2025年上学期高三数学“数学功能材料”中的数学知识试题（一）

2025年上学期高三数学“数学功能材料”中的数学知识试题（一）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.功能材料的微观结构分析中，常用到集合工具描述原子分布区域。设集合(A={x|\lnx\leq1})（表示材料结晶区的原子坐标范围），集合(B={x|-1\leqx\leq1})（表示材料非结晶区的原子坐标范围），则(A\capB)对应材料的过渡区域坐标范围为（）A.({x|-1\leqx\leqe})B.({x|0<x\leqe})C.({x|0<x\leq1})D.({x|-1\leqx\leq1})2.压电材料的振动频率模型可表示为函数(f(x)=\sin2x+\sqrt{3}\cos2x)，下列关于该函数性质的说法正确的是（）A.函数(f(x))的图象关于直线(x=\frac{\pi}{3})对称B.函数(f(x))的图象关于点(\left(\frac{\pi}{4},0\right))对称C.把函数(f(x))的图象向左平移(\frac{\pi}{12})个单位可得到(y=2\sin2x)的图象D.函数(f(x))的最小正周期为(\pi)，且在(\left[0,\frac{\pi}{6}\right])上单调递减3.超导材料的临界温度计算中涉及复数运算，瑞士数学家欧拉提出的欧拉公式(e^{ix}=\cosx+i\sinx)是重要工具。若某超导材料的临界温度对应复数为(e^{\frac{\pi}{4}i})，则下列结论正确的是（）A.(e^{\pii}=1)B.(e^{\frac{\pi}{2}i}=1+i)C.复数(e^{\frac{\pi}{4}i})在复平面内对应的点位于第二象限D.(|e^{\frac{\pi}{3}i}|=1)4.纳米材料的颗粒生长过程可视为等差数列模型。已知某纳米颗粒的直径序列({a_n})为等差数列，前(n)项和为(S_n)，且(a_7+2S_4=18)，(a_3=3)，则(S_{10}=)（）A.240B.60C.180D.1205.磁性材料的磁畴分布可抽象为圆与直线的位置关系问题。若圆(C_1:(x+1)^2+(y-2)^2=4)表示某磁畴的边界，直线(l:x-y+1=0)为材料的晶界，另一个磁畴边界圆(C_2)的圆心为((2,1))，半径为(r)，若两磁畴边界圆与晶界(l)均相交且不重合，则(r)的取值范围为（）A.((3,+\infty))B.((\sqrt{5},+\infty))C.((3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}))且(r\neq2)D.((\sqrt{5}-2,\sqrt{5}+2))且(r\neq2)6.光电材料的光吸收效率函数为(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{\sinx})（(x\in(-\pi,\pi))且(x\neq0)），则其函数图象大致为（）A.关于原点对称的奇函数，在((0,\pi))上单调递增B.关于原点对称的奇函数，在((0,\pi))上先增后减C.关于(y)轴对称的偶函数，在((0,\pi))上单调递减D.非奇非偶函数，在((0,\pi))上单调递增7.复合材料的强度计算涉及圆锥体积与侧面积的关系。现有两个圆锥型材料试件，母线长均为3，体积分别为(V_1,V_2)，侧面展开图面积分别为(S_1,S_2)，且(S_1+S_2=9\pi)，(\theta_1+\theta_2=\pi)（(\theta_1,\theta_2)为侧面展开图圆心角），则(|V_1-V_2|=)（）A.(2\sqrt{2})B.(\frac{\sqrt{10}}{10})C.(\sqrt{10})D.(\frac{2\sqrt{2}}{3})8.智能材料的响应特性满足函数方程(f(xy)=xf(y)+yf(x))（(x,y\in(0,+\infty))），若(f(e)=e)（(e)为自然对数底数），则下列结论错误的是（）A.(f\left(\frac{e^2}{e^2}\right)=1)B.(f\left(\frac{e^{10}}{e^5}\right)=5e^5)C.(f(x))在((0,+\infty))上为增函数D.对任意(x>1)，有(f(x)>x)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）9.高分子材料的聚合度计算中需用到二项式定理。已知某聚合物的聚合度分布函数为((2x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}})^7)的展开式，则下列结论正确的是（）A.展开式共7项B.含(x)项的系数为480C.无常数项D.所有项的二项式系数之和为12810.晶体材料的原子堆积模型可抽象为正方体中的几何问题。在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(Q)为棱(CC_1)的中点，点(P)为棱(C_1D_1)上的动点（不与端点重合），则下列结论正确的是（）A.存在点(P)使得直线(B_1C\parallel)平面(DPQ)B.存在点(P)使得直线(A_1C_1\perp)平面(DPQ)C.存在点(P)使得(\triangleDPQ)的周长为(3+\sqrt{13})D.存在点(P)使得三棱锥(D_1-DPQ)的体积为(\frac{2}{3})11.储能材料的能量释放效率构成等比数列模型。