圆的一般方程公开课课件

圆的一般方程公开课课件1contents目录圆的基本概念与性质圆的一般方程及其推导直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆的切线性质及应用圆的综合应用举例201圆的基本概念与性质303圆的表示方法一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。01圆的定义平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。02基本要素圆心、半径。圆的定义及基本要素4123圆的中心，用字母O表示。圆心连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。半径通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表示，d=2r。直径圆心、半径与直径5C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。周长公式S=πr²。面积公式圆的周长和面积公式6圆弧圆上任意两点间的部分。扇形由两个半径和它们所夹的圆弧围成的图形。弓形由弦及其所对的弧围成的图形。圆弧、扇形及弓形区域702圆的一般方程及其推导8$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$标准方程形式$(a,b)$圆心坐标$r$半径表示以点$(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆方程意义圆的标准方程回顾9$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$一般方程形式通过配方将标准方程转化为一般方程形式，即$(x+frac{D}{2})^{2}+(y+frac{E}{2})^{2}=frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$推导过程表示一个圆，其中$D,E,F$为常数，且$D^{2}+E^{2}-4F>0$方程意义一般方程形式及推导过程10$(-frac{D}{2},-frac{E}{2})$圆心坐标求解$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$半径求解在求解过程中要确保$D^{2}+E^{2}-4F>0$，否则方程不表示一个圆。注意事项圆心坐标和半径求解方法11$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，此时$D=E=0$，$F=-r^{2}$圆心在原点$x^{2}+y^{2}+Dx=0$，此时$E=0$，圆心坐标为$(-frac{D}{2},0)$圆心在x轴上$x^{2}+y^{2}+Ey=0$，此时$D=0$，圆心坐标为$(0,-frac{E}{2})$圆心在y轴上$x^{2}+y^{2}=a$，此时$D=E=0$，$F=-a$半径为$sqrt{a}$的圆特殊情况下的圆方程1203直线与圆的位置关系13直线方程与圆方程联立，消元后得到一元二次方程，判断其判…若$Delta>0$，则直线与圆相交。要点一要点二利用圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$比较若$d<r$，则直线与圆相交。直线与圆相交条件判断14直线方程与圆方程联立，消元后得到一元二次方程，判断其判…若$Delta=0$，则直线与圆相切。要点一要点二利用圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$比较若$d=r$，则直线与圆相切。直线与圆相切条件判断15直线方程与圆方程联立，消元后得到一元二次方程，判断其判…若$Delta<0$，则直线与圆相离。要点一要点二利用圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$比较若$d>r$，则直线与圆相离。直线与圆相离条件判断161.例1判断直线$l:x+y=1$与圆$C:x^2+y^2=1$的位置关系。解析首先计算圆心$(0,0)$到直线$l$的距离$d=frac{|0+0-1|}{sqrt{1^2+1^2}}=frac{sqrt{2}}{2}$。由于圆的半径$r=1$，且$frac{sqrt{2}}{2}<1$，因此直线与圆相交。2.例2判断直线$l:x-y+1=0$与圆$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$的位置关系。典型例题解析17解析首先计算圆心$(1,1)$到直线$l$的距离$d=frac{|1-1+1|}{sqrt{1^2+(-1)^2}}=frac{sqrt{2}}{2}$。由于圆的半径$r=1$，且$frac{sqrt{2}}{2}=r$，因此直线与圆相切。3.例3判断直线$l:2x+y+3=0$与圆$C:x^2+y^2-4x+6y+9=0$的位置关系。解析将圆方程化为标准形式$(x-2)^2+(y+3)^2=4$，得到圆心$(2,-3)$和半径$r=2$。计算圆心到直线的距离$d=frac{|2times2+(-3)+3|}{sqrt{2^2+1^2}}=frac{4sqrt{5}}{5}$。由于$frac{4sqrt{5}}{5}>2$，因此直线与圆相离。典型例题解析1804圆与圆的位置关系19两圆相交条件判断两圆圆心距小于两圆半径之和，且大于两圆半径之差，则两圆相交。通过比较两圆方程，消元后得到一元二次方程，若该方程有两个不等实根，则两圆相交。20两圆相切条件判断两圆圆心距等于两圆半径之和或两圆半径之差，则两圆相切。通过比较两圆方程，消元后得到一元二次方程，若该方程有两个相等实根，则两圆相切。21VS两圆圆心距大于两圆半径之和或小于两圆半径之差（包含内含情况），则两圆相离。通过比较两圆方程，消元后得到一元二次方程，若该方程无实根，则两圆相离。两圆相离条件判断22例题1已知两圆的方程分别为$x^2+y^2=4$和$(x-3)^2+(y-4)^2=9$，判断两圆的位置关系。解析首先求出两圆的圆心距为5，再求出两圆的半径分别为2和3。由于圆心距大于半径之差且小于半径之和，所以两圆相交。例题2已知两圆的方程分别为$x^2+y^2+2x-4y-4=0$和$x^2+y^2-2x+8y-20=0$，判断两圆的位置关系。解析将两个圆的方程联立消元得到一个二次方程，求解该方程的判别式。由于判别式小于0，所以该方程无实根，因此两圆相离。01020304典型例题解析2305圆的切线性质及应用24与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线。切线的定义切线的性质定理推论1推论2圆的切线垂直于经过切点的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线性质定理回顾25切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。应用举例利用切线长定理可以解决与切线长有关的问题，如求切线长、证明线段相等、证明角相等或互补等。切线长定理及应用举例26切线在几何证明中的应用通过构造相似三角形并利用切线性质定理来证明比例关系。利用切线性质定理和相似三角形证明比例关系通过证明直线与半径垂直来证明直线是圆的切线。利用切线性质定理证明直线与圆相切通过构造切线并利用切线长定理来证明线段相等或角相等。利用切线长定理证明线段相等或角相等27解析例题2解析典型例题解析要证明DB为⊙O的切线，只需证明DB⊥OC。由于AD=DB，所以∠DAB=∠DBA。又因为OA⊥l，所以∠OAB=90°，从而∠DAB+∠OAB=90°。因此，∠DBA+∠OAB=90°，即DB⊥OC。所以，DB为⊙O的切线。已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D=30°，则∠A的度数为____°。连接OC，由于CD是⊙O的切线，所以OC⊥CD。在Rt△OCD中，∠D=30°，所以∠COD=60°。又因为OA=OC，所以∠A=∠OCA=30°。因此，∠A的度数为30°。2806圆的综合应用举例29圆的方程与性质掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的性质，如圆心、半径、直径等。直线与圆的位置关系理解直线与圆的三种位置关系——相离、相切、相交，并能运用相关知识点解决问题。圆锥曲线的综合应用了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的基本概念和性质，并能与圆的知识点结合，解决综合问题。涉及多个知识点综合问题30圆形物体的运动轨迹如研究行星绕太阳运动的轨迹、电子绕原子核运动的轨迹等。圆形物体的碰撞和反弹如研究两个圆形物体碰撞后的运动状态、光线在圆形镜子上的反射等。圆形物体的面积和周长计算如计算圆形花坛的面积、圆形水池的周长等。实际问题中圆的模型建立31创新性地构建圆的模型如将实际问题中的非圆形物体抽象为圆形模型，从而简化问题并找到解决方案。创新性地结合其他知识点如将圆的知识点与三角函数、向量等知识点结合，解决更为复杂的问题。创新性地运用圆的性质如利用圆的对称性简化问题、利用圆的旋转不变性解决问题等。创新思维在解决复杂问题中运用32已知圆C的方程为x^2+y^2=4，直线l