2025年上学期高二数学周测（第十二周）

2025年上学期高二数学周测（第十二周）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位），则(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\frac{3\sqrt{2}}{2})C.(\frac{5}{2})D.(\frac{\sqrt{10}}{2})设命题(p:\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+2x_0+3\leq0)，则(\negp)为（）A.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+2x+3>0)B.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+2x+3\leq0)C.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+2x_0+3>0)D.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+2x_0+3\geq0)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则(m=)（）A.-3B.-1C.1D.3函数(f(x)=\ln(x^2-2x-3))的单调递减区间是（）A.((-\infty,-1))B.((-\infty,1))C.((1,+\infty))D.((3,+\infty))已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，则公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（注：此处省略三视图，实际试卷中需配图，其直观图为底面半径2cm、高3cm的圆柱挖去一个同底等高的圆锥）A.(4\pi,\text{cm}^3)B.(6\pi,\text{cm}^3)C.(8\pi,\text{cm}^3)D.(12\pi,\text{cm}^3)已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知(\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3})，则(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=)（）A.(-\frac{1}{3})B.(\frac{1}{3})C.(-\frac{2\sqrt{2}}{3})D.(\frac{2\sqrt{2}}{3})执行如图所示的程序框图（注：此处省略程序框图，其功能为计算(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})，当(S>3)时输出(n)），则输出的(n=)（）A.10B.11C.12D.13已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分图象如图所示（注：此处省略图象，其相邻对称轴间距离为(\frac{\pi}{2})，且过点(\left(\frac{\pi}{6},1\right))），则(\omega+\varphi=)（）A.(2+\frac{\pi}{6})B.(2+\frac{\pi}{3})C.(4+\frac{\pi}{6})D.(4+\frac{\pi}{3})已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线(l)与(C)交于(A,B)两点，若(|AF|=3|BF|)，则直线(l)的斜率为（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm2)D.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)处取得极大值，在(x=3)处取得极小值，则(a+b=)（）A.-15B.-9C.1D.9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）曲线(y=x^3-2x+1)在点((1,0))处的切线方程为__________。若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x-y+1\geq0\x+y-3\leq0\y\geq0\end{cases})，则(z=2x-y)的最大值为__________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，则(c=)__________。已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，则(f(f(-1))=)；若(f(a)=\frac{1}{2})，则(a=)。（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分12分）某学校为了解高二学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生的数学周测成绩（满分150分），并将数据整理得到如下频率分布直方图（注：此处省略直方图，各组数据区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，对应的频率分别为0.05，0.10，0.20，0.30，0.15，0.15，0.05）。（1）求这100名学生数学周测成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若成绩不低于120分为“优秀”，现从这100名学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩为“优秀”的概率。（本小题满分12分）如图，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，侧棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱锥(C_1-ADC)的体积。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦点分别为(F_1,F_2)，离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((2,\sqrt{2}))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）过点(F_2)的直线(l)与椭圆(C)交于(A,B)两点，若(\triangleAF_1B)的面积为(\frac{16}{3})，求直线(l)的方程。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在(x=1)处取得极大值，求实数(a)的取值范围。（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，已知直线(l)的参数方程为(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases})（(t)为参数，(\alpha)为倾斜角），以坐标原点为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C)的极坐标方程为(\rho=4\cos\theta)。（1）求曲线(C)的直角坐标方程；（2）设直线(l)与曲线(C)交于(A,B)两点，若(|AB|=2\sqrt{3})，求(\alpha)的值。参考答案及评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题D2.A3.A4.A5.C6.A7.A8.A9.C10.B11.A12.B二、填空题(y=x-1)14.415.(\sqrt{7})16.-1；(-1)或(\sqrt{2})三、解答题（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，由(a_2=5)，(S_5=35)，得(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+10d=35\end{cases})，解得(a_1=3)，(d=2)，故(a_n=2n+1)。（5分）（2）(b_n=2^{2n+1}=2\cdot4^n)，则(T_n=2(4+4^2+\cdots+4^n)=\frac{8(4^n-1)}{3})。（10分）（1）平均数(\bar{x}=85\times0.05+95\times0.10+105\times0.20+115\times0.30+125\times0.15+135\times0.15+145\times0.05=114.5)。（5分）（2）“优秀”人数为(100\times(0.15+0.15+0.05)=35)人，记“至少有1人优秀”为事件(A)，则(P(A)=1-\frac{\binom{65}{2}}{\binom{100}{2}}=\frac{199}{294})。（12分）（1）连接(A_1C)交(AC_1)于点(O)，连接(OD)，则(O)为(A_1C)中点，又(D)为(BC)中点，故(OD\parallelA_1B)，由线面平行判定定理得证。（6分）（2）(V_{C_1-ADC}=\frac{1}{3}S_{\triangleADC}\cdotCC_1=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times1\times2=\frac{2}{3})。（12分）（1）由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，得(a=\sqrt{2}c)，(b=c)，将点((2,\sqrt{2}))代入椭圆方程得(c^2=4)，故椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)。（5分）（2）设直线(l:x=my+2)，联立椭圆方程得((m^2+2)y^2+4my-4=0)，则(|y_1-y_2|=\frac{4\sqrt{2(m^2+1)}}{m^2+2})，由(S_{\triangleAF_1B}=\frac{1}{2}\times4\times|y_1-y_2|=\frac{16}{3})，解得(m=\pm1)，故直线(l:x\pmy-2=0)。（12分）（1）当(a=1)时，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)，令(f'(x)=0)得(x=1)，当(x\in(0,1))时(f'(x)>0)，当(x\in(1,+\infty))时(f'(x)<0)，故(f