2025年下学期高三数学“解析几何与坐标方法”综合检测

2025年下学期高三数学“解析几何与坐标方法”综合检测一、核心知识点梳理1.坐标系与曲线方程在平面直角坐标系中，曲线与方程的关系需满足双重条件：曲线上任意点的坐标均满足方程，以方程的解为坐标的点均在曲线上。求曲线方程的常用方法包括：直接法：根据几何条件直接列出含$x,y$的等式（如到两定点距离之和为常数的椭圆定义）。参数法：引入参数$t$，分别建立$x=f(t)$、$y=g(t)$的关系，消参后得普通方程（如圆的参数方程$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$）。相关点法：设动点$P(x,y)$与已知曲线$F(x',y')=0$上的点$Q(x',y')$相关联，用$x,y$表示$x',y'$后代入已知曲线方程（如求动点关于直线对称点的轨迹）。2.直线与圆的方程（1）直线方程的五种形式形式方程形式适用条件点斜式$y-y_0=k(x-x_0)$斜率存在（非垂直于x轴）斜截式$y=kx+b$斜率存在且与y轴有交点两点式$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$两点不垂直于坐标轴且不重合截距式$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$不过原点且与两坐标轴均相交一般式$Ax+By+C=0$（$A^2+B^2≠0$）所有情况（2）圆的方程与位置关系标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心，$r$为半径。一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$），圆心为$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$。直线与圆的位置关系：通过圆心到直线的距离$d$与半径$r$比较判断：$d<r$⇨相交（2个交点），$d=r$⇨相切（1个交点），$d>r$⇨相离（无交点）。3.圆锥曲线的定义与性质（1）椭圆定义：平面内到两定点$F_1,F_2$（焦距$|F_1F_2|=2c$）的距离之和为常数$2a$（$2a>2c$）的点的轨迹，离心率$e=\frac{c}{a}∈(0,1)$。标准方程：焦点在$x$轴：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$，$c^2=a^2-b^2$）焦点在$y$轴：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）几何性质：顶点坐标$(±a,0)$或$(0,±a)$，准线方程$x=±\frac{a^2}{c}$或$y=±\frac{a^2}{c}$，通径长$\frac{2b^2}{a}$（过焦点垂直于长轴的弦长）。（2）双曲线定义：平面内到两定点$F_1,F_2$的距离之差的绝对值为常数$2a$（$0<2a<2c$）的点的轨迹，离心率$e=\frac{c}{a}>1$。标准方程：焦点在$x$轴：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$c^2=a^2+b^2$）焦点在$y$轴：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$几何性质：渐近线方程$y=±\frac{b}{a}x$或$y=±\frac{a}{b}x$，实轴长$2a$，虚轴长$2b$，准线方程与椭圆形式类似。（3）抛物线定义：平面内到定点$F$（焦点）与定直线$l$（准线）距离相等的点的轨迹，离心率$e=1$。标准方程（开口方向与焦点坐标）：开口向右：$y^2=2px$（$p>0$，焦点$(\frac{p}{2},0)$，准线$x=-\frac{p}{2}$）开口向左：$y^2=-2px$（焦点$(-\frac{p}{2},0)$）开口向上：$x^2=2py$（焦点$(0,\frac{p}{2})$）开口向下：$x^2=-2py$（焦点$(0,-\frac{p}{2})$）4.坐标变换与参数方程平移变换：将坐标系原点移至$(h,k)$，则新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$的关系为$x=x'+h$，$y=y'+k$（用于化简不含$xy$项的二次曲线方程）。极坐标与直角坐标互化：若极点与原点重合，极轴与$x$轴正半轴重合，则有$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$\rho^2=x^2+y^2$，$\tan\theta=\frac{y}{x}(x≠0)$。二、典型例题深度解析例题1：直线与圆的综合应用题目：已知圆$C$：$(x-2)^2+(y-1)^2=5$，直线$l$：$mx-y+1-m=0$。（1）求证：直线$l$与圆$C$必相交；（2）若直线$l$与圆$C$交于$A,B$两点，且$|AB|=2\sqrt{3}$，求$m$的值。解析：（1）几何法：直线$l$可化为$m(x-1)-(y-1)=0$，恒过定点$P(1,1)$。计算$|PC|=\sqrt{(2-1)^2+(1-1)^2}=1<\sqrt{5}$（圆的半径），故点$P$在圆内，因此直线$l$与圆$C$必相交。（2）弦长公式应用：圆心$C(2,1)$到直线$l$的距离$d=\frac{|2m-1+1-m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|m|}{\sqrt{m^2+1}}$。由弦长公式$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$，代入$|AB|=2\sqrt{3}$、$r=\sqrt{5}$，得：$$2\sqrt{3}=2\sqrt{5-\frac{m^2}{m^2+1}}\implies3=5-\frac{m^2}{m^2+1}\implies\frac{m^2}{m^2+1}=2$$解得$m^2=2$，即$m=±\sqrt{2}$。例题2：椭圆的离心率与最值问题题目：设椭圆$E$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$，离心率$e=\frac{1}{2}$。已知$A$到直线$l$：$x=\frac{a^2}{c}$（椭圆的右准线）的距离为4。（1）求椭圆$E$的方程；（2）设过点$F$且斜率为$k$的直线与椭圆交于$M,N$两点，求$\triangleAMN$面积的最大值。解析：（1）由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$得$a=2c$，右准线方程为$x=\frac{a^2}{c}=4c$。