北师大版小学六年级数学下册易错题讲义第8讲正比例

第8讲正比例（讲义）

（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

知识梳理

1、变化的量。

生活中存在着许多相互依存的变量，一个量变化，另一个量也随着变化。

温馨提示：相关联的量必须是一个量变化，另一个量也随着变化。

2、正比例的意义。

两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的

两个数的比值（商）一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比

例关系。字母关系式为二=k（一定）o

X

3、判断两个量是否成正比例的方法。

关键看这两个相关联的量中相对应的两个数是比芍■是否一定，如果一定，就成正

比例；否则，就不成正比例。

4、正比例图象。

正比例图象是一条直线。

温馨提示：直线上的每个点都代表了和这两个量相对应的一组数。

易错汇总

1、当两个相关联的量相对应的两个数的比值不一定，而和一定时，它们不成正

比例关系0

2、当两个相关联的量相对应的两个数的比值一定时，这两种量才能成正比例关

系O

3、平均锯一次的时间一定，一共用的时间与锯的次数成正比例。

4、正比例图象是一条直线。

5、当两个相关联的量相对应的两个数的积不一定，而和一定时，它们不成比例。

易错精讲

【易错一】正比例图象是一条（）。

A,直线B.线段C.射线

【解题思路】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象

是一条过原点的直线。

【完整解答】由分析可知；正比例图象是一条直线。

故答案为：A

【点睛】本题考查了对正比例图象的认识，属于基础知识。

【易错二】84消毒液是一种无色或淡黄色的液体，是一种高效消毒剂。疫情期间被广泛用

于宾馆、旅游、医院、家庭、学校等的卫生消毒，消毒方法：擦拭，喷洒，拖洗消毒。常用

的有1：500和1：200两种84消毒液配制方法。

1：500的84消毒液配制如下：

加清水500克2500克5000克

84消毒液1毫升5毫升10毫升

假如现在是1：200的84消毒液配制，请完成下表:

加清水50C克2500克5000克

84消毒液_____亳升_____毫升_____毫升

【解题思路】根据题目可知，84消毒液：清水=1:200=；,由此即可知道84消毒液和

200

清水成的比值一定，则84消毒液和清水成正比例，84消毒液=—匚X清水，即当清水是500

200

克、2500克、5000克分别代入公式求出相应的84消毒液的毫升，由此即可解答。

【完整解答】由分析可知，84消毒液和清水成正比例

当加清水500克，需要84消毒液：500X-^-=2.5（毫升）；

当加清水2500克，需要84消毒液：2500X占=12.5（毫升）

200

当加清水5000克，需要84消毒液：5000X-^-=25(毫升)

【点睛】本题主要考查正比例的辨识以及正比例的应用，熟练掌握正比例的意义并灵活运

用。

【易错三】下面是某超市一种大米的质量和总价的统计表。

质量/千克051015202530

总价/元020406080

(1)先把上表填写完整，再把大米的质量与总价所对应的点在下图中描出来，并连线。

(2)大米的质量与总价成正比例关系吗？为什么？

(3)张阿姨买这种大米的总价是李阿姨的4倍，张阿姨买的大米的质量是李阿姨的

()倍。

【解题思路】(1)根据5千克总价20元，可以求出1千克的价钱，再乘25、乘30,求出

的数再填表即可：根据曲折线统计图的方法，把大米的质量与总价所对应的点在图中描出来，

再连线即可；

(2)判断两种相关的量成什么比例，就看这两种量是比值一定还剩乘积一定；如果比值一

定，成正比例，如果乘积一定，成反比例，判断出大米质量与总价成的比例：

(3)根据大米与总价成的比例，即可求出张阿姨买的大米的质量与李阿姨买的成什么比例，

据此解答。

【完整解答】⑴204-5=4(元)

25X4=100(元)

30X4=120(元)

