2.5　第1课时　直线与圆的位置关系

第二章

直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系学习目标1．能通过比较圆心到直线的距离与半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系．2．理解直线和圆的三种位置关系(相离、相切、相交)与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系．新知初探·基础落实一、

概念表述直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d，代数法：联立直线方程与圆的方程消元得到一元二次方程，并求得判别式Δ相交d______rΔ______0相切d______rΔ______0相离d______rΔ______0＜＞＝＝＞＜二、

概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． (

)(2)直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交，且l过圆心． (

)(3)若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a＞0)相切，则a＝4． (

)(4)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解． (

)×√×√典例精讲·能力初成探究1直线与圆的位置关系的判断

(教材P91例1补充)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0．求当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．1【解答】

方法一：将直线方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程并化简整理得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，且Δ＝4m(3m＋4)．直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可以通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但此方法有一定的局限性，题目所给的必须是过定点的直线系．探究2直线与圆相交、弦长公式

(教材P91例1补充)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；2【解答】

直线l的方程mx－y＋1－m＝0可转化为m(x－1)－y＋1＝0，所以l过定点(1，1)．因为12＋(1－1)2＝1＜5，所以点(1，1)在圆内，故直线l与圆C总有两个不同的交点．

(教材P91例1补充)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0．(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角α．【解答】2求直线与圆相交所得弦长的两种方法：图(1)注意：求弦长时，应注意斜率不存在的情形，有时还要注意斜率为0的情形．图(2)【解析】探究3直线与圆相切

(教材P92例2补充)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切．(1)求直线l的方程；3【解答】

因为(2－1)2＋(3＋2)2＞1，所以点P在圆外．②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2，也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2，也符合要求．

所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2．

(教材P92例2补充)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切．(2)求切线长．【解答】3当所求切线过已知点M时，务必要弄清点M在圆上还是在圆外．若点M在圆上，则圆心和点M的连线与切线垂直，从而可求得切线的斜率，继而可用直线的点斜式方程求得切线的方程．若点M在圆外，则过该点的切线有两条，但实际解题时求出的切线可能只有一条，此时要注意，另一条过该点的切线的斜率不存在，切勿遗漏．变式3

已知P是直线l：x－y＋6＝0上一动点，过点P作圆C：x2＋y2－4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB周长的最小值为 (

)【解析】B随堂内化·及时评价1．若直线l：y＝x与圆M：x2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，则|AB|等于 (

)【解析】D【解析】AC3．已知直线l：3x－4y＋6＝0，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝16，下列说法错误的是 (

)【解析】【答案】B【解析】5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，点P的坐标为(2，3)，那么过点P的圆的切线的方程是______________________，切线长是_____．【解析】②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，此时满足题意．

综上，过点P的圆的切线的方程为3x－4y＋6＝0和x＝2，切线长为2．3x－4y＋6＝0和x＝22配套新练案一、

单项选择题1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 (

)A．相交 B．相切C．相离 D．不确定【解析】A2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 (

)A．相交 B．相切C．相离 D．不确定【解析】方法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)．因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．A3．圆x2＋y2－4y＋3＝0上的点到直线3x－4y－2＝0的距离的取值范围是 (

)【解析】AA．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝8C．x2＋y2＝12 D．x2＋y2＝16【解析】C二、

多项选择题5．已知点P在圆C：x2－6x＋y2－6y＋14＝0上，直线AB：x＋y－2＝0，则 (

)A．直线AB与圆C相交 B．直线AB与圆C相离【解析】BCD6．已知直线l：x＋my－4＝0和圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，下列说法正确的是 (

)A．直线l恒过点(4，0)【解析】

对于A，直线l：x＋my－4＝0，当y＝0时，x＝4，所以直线l过定点(4，0)，故A正确．对于C，当m＝0时，直线l：x＝4，圆心C(2，1)到l：x＝4的距离为2，故直线l与圆C相切，故C正确．对于D，当直线l：x＋my－4＝0过圆心C时，截得的最长弦长为4，故D错误．【答案】ABC三、

填空题7．已知点C(m，0)，若以C为圆心的圆与直线3x＋y－1＝0相切于点T(1，n)，则圆C的标准方程是___________________．【解析】

根据题意，圆C与直线3x＋y－1＝0相切于点T(1，n)，则T(1，n)在直线3x＋y－1＝0上，所以3＋n－1＝0，解得n＝－2．(x－7)2＋y2＝408．设P是直线l：x＋y＋1＝0上的动点，过点P作圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4的切线，则切线长的最小值为_______．【解析】四、

解答题9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？【解答】9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．【解答】10．已知圆C经过A(2，0)，B(0，4)两点，且圆心C在直线x＋y－6＝0上．(1)求圆C的标准方程；【解答】10．已知圆C经过A(2，0)，B(0，4)两点，且圆心C在直线x＋y－6＝0上．【解答】【解析】【答案】A12．(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，那么 (

)A．直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0的距离是定值B．点(－a，b)一定在该圆外【解析】对于B，因为a＋b＝1且a，b均为正实数，所以0＜a＜1，(－a－b)2＋(b－1)2＝12＋