac{S_A}{S_{\Omega}}=\frac{\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}}{4}=\frac{\pi-2}{16}$。解题思路总结：几何概型问题关键是将样本空间和事件转化为几何图形；利用数形结合法确定区域边界，注意变量取值范围对图形的限制；复杂区域面积计算可通过“补形法”或“分割法”简化。题型二：统计与概率的综合应用例题：某学校为了解学生数学成绩与课外辅导的关系，随机调查100名学生，数据如下表：成绩优秀成绩不优秀总计参加辅导2030未参加辅导1040总计3070（1）根据表中数据，判断是否有95%的把握认为成绩优秀与参加辅导有关；（2）从成绩优秀的学生中随机选取2人，求至少有1人参加辅导的概率。解析：（1）独立性检验：计算卡方值$\chi^2=\frac{100\times(20\times40-10\times30)^2}{50\times50\times30\times70}=\frac{100\times500^2}{50\times50\times30\times70}\approx4.762$。因为$4.762>3.841$（$95%$置信度对应的临界值），故有95%的把握认为两者有关。（2）古典概型计算：成绩优秀学生共30人，其中参加辅导20人（记为A类），未参加10人（记为B类）。总基本事件数：$C_{30}^2=435$。对立事件“两人均未参加辅导”的事件数：$C_{10}^2=45$。因此所求概率$P=1-\frac{45}{435}=\frac{26}{29}$。解题思路总结：独立性检验需正确计算$\chi^2$值，并与临界值比较；概率计算中，“至少”“至多”类问题优先考虑对立事件；注意区分“有放回”与“无放回”抽样对基本事件数的影响。四、综合创新题型题型：跨模块知识综合应用例题：已知函数$f(x)=e^x-ax^2$在$[0,+\infty)$上单调递增，且三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$BC=2\sqrt{3}$，$PA=f(1)$。（1）求实数$a$的值；（2）求三棱锥外接球的体积。解析：（1）导数与单调性：$f'(x)=e^x-2ax\geq0$在$[0,+\infty)$恒成立。当$x=0$时，$f'(0)=1\geq0$；当$x>0$时，$a\leq\frac{e^x}{2x}$，设$h(x)=\frac{e^x}{2x}$，求导得$h'(x)=\frac{e^x(x-1)}{2x^2}$。当$x=1$时$h(x)$取最小值$h(1)=\frac{e}{2}$，故$a\leq\frac{e}{2}$。又因为题目隐含$a$为唯一值（结合立体几何条件），故$a=\frac{e}{2}$，此时$f(1)=e-\frac{e}{2}\times1=\frac{e}{2}$。（2）立体几何与球：在$\triangleABC$中，由余弦定理得$\cos\angleBAC=\frac{2^2+2^2-(2\sqrt{3})^2}{2\times2\times2}=-\frac{1}{2}$，故$\angleBAC=120^\circ$。$\triangleABC$外接圆半径$r=\frac{BC}{2\sin\angleBAC}=\frac{2\sqrt{3}}{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$。三棱锥外接球半径$R=\sqrt{r^2+\left(\frac{PA}{2}\right)^2}=\sqrt{2^2+\left(\frac{e}{4}\right)^2}$，体积$V=\frac{4}{3}\piR^3$。解题思路总结：跨模块综合题需分解为单一知识点逐步突破；注意前后问题的关联性，前一问的结论往往是后一问的已知条件；灵活运用数学思想（如函数与方程思想、数形结合思想）串联不同模块知识。五、拓展提升训练题型一：函数与数列的综合例题：已知函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$，数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$。（1）求证：$\left{\frac{1}{a_n}\right}$是等差数列；（2）设$b_n=\frac{a_n}{n+1}$，求数列${b_n}$的前$n$项和$S_n$。题型二：立体几何中的动态问题例题：在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$在棱$CC_1$上运动，求三棱锥$P-ABD$体积的最大值及此时$P$点位置。题型三：概率与函数的综合例题：在区间$[