质量/千克051015202530

总价/元020406080100120

（2）5:20=10：40=15：60=20：80=25：100=30：120=-（一定）

4

大米的质量与总价的比值一定，大米的质量与总价成正比例；

（3）大米的质量与总价成正比例，大米的质量与总价的比值一定，所以张阿姨买这种大米

的总价是李阿姨的4倍，张阿姨买的大米的质量也应该是李阿姨的4倍。

【点睛】本题主要考查了统计图表的综合应用及正比例的应用，关键根据统计表中的数据完

成统计图并解答问题。

一、选择题

1.正比例图象是一条（）。

A.直线B.线段0.射线

2.淘气和爸爸的年龄变化情况如下表，下面描述错误的是（）。

淘气的年龄/

6789

岁

爸爸的年龄/

32333435

岁

A.淘气和爸爸的年龄都在增加

B.淘气和爸爸■的年龄差不变

C.淘气的年龄和爸爸的年龄成正比例关系

3.某游泳池的进水管的进水量与时间的比例如图。按图中的速度，给这个游泳池注水400m3

A.10B.200.40D.200

4.下列说法正确的是（）。

A.平行四边形不是轴对称图形

B.个位上是3、6、9的数都是3的倍数

C.正方形的面积与边长成正比例

D.一个数除以分数，商一定大于被除数

5.下面各题，两种量成正比例关系的是（）。

A.汽车的速度一定，行央的时间和路程

B.平行四边形面积一定，它的底和高

C.圆的面积与它的半径

6.购买鸣妥的数量和总价成正比例关系的图像是（)O

7.弹簧挂上物体后会伸长，明明测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系。

物体质量"g012345

弹簧长度/cm1010.51111.51212.5

下面说法中错误的是（）。A.物体的质量每增加1kg,弹簧长度增加0.5cm

B.弹簧原来长10cm

C.挂一个质量为10kg的物体，弹黄伸长15cm

8.下而几加相关联的量的关系，能用下图表示的是（）。

A.在一幅地图上，图上距离与实际距离B.圆的面积和半径C.看一本书，已经看的页数和

未看的页数

二、填空题

9.房屋每平方米物业管理费一定，房屋面积和所缴的物业管理费成（）比例。

10.下面是某家造纸厂今年6月上旬生产时间与生产量的关系图。请根据图回答问题。

（1）这家造纸厂4天的生产量是（）吨；生产640吨纸需要（）天。

（2）这家造纸厂的生产量和生产时间成（）«,（填“正比例”或“反比例”）

（3）点（7,560）表示的含义是（）。

11.购买从洪源到泉州的客车成人票，根据票价把下表填完整。

人数（人）12345

车费（元）10()()()()・・.

从表中我发现了（），车费和人数（）比例关系。

12.如果a:5=b:6,那么。：力=（）：（）,。和〃成（）比例。

13.一个水龙头不断地流水，右图表示的是流出水的体枳和时间的关系。

（1）从图中可知，流出水的体积和时间成（）关系。

（2）照这样计算，50分流水（）L,要流出180L水，需要（）分。

14.学校手工社团买了一种彩带，买的长度和总价关系如图：买10米这种彩带要花

（）元，200元可以买（）米。

总价/元

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

51015202530354045505560657075^2Am

(1)看图填空。

所行路程/km15()45()

耗油量/L()4()10

（2）这个关系图像是一条（），汽车所行路程与耗油量成（）关系。

(3)汽车行驶55千米的耗油量约是()升(保留一位小数)。

16.如图，x和y是两种相关的量。当x=2时，y=();当y=40时，x=()o

x和y成()比例。

三、判断题

17.两个比就能组成一个比例。()

18.正比例图象是一条直线。()

19.积一定，两个因数成正比例。()

20.如果3X=：y,鼠、丫均不为0),那么X和Y成正比例关系。()

