2025年下学期高中数学统计性技术试卷

2025年下学期高中数学统计性技术试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某学校为了解学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行调查，得到如下频率分布直方图.则这100名学生每周锻炼时长的中位数约为（）A.6.5小时B.7.0小时C.7.5小时D.8.0小时解答过程：由频率分布直方图可知，组距为2小时，各区间频率依次为：[4,6)：0.1×2=0.2[6,8)：0.2×2=0.4[8,10)：0.15×2=0.3[10,12]：0.05×2=0.1中位数需满足前半部分频率之和为0.5.前两组频率之和为0.2+0.4=0.6>0.5，故中位数在[6,8)内.设中位数为x，则0.2+(x-6)×0.2=0.5，解得x=7.5.答案：C2.某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(50,4)，现从一批零件中随机抽取10个，测得尺寸如下（单位：mm）：48,51,50,49,52,50,47,53,50,49.则该样本的方差为（）A.2.8B.3.0C.3.2D.3.6解答过程：样本均值$\bar{x}=\frac{48+51+50+49+52+50+47+53+50+49}{10}=50$.方差$s^2=\frac{1}{10}[(48-50)^2+(51-50)^2+...+(49-50)^2]=\frac{1}{10}[4+1+0+1+4+0+9+9+0+1]=\frac{30}{10}=3$.答案：B3.为研究某药物对高血压患者的疗效，随机选取100名患者，其中50人服用药物（实验组），50人服用安慰剂（对照组），结果如下表：疗效有效无效实验组3515对照组2030则$\chi^2$统计量的值为（）A.6.25B.7.29C.8.33D.9.67解答过程：根据列联表，计算期望频数：实验组有效：$\frac{55×50}{100}=27.5$，无效：$\frac{45×50}{100}=22.5$对照组有效：$\frac{55×50}{100}=27.5$，无效：$\frac{45×50}{100}=22.5$$\chi^2=\frac{(35-27.5)^2}{27.5}+\frac{(15-22.5)^2}{22.5}+\frac{(20-27.5)^2}{27.5}+\frac{(30-22.5)^2}{22.5}\approx8.33$.答案：C4.已知一组数据$x_1,x_2,...,x_n$的方差为$s^2$，若将每个数据乘以2后加3，则新数据的方差为（）A.$2s^2+3$B.$4s^2$C.$2s^2$D.$4s^2+3$解答过程：设原数据均值为$\bar{x}$，新数据$y_i=2x_i+3$，则新均值$\bar{y}=2\bar{x}+3$.新方差$s_y^2=\frac{1}{n}\sum(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n}\sum(2x_i+3-2\bar{x}-3)^2=\frac{1}{n}\sum[2(x_i-\bar{x})]^2=4×\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2=4s^2$.答案：B5.在回归分析中，若变量x与y的样本相关系数$r=-0.95$，则下列说法正确的是（）A.x与y正相关，相关性较弱B.x与y负相关，相关性较弱C.x与y正相关，相关性较强D.x与y负相关，相关性较强解答过程：相关系数$r$的取值范围为$[-1,1]$，$|r|$越接近1，相关性越强.$r=-0.95$表明x与y负相关，且$|r|$接近1，相关性较强.答案：D6.某射手射击命中率为0.8，现独立射击5次，记命中次数为X，则$P(X=3)$的值为（）A.$C_5^3×0.8^3×0.2^2$B.$C_5^3×0.8^2×0.2^3$C.$0.8^3×0.2^2$D.$0.8^2×0.2^3$解答过程：X服从二项分布$B(5,0.8)$，故$P(X=k)=C_5^k×0.8^k×0.2^{5-k}$.当k=3时，$P(X=3)=C_5^3×0.8^3×0.2^2$.答案：A7.某地区高考数学成绩X服从正态分布N(100,100)，现随机抽取1名考生，其成绩在[80,120]内的概率为（）（参考数据：$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6827$，$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=0.9545$）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.8413解答过程：由X~N(100,100)可知，$\mu=100$，$\sigma=10$.[80,120]即$[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$，故概率为0.9545.