$A(a,0)$到准线的距离为$4c-a=4c-2c=2c=4$，解得$c=2$，则$a=4$，$b^2=a^2-c^2=12$，椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。（2）$F(-2,0)$，设直线$MN$：$y=k(x+2)$，联立椭圆方程消去$y$得：$$(3+4k^2)x^2+16k^2x+16k^2-48=0$$设$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=-\frac{16k^2}{3+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{16k^2-48}{3+4k^2}$。弦长$|MN|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{24(1+k^2)}{3+4k^2}$。点$A(4,0)$到直线$MN$的距离$d=\frac{|6k|}{\sqrt{1+k^2}}$，则$\triangleAMN$面积：$$S=\frac{1}{2}\cdot|MN|\cdotd=\frac{1}{2}\cdot\frac{24(1+k^2)}{3+4k^2}\cdot\frac{|6k|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{72|k|\sqrt{1+k^2}}{3+4k^2}$$令$t=\sqrt{1+k^2}(t≥1)$，则$k^2=t^2-1$，代入得$S=\frac{72\sqrt{t^2-1}\cdott}{4t^2-1}$。设$f(t)=\frac{t\sqrt{t^2-1}}{4t^2-1}$，求导后可得当$t=\frac{\sqrt{6}}{2}$（即$k=±\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，$S$取最大值$6\sqrt{3}$。例题3：抛物线的焦点弦性质题目：过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$作倾斜角为$\theta$的直线，与抛物线交于$A,B$两点。（1）求证：$|AB|=\frac{4}{\sin^2\theta}$；（2）若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求直线$AB$的方程。解析：（1）抛物线焦点$F(1,0)$，当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，直线$x=1$与抛物线交于$(1,±2)$，$|AB|=4$，此时$\frac{4}{\sin^2\frac{\pi}{2}}=4$成立。当$\theta≠\frac{\pi}{2}$时，设直线方程为$y=\tan\theta(x-1)$，联立$y^2=4x$得：$$\tan^2\theta\cdotx^2-2(\tan^2\theta+2)x+\tan^2\theta=0$$设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=\frac{2(\tan^2\theta+2)}{\tan^2\theta}=2+\frac{4}{\tan^2\theta}$。由抛物线定义，$|AB|=x_1+x_2+2=4+\frac{4}{\tan^2\theta}=4(1+\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta})=\frac{4}{\sin^2\theta}$。（2）设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$得$(1-x_1,-y_1)=2(x_2-1,y_2)$，即$x_1=3-2x_2$，$y_1=-2y_2$。由抛物线定义$|AF|=x_1+1$，$|FB|=x_2+1$，则$x_1+1=2(x_2+1)$，结合$x_1=3-2x_2$解得$x_2=1$，$x_1=1$（矛盾），故斜率存在。设直线$AB$：$x=my+1$（$m=\cot\theta$），联立抛物线方程得$y^2-4my-4=0$，则$y_1+y_2=4m$，$y_1y_2=-4$。由$y_1=-2y_2$，解得$y_2=-4m$，$y_1=8m$，代入$y_1y_2=-32m^2=-4$，得$m=±\frac{1}{2\sqrt{2}}=±\frac{\sqrt{2}}{4}$，故直线方程为$x=±\frac{\sqrt{2}}{4}y+1$，即$4x±\sqrt{2}y-4=0$。三、分层练习题基础巩固题（共60分）选择题（每题5分）（1）若直线$ax+by+c=0$经过第一、二、四象限，则（）A.$ab>0,bc>0$B.$ab>0,bc<0$C.$ab<0,bc>0$D.$ab<0,bc<0$（2）双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的渐近线方程为（）A.$y=±\sqrt{3}x$B.$y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x$C.$y=±2\sqrt{3}x$D.$y=±\frac{2\sqrt{3}}{3}x$填空题（每题5分）（3）圆$x^2+y^2-4x+6y+8=0$的圆心到直线$3x+4y+1=0$的距离为________。（4）抛物线$x^2=-8y$的焦点坐标为________，准线方程为________。解答题（10分）（5）已知直线$l$过点$P(2,1)$，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线$l$的方程。能力提升题（共40分）解答题（每题20分）（6）已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2。①求椭圆$C$的方程；②设直线$y=kx+m$与椭圆交于$A,B$两点，且$OA⊥OB$（$O$为原点），求证：原点$O$到直线$AB$的距离为定值。（7）已知圆$M$：$(x-1)^2+(y-1)^2=4$，点$P(3,3)$，过$P$作圆$M$的两条切线，切点分别为$A,B$。①求直线$AB$的方程；②求四边形$MAPB$的面积。创新拓展题（共20分）综合探究题（8）在平面直角坐标系中，已知点$A(-2,0)$，$B(2,0)$，动点$P$满足$\angleAPB=2\theta$，且$|PA|\cdot|PB|\cos^2\theta=4$。①求动点$P$的轨迹方程；②设轨迹与$y$轴正半轴交于点$C$，过$C$作两条互相垂直的直线分别与轨迹交于$D,E$两点，求$\triangleCDE$面积的最小值。四、解题提示与注意事项易错点警示忽略直线斜率不存在的情况（如垂直于x轴的直线）；混淆椭圆与双曲线中$