8

四、解答题

21.下表是小明爸爸工资变化情况。

时间/年1985199019952000200520102015

月工资/元3004005001000180029003600

(1)上表中哪些量在发生变化？

(2)说一说小明爸爸工资从1985年到2015年是如何随时何而变化的？

22.下面是小红和同学用自制的皮筋称量物体质量的统计表o

所称质量/g02004006008001000

皮筋伸长长度/cm0246810

(1)把上表中所称质量与皮筋伸长长度所对应的点描在方格纸上，并顺次连接。

(2)皮筋伸长长度与所称质量成什么比例？为什么？

(3)小红用这根皮筋称一个物体，皮筋伸长15厘米，求这个物体的质量。

23.某天下午5时，在某地同时测得3棵树的树高及其影长如下表:

树局/m235

影长/m1.21.83

(1)在下图中描出表示树高与对应影长的点，然后把它们连起来。

(2)此地另一棵树高4米，在这一时刻树的影长是()米。

(3)此时此地还测得一棵大树的影长是12.6米，这棵大树高多少米？(用比例解)

24.一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品情况的记录。

时间/分36912•••

产品数量/个51102153204•♦•

(1)生产产品的时间和产品数量成()比例。

(2)照这样计算，45分钟生产产品多少个？

25.下面是一列动车行驶情况的统计图。

(1)这列动车行驶的路程和时间成()比例。

(2)按这样的速度，从A地到B地大约250千米路程，要行驶多少分钟？(用比例解)