设等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，前(n)项积为(T_n)，若满足(0<a_1<1)，(a_{2023}a_{2024}>1)，(\frac{a_{2023}-1}{a_{2024}-1}<0)，则下列结论正确的是（）A.({a_n})为递减数列B.(S_{2023}<S_{2024})C.当(n=2023)时，(T_n)最小D.当(T_n>1)时，(n)的最小值为404712.金属材料的疲劳强度测试数据符合正态分布。某批材料的疲劳强度测试值(X\simN(\mu,\sigma^2))，已知(P(X\leq2025)=0.3)，(P(X\geq2050)=0.2)，则下列结论正确的有（）A.(\mu\in(2025,2050))B.(P(2025<X<2050)=0.5)C.若(\sigma=10)，则(P(X>\mu+10)=0.1587)D.该批材料中约有68.27%的测试值落在区间((\mu-\sigma,\mu+\sigma))内二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.导电材料的电阻计算中，向量的数量积可用于分析电场强度与电流方向的关系。已知向量(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})的夹角为(\frac{5\pi}{6})，且(|\boldsymbol{a}|=2)，(|\boldsymbol{b}|=4)，则(|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=)__________。14.光学材料的折射路径满足椭圆方程。已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左、右焦点为(F_1,F_2)，过(F_2)的直线与椭圆交于(A,B)两点，若(|AF_1|=2|F_1B|)，(AB\perpF_1B)，则椭圆的离心率(e=)__________。15.形状记忆材料的恢复力函数为(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x+3)，若材料在温度(a)下的恢复力满足(f(2a-3)+f(a^2)\geq6)，则(a)的取值范围为__________。16.量子点材料的能级分布满足排列组合规律。现有4种不同的量子点材料，每种材料有2个完全相同的样本，将这8个样本放入3个不同的测试盒中，每个测试盒至少放2个样本，则不同的放置方法有__________种（用数字作答）。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）在新型陶瓷材料的配方优化中，需分析材料密度与成分比例的关系。某研究小组选取A、B两种原料，其质量比例(x\in[0,1])（A原料占比），对应的材料密度(\rho(x)=\sin(\pix)+\cos(\pix)+2)（单位：(g/cm^3)）。（1）求(\rho(x))在(x=\frac{1}{4})处的切线方程；（2）求(\rho(x))在([0,1])上的最大值及对应的原料比例(x)。18.（12分）超导材料的临界电流密度测试中，样本数据的统计分析至关重要。某实验室对100个超导材料样本的临界电流密度（单位：(A/mm^2)）进行检测，得到如下频率分布直方图：（注：直方图数据缺失，假设分组为([0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10])，对应的频率分别为0.1,0.2,0.4,0.2,0.1）（1）计算样本的平均临界电流密度及方差（同一组数据用区间中点值代替）；（2）若临界电流密度不低于6(A/mm^2)的样本为优质品，从样本中随机抽取3个，记优质品数量为(X)，求(X)的分布列及数学期望。19.（12分）在复合材料的层合结构中，层间应力分析需用立体几何知识。如图，在四棱锥(S-ABCD)中，四边形(ABCD)是边长为2的正方形，点(S)在底面(ABCD)上的射影为底面中心(O)，点(P)在棱(SD)上，且(\triangleSAC)的面积为1。（1）若点(P)是(SD)的中点，证明：平面(SCD\perp)平面(PAC)；（2）在棱(SD)上是否存在一点(P)，使得直线(SA)与平面(PAC)所成角的正弦值为(\frac{\sqrt{10}}{5})？若存在，求(\frac{SP}{PD})的值；若不存在，说明理由。20.（12分）智能温控材料的温度响应模型满足双曲线方程。已知双曲线(E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的右焦点为(F(2,0))，过(F)的直线(l)与双曲线交于(M,N)两点，当(l)垂直于(x)轴时，(|MN|=6)。（1）求双曲线(E)的标准方程；（2）设(M,N)在双曲线右支上，点(Q)在直线(x=\frac{a^2}{c})上（(c)为半焦距），若(\overrightarrow{QF}=2\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN})，求直线(l)的斜率。21.（12分）纳米催化材料的反应速率模型为(v(t)=te^{-kt}(t\geq0))，其中(k>0)为反应速率常数。（1）求反应速率(v(t))的最大值及对应的时间(t)；（2）若反应的总产率(Y=\int_0^{+\infty}v(t)dt)，当(Y=\frac{1}{4})时，求(k)的值；（3）证明：对任意(t\geq0)，有(v(t)\leq\frac{1}{e^2k^2})