2025年下学期高中数学运算求解试卷

2025年下学期高中数学运算求解试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2函数f(x)=ln(x²-2x-3)的定义域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)的值为（）A.-7√2/10B.7√2/10C.-√2/10D.√2/10已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则公比q的值为（）A.2B.-2C.3D.-3函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,1]上的最大值是（）A.0B.2C.4D.6已知直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a²-1=0平行，则实数a的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.36从5名男生和4名女生中选出3人参加志愿者活动，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）A.70种B.80种C.90种D.100种已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)，则椭圆C的方程为（）A.x²/8+y²/2=1B.x²/10+y²/5=1C.x²/12+y²/3=1D.x²/16+y²/4=1已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期为π，且f(π/12)=2，则φ的值为（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=x²-2x，则函数f(x)在区间[-2,4]上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若复数z=(1+i)(2-i)，则|z|=________.曲线y=x³-2x+1在点(1,0)处的切线方程为________.已知圆C:x²+y²-4x+6y-3=0，则圆C的圆心坐标为________，半径为________.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1处取得极大值7，在x=3处取得极小值，则a=，b=，c=________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S10=100.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2^an，求数列{bn}的前n项和Tn.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB=(2a-b)cosC.（1）求角C的大小；（2）若c=√7，△ABC的面积为3√3/2，求a+b的值.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2.（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角A-PC-B的余弦值.（本小题满分12分）某学校为了解学生的数学学习情况，从高二年级随机抽取了100名学生进行数学成绩测试，得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计这100名学生数学成绩的平均数和中位数；（3）若从成绩在[80,90)和[90,100]的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[90,100]的概率.（本小题满分12分）已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=8.（1）求直线AB的方程；（2）设点P是抛物线C上的动点，求点P到直线AB的距离的最小值.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1x2>e².参考答案一、选择题C2.A3.A4.C5.A6.B7.A8.B9.B10.A11.C12.C二、填空题√1014.y=x-115.(2,-3)，416.-3，-9，2三、解答题解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得：a3=a1+2d=5S10=10a1+45d=100解得：a1=1，d=2所以数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.（2）由（1）得bn=2^an=2^(2n-1)=2×4^(n-1)所以数列{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列所以Tn=2(1-4^n)/(1-4)=2(4^n-1)/3.解：（1）由正弦定理得：sinCcosB=(2sinA-sinB)cosC即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC所以sin(B+C)=2sinAcosC因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA所以sinA=2sinAcosC因为sinA≠0，所以cosC=1/2因为0<C<π，所以C=π/3.（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC即7=a²+b²-ab因为△ABC的面积为3√3/2，所以1/2absinC=3√3/2即1/2ab×√3/2=3√3/2，所以ab=6所以a²+b²=7+ab=13所以(a+b)²=a²+b²+2ab=13+12=25所以a+b=5.（1）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC因为AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.（2）解：以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)所以PC=(0,2,-2)，BC=(-2,2,0)设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)则n·PC=0，n·BC=0即2y-2z=0，-2x+2y=0令y=1，则z=1，x=1，所以n=(1,1,1)平面APC的法向量为m=(1,0,0)所以cos<m,n>=m·n/|m||n|=1/√3=√3/3因为二面角A-PC-B为锐角，所以二面角A-PC-B的余弦值为√3/3.解：（1）由频率分布直方图得：(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1解得a=0.01.（2）平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5设中位数为x，则：0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5解得x=75.（3）成绩在[80,90)的学生有0.25×100=25人，成绩在[90,100]的学生有0.15×100=15人从这40名学生中随机抽取2人，共有C(40,2)=780种不同的选法至少有1人成绩在[90,100]的选法有C(15,1)C(25,1)+C(15,2)=15×25+105=375+105=480种所以所求概率为480/780=8/13.解：（1）抛物线C:y²=4x的焦点F(1,0)，准线l:x=-1设直线AB的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)联立方程组：y²=4x，x=my+1消去x得：y²-4my-4=0所以y1+y2=4m，y1y2=-4所以|AB|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=m(y1+y2)+2+2=4m²+4=8所以4m²=4，m²=1，m=±1所以直线AB的方程为x=y+1或x=-y+1，即x-y-1=0或x+y-1=0.（2）设点P(t²/4,t)点P到直线AB的距离d=|t²/4±t-1|/√2当直线AB的方程为x-y-1=0时，d=|t²/4-t-1|/√2=|(t-2)²/4-2|/√2当t=2时，d取得最小值，最小值为|0-2|/√2=√2同理，当直线AB的方程为x+y-1=0时，点P到直线AB的距离的最小值也为√2所以点P到直线AB的距离的最小值为√2.解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)f'(x)=1/x-a当a≤0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增当a>0时，令f'(x)=0，得x=1/a当0<x<1/a时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增当x>1/a时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减所以当a>0时，函数f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减.（2）证明：因为函数f(x)有两个零点x1，x2，不妨设x1>x2>0所以lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0即lnx1=ax1，lnx2=ax2两式相加得lnx1+lnx2=a(x1+x2)两式相减得lnx1-lnx2=a(x1-x2)所以a=(lnx1-lnx2)/(x1-x2)要证x1x2>e²，只需证lnx1+lnx2>2即证a(x1+x2)>2即证(lnx1-lnx2)/(x1-x2)×(x1+x2)>2即证ln(x1/x2)×(x1