2025年上学期高三数学核心素养水平测试（数学建模）

2025年上学期高三数学核心素养水平测试（数学建模）一、测试概述2025年上学期高三数学核心素养水平测试（数学建模）以《普通高中数学课程标准（2025年修订版）》为指导，全面考查学生数学建模核心素养的发展水平。测试采用"问题情境-建立模型-求解模型-检验反思"的命题框架，通过真实问题情境的创设，引导学生经历完整的数学建模过程，考查学生运用数学知识和方法解决实际问题的能力。测试内容覆盖函数、几何、概率统计等多个知识领域，强调知识的综合应用和跨学科融合，注重考查学生的创新意识和实践能力。二、测试内容与要求（一）数学建模过程的完整经历测试要求学生能够完整经历数学建模的全过程，包括从实际问题中抽象出数学问题、建立合适的数学模型、运用数学方法求解模型、对模型结果进行检验和反思等环节。具体表现为：能够从复杂的实际情境中提取关键信息，识别问题的数学本质；能够选择适当的数学工具和方法，建立合理的数学模型；能够运用数学知识和计算工具求解模型，并对结果进行分析和解释；能够检验模型的合理性和适用性，根据实际情况对模型进行修正和完善。（二）数学知识的综合应用测试注重考查学生对数学知识的综合应用能力，要求学生能够灵活运用函数、几何、代数、概率统计等多个领域的知识解决实际问题。例如，在解决优化问题时，学生需要综合运用函数的导数、不等式、线性规划等知识；在处理几何应用问题时，需要结合立体几何、解析几何等知识；在分析随机现象时，要能够运用概率、统计等知识进行建模和推断。这种综合应用能力的考查，打破了传统数学测试中知识领域的界限，强调知识之间的内在联系和融会贯通。（三）跨学科情境的问题解决测试题目常以跨学科的真实情境为背景，要求学生运用数学建模方法解决其他学科领域的问题。例如，在物理情境中，可能需要建立运动学模型或力学模型；在经济情境中，可能涉及成本效益分析、市场预测等模型；在生物情境中，可能需要建立种群增长模型或生态平衡模型。这种跨学科的问题设计，旨在考查学生将数学作为工具解决实际问题的能力，培养学生的学科素养迁移能力。（四）数学建模思想方法的运用测试注重考查学生对数学建模思想方法的掌握和运用，包括抽象概括、归纳类比、逻辑推理、数据分析等。例如，要求学生能够通过对具体问题的分析，抽象出一般规律，建立数学模型；能够运用归纳和类比的方法，从简单问题推广到复杂问题；能够通过逻辑推理，对模型的合理性进行论证；能够对数据进行收集、整理和分析，从中提取有用信息，支持模型的建立和求解。三、典型试题分析（一）函数与优化模型题问题情境：某快递公司计划在一个新的区域设立快递网点，需要考虑网点的位置选择、配送范围划分等问题。现有A、B两个候选地点，各有不同的租金成本和覆盖范围。假设该区域内的快递需求分布不均匀，且随着距离网点的增加，配送成本逐渐上升。请你为该快递公司设计一个网点选址和配送范围划分的方案，使得总成本（包括租金和配送成本）最低。考查要点：本题主要考查学生运用函数、优化等知识建立数学模型解决实际问题的能力。学生需要考虑网点的位置选择、配送范围的确定等因素，建立总成本的函数模型，通过求函数的最值来确定最优方案。在建模过程中，需要合理假设和简化问题，例如假设配送成本与距离成线性关系，需求分布可以用某种函数表示等。同时，还需要考虑模型的可行性和实际意义，对结果进行分析和解释。解题思路：首先，学生需要确定问题的变量和目标函数。设网点位置为变量，总成本为目标函数，包括租金成本和配送成本两部分。然后，根据题目中给出的条件，建立租金成本和配送成本与网点位置之间的函数关系。配送成本的计算需要考虑区域内的需求分布和距离因素，可以通过积分或离散化的方法进行计算。接下来，运用导数、线性规划等方法求解目标函数的最小值，得到最优的网点位置。最后，对结果进行检验和分析，讨论模型的假设条件对结果的影响，以及模型的适用范围。（二）概率统计与决策模型题问题情境：某电商平台为了提高用户满意度，计划推出一项新的售后服务政策。现有两种方案可供选择：方案A是提供免费退换货服务，但可能增加企业成本；方案B是提供有偿维修服务，价格较低但用户体验可能较差。为了评估两种方案的效果，平台收集了过去一段时间内的用户投诉数据和成本数据。请你根据这些数据，建立数学模型，分析比较两种方案的预期收益和风险，为平台提供决策建议。考查要点：本题考查学生运用概率统计知识进行数据分析和建模的能力，以及基于模型进行决策的能力。学生需要能够对数据进行整理和分析，提取有用信息；建立收益和风险的评估模型，考虑各种不确定因素的影响；运用概率统计方法对模型结果进行推断和预测，为决策提供科学依据。