2025年下学期高三数学创新思维与探究能力测试（二）

2025年下学期高三数学创新思维与探究能力测试（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|log₂(x-1)≤2}，B={x|x²-4ax+3a²≤0}（a>0），若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A.(0,1]B.[1,2]C.[2/3,4/3]D.[4/3,+∞)函数f(x)=eˣ-e⁻ˣ-sinx在区间[-π/2,π/2]上的最大值与最小值之和为（）A.-2B.0C.2D.4我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈，问积及为粟几何？”意思是“有粟米堆在平地上，底面圆周长为12丈，高为2丈，问这堆粟米的体积和粟米量各是多少？”已知1斛粟米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，1丈=10尺，则该堆粟米的数量约为（）A.222斛B.242斛C.266斛D.286斛在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁内运动，若AP⊥BD₁，则动点P的轨迹长度为（）A.2B.√2C.2√2D.4已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，若|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，则下列结论正确的是（）A.z₁=z₂B.z₁=-z₂C.z₁z₂=1D.z₁=(\overline{z₂})某外卖平台的骑手在配送过程中，从A地出发沿直线匀速前往B地，途中因订单问题停留一段时间后，以原速的1.5倍继续前往B地。设骑手与A地的距离为y（km），出发时间为x（min），则下列函数图像中可能正确的是（）（图像选项略，此处用文字描述特征：选项A为折线上升-水平-陡峭上升；选项B为折线上升-水平-平缓上升；选项C为曲线上升-水平-陡峭上升；选项D为折线上升-下降-陡峭上升）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=(\frac{2aₙ}{aₙ+2})（n∈N*），则数列{aₙaₙ₊₁}的前n项和为（）A.(\frac{n}{n+1})B.(\frac{2n}{n+1})C.(\frac{n}{2n+1})D.(\frac{2n}{2n+1})在流行病学调查中，根据贝叶斯定理，某地区人群感染某病毒的概率为0.1%，感染病毒者核酸检测阳性率为95%，未感染者核酸检测阳性率为2%。现随机抽取该地区1人进行核酸检测，结果为阳性，则其实际感染病毒的概率约为（）A.4.5%B.9.5%C.19%D.45%已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（5,0），则|AB|=（）A.6B.8C.10D.12已知函数f(x)=(\begin{cases}\lnx,&x>0\e^x+a,&x\leq0\end{cases})，若函数g(x)=f(x)-|x+1|有三个零点，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,-1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-1,0)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则m=；(|\vec{a}+\vec{b}|)=。（本小题第一空2分，第二空3分）函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最小值为________；若函数g(x)=f(x)-k有三个零点，则k的取值范围是________。（本小题第一空2分，第二空3分）某工厂为提高生产效率，对生产设备进行技术改造。改造前生产某产品的固定成本为10万元，每生产x千件该产品需另投入成本C(x)万元，且C(x)=(\begin{cases}\frac{1}{2}x²+2x,&0<x<4\7x+\frac{49}{x}-17,&x\geq4\end{cases})。若每件产品的售价为6元（1万元=10000元），则改造前该产品的利润y（万元）关于产量x（千件）的函数解析式为________；为使利润最大，应生产该产品________千件。（本小题第一空2分，第二空3分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，则该三棱锥外接球的表面积为________。已知双曲线C：(\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=1)（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线与C的右支交于A，B两点，若|AF₁|=3|AF₂|，∠F₁AF₂=60°，则C的离心率为________。数学史上著名的“百鸡问题”出自《张丘建算经》：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”若用现代数学方法设鸡翁x只，鸡母y只，鸡雏z只，则可列方程组为________；该方程组的非负整数解有________组。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2acosA。（1）求角A的大小；（2）若a=√3，△ABC的面积为(\frac{3\sqrt{3}}{4})，求△ABC的周长。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D，E分别是A₁B₁，BB₁的中点。（1）求证：CE⊥平面A₁CD；（2）求二面角D-A₁C-E的余弦值。（本小题满分12分）为响应国家“乡村振兴”战略，某农业科技公司研发了一种新型农作物品种。为测试该品种的产量稳定性，公司在A，B两地进行种植试验，分别收获了50块地的产量数据（单位：kg/亩），并对数据进行整理分析，得到如下信息：信息一：A，B两地产量的频数分布表如下：|产量区间|[400,450)|[450,500)|[500,550)|[550,600)|[600,650]||----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------||A地频数|5|10|15|12|8||B地频数|3|8|18|15|6|信息二：A，B两地产量的平均数、方差、中位数如下：|统计量|平均数|方差|中位数||----------|--------|--------|--------||A地|530|2100|m||B地|530|1800|n|（1）求m，n的值（同一区间数据用该区间中点值作代表）；（2）根据以上信息，判断A，B两地中哪地更适合推广该品种，并说明理由；（3）若从A地产量在[600,650]的地块中随机抽取2块，求这2块地的产量均不低于625kg/亩的概率（假设该区间内的数据均匀分布）。（本小题满分12分）已知椭圆C：(\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1)（a>b>0）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点Q(1,0)，求直线l的方程。（本小题满分12分）某物流公司为优化配送路线，将配送区域抽象为平面直角坐标系，设仓库位于原点O(0,0)，某配送员从仓库出发，需将货物配送到A(4,0)，B(6,4)，C(2,6)三个客户点，规定配送员必须沿x轴或y轴正方向行驶，且每个客户点只能经过一次。（1）求该配送员从仓库出发，按A→B→C顺序配送的总路程；（2）请你为配送员设计一条最短配送路线（写出一种即可），并说明理由；（3）若客户点C的坐标变为(m,n)（m>0,n>0），且配送顺序为A→B→C→O，求总路程关于m,n的函数表达式，并求出当总路程为20时，m²+n²的最小值。（