26.购买杳焦的质量和应付金额如表。

质量/kg0123456•••

应付金额/元05101520•••

(1)把上表填写完整。

(2)判断购买香蕉的质量与应付金额是否成正比例，并说明理由。

(3)把表中质量和应付金额所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。

(4)购买香蕉2.5千克，应付金额()元，27.5元最多可以买()千克

香蕉。

27.雪容融，是2022年北京冬季残奥会的吉祥物，其以灯笼为原型进行设计创作，主色调

为红色，头顶有如意环与外围的剪纸图案，面部带有不规则形状的雪块，身体可以向外散发

光芒。已知雪容融玩偶每个售价96元，购买2个、3个、4个、5个，分别需要多少元？

(1)完成下表。

数量/个012345•••

应付金额/元096•••

(2)判断应付金额与购买雪容融的数量是否成正比例，并说明理由。

(3)把上表中数值和应付金额所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。

应付金额/元

j234567数点个

(4)购买10个雪容融玩偶需要()元；780元最多可以买()个雪容融

玩偶。

参考答案

1.A

【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一

条过原点的直线。

【详解】由分析可知：正比例图象是一条直线。

故答案为：A

【点睛】本题考查了对正比例图象的认识，属于基础知识。

2.C

【分析】淘气和爸爸的年龄每年都增加1岁，但年龄差不变：如果相对应的两个量x和y

的比值一定，那么这两个量的关系成正比例关系，二人年龄的比值可以通过计算来得出结果，

明显不是固定的。

【详解】A.从表中数据可以看出，淘气和爸爸的年龄都在增加，说法正确。

B.32-6=33-7=34-8=35-9=26（岁）

二人的年龄差为26岁，说法正确。

C.6:32=2=3

7:33=—

33

8：34=I=H

9

9：35=—

35

比值不相等，所以淘气和爸爸的年龄不成正比例，说法缙误。

故答案为：C

【点暗】本题考查了正比例的意义的理解和灵活应用，同时考查了学生分析解决问题的能力。

3.C

【分析】由图像可知，图形是一条过原点的直线，进水量与时间成正比例关系。进水量：时

间=10：1,游泳池每分钟进水10n?,所以注水400m3需要40分。

【详解】由图像可知，游水池的进水管的进水量与时间成正比例关系，每分钟进水10m）

4004-10=40（分）

故答案为：C

【点睛】成正比例关系的图是一条直线，能准确分析出图像中的数量关系并根据数量关系解

决问题是重点。

4.A

【分析】根据题意，对各选项依次进行分析、进而得出结论。

【详解】A.平行四边形不是轴对称图形，说法正确；

B.3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，而不是看数的

个位数，说法错误；

C.正方形的面积与边长不成正比例，因为比值不一定；

D.一个数除以分数，商一定大于被除数，说法错误，例如被除数是0。

故答案为：A

【点睛】此题涉及到的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意基础知识的积

累。

5.A

【分析】两种相关联的量，如果它们对应的比值一定，小么这两个量就成正比例关系。据此

选择。

【详解】A.路程+时间=速度（一定），比值一定，所以汽车的速度一定，行驶的时间和

路程成正比例关系。

B.底乂高=面积（一定），乘积一定，所以平行四边形面积一定，它的底和高成反比例关

系。

C.圆的面积与它的半径不成比例。

故答案为：A

【点睛】此题考查了正比例的辨别，主要看两个量是否是对应的比值一定。

6.A

【分析】根据正比例的意义：两种相关联的量中相对的两个数的比值一定，就是正比例关系，

正比例的图形是一条经过原点的直线，购买鸡蛋的数量和总价成正比例关系，图像是经过原

点的直线，据此解答。

t总价/元

40

32二T二二n二T二一m三r!n二

24二二刀！二

16——/------------

8

0

【详解】A.25质量/kg.是经过原点的直线.是正比例图形:

总价/元

经过原点，但不是直线，不是正比例图形;

经过原点，但不是直线，不是正比例图形。

【点晴】根据正比例图形的特征进行解答。

7.C

【分析】A.用弹簧长度增加的厘米数除以物体的质量增加的千克数，再判断即可;

B.物体质量为。千克时，弹簧长度即为弹簧原来长度；

C.用物体质量乘物体的质量每增加1kg弹黄伸长的长度即可。

【详解】A.(10.5-10);(1-0)

=0.54-1

=0.5(cm)

即物体的质量每增加1kg,弹簧长度增加0.5cm说法正确；

B.物体质量为。千克时，弹黄长度为10cm,则弹簧原来长度为10cm,说法正确；

C.10X0.5=5(cm)

即挂一个质量为10kg的物体，弹簧伸长5cm,故原说法错误。

故答案为：C

【点睛】本题考查对图表的综合应用，解题的关键是通过对图表的分析，提炼出有用的数据,

进行解题。

8.A

【分析】正比例关系的图象是一条经过原点的直线：反比例关系的图象是一条光滑的由线；

判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值(商)一定，还是对应的

乘积一定；如果是比值(商)一定，这两种相关联的量成正比例：如果是乘积一定，这两种

相关联的量成反比例。

从图象中可知，这是一条过原点的直线，所以是正比例关系的图象：逐项分析三个选择中的

两个相关联的量是否成正比例关系，据此选择。

【详解】A.在一幅地图上，比例尺是一定的，图上距唐：实际距离=比例尺(一定)，比

值一定，图上距离与实际距离成正比例关系，符合题意；

B.由5=。/可知，S4-r=nr(不一定),圆的面积和半径不成比例关系，不符合邈意；

C.一本书的总页数一定，已经看的页数+未看的页数=总页数(一定)，和一定，经看的

页数和未看的页数不成比例关系，不符合题意。

故答案为：A

【点睛】认识正比例图象，掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。

9.正

【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应

的乘积一定。如果比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例。

【详解】题中，缴纳呼党理费=每平方米物业管理费(一定)，据此可知房屋面积和

厉屋囿积

所燃的物业管理费成正比例关系。

【点睛】此题考查的是如何辨识正反比例，以及正反比例的实际应用问题。

10.(1)3208

⑵正比例

⑶生产时间为7天的生产量是560吨

【分析】(1)观察图像可知，横轴表示生产时间，竖轴表示生产量。图像上表示4天生产

时间的点对应的生产量是320吨：表示640吨生产量的点对应的生产时间是8天。据此解答。

(2)这个图像是正比例图像，则这家造纸厂的生产量和生产时间成正比例。

(3)7表示生产时间，560表示对应的生产量，据此解答。

(1)