答案：B8.用系统抽样法从1000名学生中抽取50名做问卷调查，将学生编号为1~1000，按编号顺序平均分成50组（1~20号，21~40号，…，981~1000号），若第3组抽出的号码为24，则第8组抽出的号码为（）A.64B.84C.104D.124解答过程：系统抽样的间隔为$\frac{1000}{50}=20$.设第1组抽出号码为a，则第3组号码为$a+2×20=24$，解得$a=4$.第8组号码为$4+7×20=144$？（注：原选项无144，可能题目组距为20，第3组为21~40，抽出号码为24=21+3，故第8组为141~160，抽出号码为141+3=144.若题目选项设置有误，推测正确答案应为144，但根据现有选项，可能题目中“第3组抽出号码为24”应为“第3组抽出号码为44”，则第8组为44+5×20=144，仍无匹配选项.此处按原题数据，可能选项C应为144，暂选C.）答案：C9.以下关于统计图表的说法错误的是（）A.频率分布直方图中，各小矩形的面积之和为1B.茎叶图可保留原始数据，便于记录和比较C.扇形图可直观展示各部分占总体的比例D.折线图适用于展示数据的分布特征解答过程：折线图主要用于展示数据的变化趋势，而非分布特征.分布特征通常用直方图或箱线图展示.答案：D10.已知样本数据$x_1,x_2,...,x_5$的均值为5，方差为4，加入一个新数据5后，新样本的方差为（）A.$\frac{10}{3}$B.$\frac{16}{5}$C.3D.4解答过程：原样本总和为$5×5=25$，加入新数据5后，总和为30，新均值$\bar{x}=6$.原样本方差$s^2=\frac{1}{5}\sum(x_i-5)^2=4$，故$\sum(x_i-5)^2=20$.新方差$s'^2=\frac{1}{6}[\sum(x_i-5)^2+(5-6)^2]=\frac{1}{6}(20+1)=\frac{21}{6}=3.5$？（注：原计算有误，新均值应为$\frac{25+5}{6}=5$，故$s'^2=\frac{1}{6}[20+(5-5)^2]=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\approx3.33$.答案：A）11.为比较甲、乙两种水稻的产量稳定性，分别抽取10亩田块测产，得到方差$s_甲^2=20$，$s_乙^2=30$，则（）A.甲产量更稳定B.乙产量更稳定C.两者稳定性相同D.无法比较解答过程：方差越小，数据越稳定.因$s_甲^2<s_乙^2$，故甲产量更稳定.答案：A12.在独立性检验中，若$\chi^2>6.635$，则有（）的把握认为两个变量相关.（参考数据：$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$）A.90%B.95%C.99%D.99.9%解答过程：$\chi^2>6.635$对应的显著性水平为0.01，故有99%的把握认为两个变量相关.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某班50名学生数学考试成绩的茎叶图如下（单位：分）：6|02587|1346798|023568899|01245710|0则该班成绩的众数为________.解答过程：众数是出现次数最多的数.由茎叶图可知，88出现2次，其他数均出现1次，故众数为88.答案：8814.已知随机变量X的分布列为：X123P0.20.50.3则$E(X)=$________.解答过程：期望$E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=0.2+1+0.9=2.1$.答案：2.115.从5件正品和2件次品中随机抽取2件，恰有1件次品的概率为________.解答过程：总基本事件数$C_7^2=21$，恰有1件次品的事件数$C_5^1×C_2^1=10$，故概率$P=\frac{10}{21}$.答案：$\frac{10}{21}$16.某线性回归方程为$\hat{y}=1.5x+2$，若样本点$(x=4,y=8)$在回归直线上，则残差为________.解答过程：残差$e=y-\hat{y}=8-(1.5×4+2)=8-8=0$.答案：0三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）某中学为了解学生视力情况，随机抽取100名学生进行视力检测，结果如下表：视力[4.0,4.3)[4.3,4.6)[4.6,4.9)[4.9,5.2]人数5205025（1）求这100名学生视力的平均数（同一组数据用区间中点值代替）；（2）估计该校1000名学生中视力在[4.6,5.2]内的人数.解答过程：（1）区间中点值依次为4.15,4.45,4.75,5.05.平均数$\bar{x}=\frac{5×4.15+20×4.45+50×4.75+25×5.05}{100}=\frac{20.75+89+237.5+126.25}{100}=\frac{473.5}{100}=4.735$.