2025年上学期高二数学用样本估计总体试题

2025年上学期高二数学用样本估计总体试题一、知识点讲解（一）用样本估计总体的基本概念用样本估计总体是统计的核心思想，其基本前提是样本的容量恰当且抽样方法合理。在容许一定误差存在的前提下，用样本估计总体能节省人力和物力，尤其在总体数据不可能全部获得时更具必要性。需要注意的是，估计结果一般存在误差，但随着样本容量的增大，估计误差很小的可能性将越来越大。误差产生的原因主要包括样本抽取的随机性、抽样方法不合适导致代表性差以及样本容量偏少等。（二）用样本的数字特征估计总体的数字特征集中趋势参数：包括平均数、中位数、众数和百分位数，用于描述数据的平均水平或中心位置。平均数是所有数据的算术平均值，易受极端值影响；中位数是将数据排序后位于中间位置的数值，不受极端值干扰；众数是出现次数最多的数据值，可用于描述分类数据的集中趋势；百分位数则能反映数据在某一位置上的分布情况，如第25百分位数（下四分位数）和第75百分位数（上四分位数）。离散程度参数：主要有极差、方差和标准差，用于衡量数据围绕中心位置的波动大小。极差是数据中的最大值与最小值之差，计算简单但仅考虑两个极端值；方差是每个数据与平均数之差的平方的平均值，能全面反映数据的离散程度；标准差是方差的算术平方根，与原始数据具有相同的量纲，更便于实际应用。一般来说，方差和标准差越大，数据的离散程度越大，稳定性越差；反之，数据越集中，稳定性越好。（三）分层抽样下的样本均值与方差计算当总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样方法。假设第一层有m个数，平均数为(\overline{x})，方差为(s^2)；第二层有n个数，平均数为(\overline{y})，方差为(t^2)。则样本均值(A)的计算公式为(A=\frac{m\overline{x}+n\overline{y}}{m+n})，样本方差(B^2)的计算需考虑各层数据与总均值的偏离程度，公式为(B^2=\frac{1}{m+n}[m(s^2+(\overline{x}-A)^2)+n(t^2+(\overline{y}-A)^2)])。（四）用样本分布估计总体分布样本分布是指样本数据的频率分布情况，常用频率分布直方图来直观展示。通过频率分布直方图可以估计总体的取值规律，其中众数对应最高矩形底边中点的横坐标；中位数是使直方图左右两侧面积相等的数值；平均数则是每个小矩形底边中点的横坐标乘以其面积之和。二、例题分析（一）用样本数字特征估计总体数字特征例题1：对划艇运动员甲、乙在相同条件下进行6次测试，测得他们每次的最大速度（m/s）如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36。试判断谁的成绩更稳定。解析：首先计算两人的平均速度，甲的平均速度(\overline{x}_甲=\frac{27+38+30+37+35+31}{6}=33)m/s，乙的平均速度(\overline{x}_乙=\frac{33+29+38+34+28+36}{6}=33)m/s。两人平均速度相同，需进一步比较方差。甲的方差(s_甲^2=\frac{1}{6}[(27-33)^2+(38-33)^2+(30-33)^2+(37-33)^2+(35-33)^2+(31-33)^2]=\frac{1}{6}×94≈15.7)，乙的方差(s_乙^2=\frac{1}{6}[(33-33)^2+(29-33)^2+(38-33)^2+(34-33)^2+(28-33)^2+(36-33)^2]=\frac{1}{6}×76≈12.7)。因为(s_甲^2>s_乙^2)，所以乙的成绩更稳定。例题2：抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92。求成绩较为稳定的运动员的方差。解析：甲的平均成绩(\overline{x}_甲=\frac{87+91+90+89+93}{5}=90)环，乙的平均成绩(\overline{x}_乙=\frac{89+90+91+88+92}{5}=90)环。甲的方差(s_甲^2=\frac{1}{5}[(87-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(89-90)^2+(93-90)^2]=4)，乙的方差(s_乙^2=\frac{1}{5}[(89-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(88-90)^2+(92-90)^2]=2)。因此，乙的成绩更稳定，其方差为2。（二）分层抽样下的总体数字特征估计例题3：某学校在上报高一年级学生肺活量数据时采用分层抽样方法，抽取男生20人，肺活量平均数为3000mL，方差为10；抽取女生30人，肺活量平均数为2500mL，方差为20。试估计高一年级全体学生肺活量的平均数与方差。解析：设男生人数为(m=20)，女生人数为(n=30)，男生平均肺活量(\overline{x}=3000)mL，女生平均肺活量(\overline{y}=2500)mL。全体学生肺活量的平均数(A=\frac{m\overline{x}+n\overline{y}}{m+n}=\frac{20×3000+30×2500}{20+30}=2700)mL。方差计算如下：先计算各层数据与总均值的偏差平方，男生偏差平方为((3000-2700)^2=90000)，女生偏差平方为((2500-2700)^2=40000)。则总体方差(B^2=\frac{1}{m+n}[m(s^2+(\overline{x}-A)^2)+n(t^2+(\overline{y}-A)^2)]=\frac{1}{50}[20×(10+90000)+30×(20+40000)]=\frac{1}{50}[20×90010+30×40020]=\frac{1}{50}[1800200+1200600]=\frac{3000800}{50}=60016)。（三）用频率分布直方图估计总体分布例题4：从高三年级全体学生中抽出50名学生参加数学竞赛，成绩频率分布直方图如下（假设分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，对应的频率分别为0.04，0.06，0.20，0.30，0.24，0.16）。试求：（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生成绩的平均数。解析：（1）众数是频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标，最高矩形对应[70,80)组，故众数为75。计算中位数时，先确定中位数所在区间。前三个区间频率之和为0.04+0.06+0.20=0.30，第四个区间频率为0.30，0.30+0.30=0.60>0.5，所以中位数位于[70,80)组。设中位数为x，由0.30+(x-70)×0.030=0.5，解得x≈76.7。（2）平均数为各区间中点值与对应频率乘积之和，即45×0.04+55×0.06+65×0.20+75×0.30+85×0.24+95×0.16=1.8+3.3+13+22.5+20.4+15.2=76.2。例题5：某校随机调查200名学生每周自习时间（单位：小时），频率分布直方图中分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]，对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1。估计该校2000名学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数。解析：每周自习时间不少于22.5小时的频率为0.35+0.3+0.1=0.75，所以该校2000名学生中相应人数约为2000×0.75=1500人。（四）综合应用例题6：我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒。估计这批米内夹谷的数量。解析：样本中夹谷的频率为(\frac{28}{254})，用样本频率估计总体频率，可得这批米内夹谷约为1534×(\frac{28}{254})≈169石。例题7：某医院急救中心随机抽取20位病人，等待时间（单位：分钟）记录如下表：[0,5)组频数4，[5,10)组频数8，[10,15)组频数5，[15,20)组频数2，[20,25]组频数1。估计该医院急救中心病人的平均等待时间。解析：各区间中点值分别为2.5，7.5，12.5，17.5，22.5，对应的频率分别为0.2，0.4，0.25，0.1，0.05。平均等待时间为2.5×0.2+7.5×0.4+12.5×0.25+17.5×0.1+22.5