解题思路：首先，学生需要对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、描述性统计分析等，了解数据的分布特征和基本规律。然后，根据问题的目标，确定评估指标，如预期收益、投诉率、成本风险等。接下来，建立相应的统计模型，例如，通过回归分析建立成本与投诉率之间的关系，通过概率分布模型描述不确定因素的影响。运用统计推断方法，对两种方案的预期收益和风险进行估计和比较，例如计算期望收益、方差、分位数等。最后，综合考虑各种因素，为平台提供决策建议，并说明模型的局限性和改进方向。（三）几何与运动模型题问题情境：某城市计划修建一条新的地铁线路，需要考虑线路的走向、站点的设置等问题。假设该城市的地形可以用一个三维坐标系统来描述，地铁线路将穿越不同的地质区域，施工难度和成本各不相同。同时，需要考虑地铁线路与现有交通网络的衔接，以及对周边居民出行的便利性。请你建立数学模型，为该地铁线路的规划提供建议。考查要点：本题考查学生运用几何知识建立空间模型解决实际问题的能力，涉及立体几何、解析几何等知识。学生需要能够将实际的地理空间问题转化为几何模型，运用空间坐标系、曲线方程、距离计算等方法进行分析和求解。同时，需要考虑多种因素的综合影响，进行多目标优化。解题思路：首先，学生需要建立城市地形的三维几何模型，将地质区域、现有交通网络等信息整合到模型中。然后，根据地铁线路规划的目标和约束条件，如最短路径、最小成本、最大便利性等，确定优化目标和约束方程。运用解析几何方法，描述地铁线路的可能走向，例如用参数方程表示曲线。通过建立多目标优化模型，考虑施工成本、出行便利性等多个因素，求解最优的线路方案。在求解过程中，可能需要运用数值计算方法和优化算法。最后，对模型结果进行可视化展示和分析，评估方案的可行性和优缺点。四、教学建议（一）注重数学建模过程的教学在日常教学中，教师应注重引导学生完整经历数学建模的过程，而不是仅仅关注模型的求解结果。可以通过设计开放性的实际问题，让学生分组合作，从问题提出、模型建立、求解到检验反思，全程参与和体验。在这个过程中，教师要给予适当的指导和启发，帮助学生克服困难，培养学生的自主探究能力和创新精神。例如，在函数教学中，可以引入生活中的优化问题，让学生尝试建立函数模型，探究最优解；在几何教学中，可以结合建筑设计、路线规划等实际情境，培养学生的空间想象和几何建模能力。（二）加强知识的内在联系和综合应用教学中要打破传统的知识章节界限，注重知识之间的内在联系，引导学生构建完整的数学知识网络。通过设计综合性的问题和项目，促进学生对不同领域知识的综合应用。例如，可以围绕"城市交通问题"设计一个跨学科的项目学习，让学生运用函数、几何、概率统计等知识，分析交通流量、优化路线设计、评估交通政策等。这种教学方式不仅能够提高学生的知识应用能力，还能培养学生的系统思维和问题解决能力。（三）创设真实的问题情境教师应多创设真实、有趣的问题情境，将数学知识与生活实际、科技发展等紧密联系起来，激发学生的学习兴趣和应用意识。可以利用新闻报道、科研成果、社会热点等素材，设计具有时代性和挑战性的数学建模问题。例如，结合环境保护问题，设计"碳排放预测与控制"的建模问题；结合人工智能发展，设计"机器学习中的数据拟合"问题等。通过这些真实情境的问题解决，让学生体会数学的应用价值，增强数学建模的能力。（四）融入数学文化和跨学科元素在教学中适当融入数学文化内容，介绍数学建模的历史发展、著名数学家的贡献、数学在不同学科领域的应用等，帮助学生了解数学的文化内涵和科学价值，提升学生对数学学科的整体认知和学习兴趣。同时，加强与其他学科的联系和合作，开展跨学科的教学活动，如与物理、生物、地理等学科教师合作，设计联合教学项目，让学生在跨学科的情境中运用数学建模方法解决问题，培养学生的综合素养和创新能力。（五）合理运用信息技术信息技术的发展为数学建模教学提供了有力的支持。教师应合理选择和运用信息技术工具，如数学软件、编程平台、数据可视化工具等，辅助数学建模教学。例如，利用几何画板、GeoGebra等软件动态展示几何模型的构建过程；使用Python、R等编程语言进行数据分析和模型求解；借助大数据平台获取真实数据，开展数据分析和建模活动。通过信息技术与数学教学的深度融合，提高学生的计算能力和数据处理能力，拓展数学建模的广度和深度。（六）实施多元化的评价方式改变传统单一的纸笔测试评价方式，实施多元化的评价体系，注重过程性评价和终结性评价相结合。在数学建模教学中，可以通过观察学生的参与度、小组合作表现、模型构建过程、成果展示等多个方面进行评价。鼓励学生撰写数学建模报告、制作演示文稿