这家造纸厂4天的生产量是320吨：生产640吨纸需要8天。

(2)

这家造纸厂的生产量和生产时间成正比例。

(3)

点(7,560)表示的含义是生产时间为7天的生产量是560吨。

【点睛】本题考查了正比例的辨认和正比例图像的认识。掌握正比例的意义是解题的关键。

11.20304050客车成人票的单价一

定正

【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，

还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果

是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。

【详解】因为客车成人票的单价一定，所以车费和人数的比值就一定，成正比例关系;

填写表格见下图：

人数（人）12345・・・

车费（元）1020304050・・・

【点睛】此题属于根据正比例的意义判定两种量之间的关系。

12.56正

【分析】根据a：5=b：6,可把a和6当成比例的两个外项，把b和5当成比例的两个内

项，进而写出比例式；再根据比例式算出a:b的比值，比值一定时，相关联的两个量成正

比例关系。

【详解】如果a:5=Z?:6,那么。:。=5:6；即&b=-,是〃和〃的比值一定，所以。和〃成

6

正比例。

【点睛】此题考查根据比例的性质改写比例，也考查了辨识两个相关联的量成什么比例，只

要是比值一定，就成正比例：乘积一定，就成反比例。

13.正比例10090

【分析】此题根据正比例关系的意义或正比例图像特点来解答。我们可以借助图中数据求出

流出水的体积与所对应时间的比值，如果两个相关联的量的比值（商）一定，那么这两个量

就成正比例关系，（也可以根据图像成一条直线知道成正比例关系）。此时，继而根据求出

的比值，即可解答后两个填空。

【详解】（1）观察图形可知：流水5分，水的体积为10升；流水10分，水的体积为20

升……10：5=20：10=2（一定），因此流出水的体积和时间成正比例关系。

（2）50X2=100（L）

1804-2=90（分）

【点睛】此题考查对正比例意义本质内涵的理解和运用。

14.8025

【分析】从图中可以看出总价和买的长度成正比例关系，8元对应的是1米，所以每米需要

8元，那么10米就需要（8X10）元，200可以买（200-?8）米。

【详解】8X10=80（元）

200+8=25（米）

所以买10米这种彩带要花80元，200元可以买25米。

【点暗】此懑考查了学生对正比例关系的辨识及应用。

15.307526直线正比

例7.3

【分析】（1）观察关系图，根据已知路程，找出横轴上对应的耗油量；根据耗油量，找出

竖轴上对应的路程。

(2)观察关系图可知，这个关系图像是一条直线，是正比例关系的图像，说明汽车所行路

程与耗油量成正比例关系，

(3)从图像上可知，这种汽车行驶15千米耗油2升，154-2=7.5(千米)，则1升油可行

驶7.5千米。求汽车行驶55千米的耗油量，用55除以7.5即可解答。

【详解】(1)

所行跖程/km15304575

耗油量/L24610

(2)这个关系图象是一条射线，汽车所行路程与耗油量成正比例关系。

(3)154-2=7.5(千米)

55:7.5七7.3(升)