（2）视力在[4.6,5.2]内的频率为$\frac{50+25}{100}=0.75$，故估计人数为$1000×0.75=750$.18.（12分）某工厂生产的零件直径X（单位：mm）服从正态分布N(10,$\sigma^2$)，现从一批零件中随机抽取25个，测得样本标准差$s=0.8$，求：（1）$\sigma^2$的置信区间（置信水平95%，$\chi_{0.025}^2(24)=39.364$，$\chi_{0.975}^2(24)=12.401$）；（2）若$\sigma=0.5$，求$P(X>10.5)$.解答过程：（1）$\sigma^2$的置信区间公式为$\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)},\frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}\right)$.代入$n=25$，$s=0.8$，得$(n-1)s^2=24×0.64=15.36$.置信区间为$\left(\frac{15.36}{39.364},\frac{15.36}{12.401}\right)\approx(0.39,1.24)$.（2）X~N(10,0.25)，则$P(X>10.5)=1-\Phi\left(\frac{10.5-10}{0.5}\right)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$.19.（12分）为研究学生每天学习时间与成绩的关系，随机抽取10名学生，得到如下数据：学习时间x（小时）234567891011成绩y（分）50606570758085889095（1）求y关于x的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；（2）预测学习时间为12小时的学生成绩.解答过程：（1）计算得$\bar{x}=6.5$，$\bar{y}=75.8$，$\sumx_i^2=486$，$\sumx_iy_i=5385$.$\hat{b}=\frac{\sumx_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sumx_i^2-n\bar{x}^2}=\frac{5385-10×6.5×75.8}{486-10×42.25}=\frac{5385-4927}{486-422.5}=\frac{458}{63.5}\approx7.21$.$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=75.8-7.21×6.5\approx75.8-46.87=28.93$.回归方程为$\hat{y}=7.21x+28.93$.（2）当x=12时，$\hat{y}=7.21×12+28.93\approx86.52+28.93=115.45$（分）.20.（12分）某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现连续射击5次，记命中次数为X.（1）求X的分布列；（2）求$E(X)$和$D(X)$.解答过程：（1）X~B(5,0.6)，分布列为：|X|0|1|2|3|4|5||----|---|---|---|---|---|---||P|$0.4^5$|$C_5^1×0.6×0.4^4$|$C_5^2×0.6^2×0.4^3$|$C_5^3×0.6^3×0.4^2$|$C_5^4×0.6^4×0.4$|$0.6^5$|计算得P(X=0)=0.01024，P(X=1)=0.0768，P(X=2)=0.2304，P(X=3)=0.3456，P(X=4)=0.2592，P(X=5)=0.07776.（2）$E(X)=np=5×0.6=3$，$D(X)=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2$.21.（12分）为比较A、B两种教学方法的效果，随机选取A方法30人，B方法25人进行测试，结果A方法平均成绩85分，标准差5分；B方法平均成绩82分，标准差6分.假设两总体方差相等，在显著性水平$\alpha=0.05$下，检验两种方法效果是否有差异（$t_{0.025}(53)=2.006$）.解答过程：提出假设$H_0:\mu_1=\mu_2$，$H_1:\mu_1\neq\mu_2$.合并方差$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{29×25+24×36}{53}=\frac{725+864}{53}=\frac{1589}{53}\approx30$.检验统计量$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{85-82}{\sqrt{30}×\sqrt{\frac{1}{30}+\frac{1}{25}}}\approx\frac{3}{\sqrt{30}×0.27}\approx2.06>2.006$.拒绝$H_0$，认为两种方法效果有显著差异.22.（12分）某超市为提升销售额，对