【点睛】本题考查正比例的意义及应用。能读懂正比例关系的图象并根据图像上的数据解决

问题是关键C

16.165正

【分析】观察题中数据图可知y与x是相关联的两种量，且x与y相对应的数的比值等于8

(比值一定)，据此解答3

【详解】当x=2时，y=2X8=16;当y=40时，x=4C4-8=5;x与y的比值一定，x和y

成正比例。

故答案为：16:5;正

【点哂】本题主要考查正比例的在义，根据数据图确定x与y的关系是解题的关犍。

17.X

【分析】根据比例的定义，比值相等的两个比组成比例。

【详解】比值相等两个比能组成一个比例。

故答案为：X

【点睛】本题主要考查比例的定义，关键是比例的前后两个比的比值相等。

18.V

【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一

条过原点的直线。

【详解】正比例的图象是一条直线，说法正确。

故答案为：V

【点睛】本题考查正比例的意义及图象的特点，属于基触题。

19.X

【分析】两种相关联的量，如果它们的比值一定，则这两种量成正比例，据此解答。

【详解】根据正比例的意义可知，积一定，两个因数不成正比例。原题说法错误。

故答案为：X

【点睛】本题考查正比例的辨认。熟练掌握正比例的意义是解题的关键。

20.V

【分析】由题意知：3x=^y,则工二乙)，，-=^~(比值一定)，据此解答。

824y24

【详解】由分析知：

x_1

7-24

故原题说法正确。

【点睛】掌握正比例的概念是解答本题的关键。

21.(1)由统计表可知，表中的年份和工资数在变化。

(2)小明爸爸工资从1985年到2015年是逐年增加的。

【分析】(1)观察表格，年份在逐渐变化，工资也在逐渐变化。

(2)根据表格中的数据，发现小明爸爸工资从1985年到2015年是逐年增加的。

【详解】(1)由统计表可知，表中的年代和工资数在变化。

(2)小明爸爸工资从1985年到2015年是逐年增加的。

【点睛】本题考查了根据统计表获取数学信息的能力和根据信息解决问题的能力。

22.(1)见详解

(2)皮筋伸长长度与所称质量成正比例，因为筋伸长长度与所称质量之间比值一定。

(3)1500克

【分析】(1)在表格里依次描出各点，再进行连线即可；

(2)判断两个量成什么比例，是看这两个量的比值一定还是乘积一定，比值一定时成正比

例，乘积一定时成反比例，据此解答；

(3)先根据表中数据确定皮筋每伸长1厘米时对应的质量，再结合伸长15厘米求出质量即

可。

【详解】(1)如图:

所称

质量0

,八20()400600“c

(2)=100,------=100,------=100…

246

由此可见，筋伸长长度与所称质量之间比值一定，所以成正比例；

答：皮筋伸长长度与所称质量成正比例，因为筋伸长长度与所称质量之间比值一定。

(3)2004-2X15

=100X15

=1500(克)

答：这个物体的质量为1600克。

【点睛】本题主要考查统计图表的填充，以及对正比例的辨识，关键要会根据所给的数据完

成统计图并回答问题。

23.(1)见详解；

(2)2.4：

(3)21米

【分析】(1)图中横轴表示树高，姒轴装示影长，根据衰格中树高和对应影长的数据描出

各点，最后依次连接各点；

(2)由题意可知，影长：树高=0.6(一定)，则树高和影长成正比例关系，彩长=树高X

0.6；

(3)把这棵大树的高设为未知数，影长：树高=3：5,把这棵大树的影长代入计算，据此

解答。

影长，m

【详解】(1)

(2)=—=—=-=0.6(一定)，则影长=树高X0.6=4X0.6=2.4(米)

树高235

所以，在这一时刻树的影长是2.4米。

(3)解：设这棵大树高x米。

12.6：x=3：5

3x=12.6X5

3x=63

x=634-3

x=21

答：这棵大树高21米。

【点睛】本题主要考查利用比例解决实际问题，明确树高与影长成正比例关系是解答题目的

关键。

24.(1)正；

(2)765个。

【分析】两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系：若两个量的乘积一

定，两个量成反比例关系，据此判断即可。

【详解】(1)51：3=102：6=153：9=204:12=17

生产产品的时间和产品数量成正比例。

(2)17X45=765(个)

答：45分钟生产产品765个。

【点睛】根据正比例的判断方法，解答此题即可。

25.(1)正

(2)50分钟

【分析】(1)根据折线统计图可知，路程和时间的比值一定，则它们成正比例。

(2)因为路程和时间的比值一定，则用正比例解决问题即可。

【详解】⑴54-1=5(千米/分)，1