2025年机械电子工程2025年控制理论测试试卷（含答案）

2025年机械电子工程2025年控制理论测试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.已知系统的传递函数为G(s)=(s+2)/(s^3+3s^2+2s)，判断该系统是否稳定。2.系统的开环传递函数为G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+5))。试用劳斯判据确定使系统稳定的K值范围。3.设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s(s+2))，试用根轨迹法分析系统参数K变化时，闭环系统根的变化趋势及稳定性情况。4.已知系统的传递函数为G(s)=2/(s+1)，当输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)时，求系统的稳态输出值。二、1.已知系统状态空间方程为：Ẋ=[-11]X+[1]u[0-2][0]Y=[10]X[01]其中X为二阶状态向量，u为输入向量，Y为输出向量。求该系统的传递函数矩阵G(s)。2.判断如下状态矩阵A的可控性和可观测性：A=[01][-2-3]3.已知二阶系统的特征方程为s^2+2ζωns+ωn^2=0，其中ωn为自然频率，ζ为阻尼比。当ζ=0.5，ωn=10rad/s时，求该系统单位阶跃响应的超调量σp%和调节时间ts(取δ=0.02)。三、1.已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)H(s)=K/(s(s+3)(s+5))。绘制系统的Nyquist曲线（至少包含s=jω沿虚轴的路径），并利用Nyquist稳定性定理确定使系统稳定的K值范围。2.已知系统的开环传递函数G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+5))。绘制系统的Bode图（渐近线形式），确定系统的相位裕度γ和增益裕度Kg（用分贝表示）。设K=10，判断系统是否稳定。3.设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s(s+2))。当输入信号为单位斜坡函数r(t)=t时，求系统的稳态误差ess。四、1.已知系统结构图如下所示（此处文字描述结构图）：输入r(t)->[G1(s)]->+->[G2(s)]->y(t)||+---------------------+其中G1(s)=1/(s+1)，G2(s)=K/(s(s+2))。求系统的传递函数G(s)=Y(s)/R(s)。2.已知系统的传递函数为G(s)=5/(s^2+2s+5)。求该系统的状态空间表达式（采用可控标准型）。3.设系统的状态空间方程为：Ẋ=[-21]X+[1]u[0-1][0]Y=[10]X[01]求系统的传递函数矩阵G(s)。试卷答案一、1.系统不稳定。特征方程为s^3+3s^2+2s+0=0。劳斯表第一列元素为1,2,0。第一列元素出现负数，系统不稳定。2.劳斯表：s^315s^23Ks^1(-15+K)0s^0K为使系统稳定，需满足：(1)第一列无负数元素，需K>15。(2)所有系数为实数且大于零，需K>0。综上，系统稳定的K值范围为K>15。3.开环传递函数G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+5))。极点为p1=0,p2=-1,p3=-5。根轨迹起始于极点，终止于无穷远。随着K增大，根轨迹向右半平面移动。当根进入右半平面时，系统不稳定。因此，当K>0时，系统始终稳定；根轨迹随K增大而向右移动。4.稳态输出值ess=lim(s->0)sG(s)=lim(s->0)s*(2/(s+1))=2。二、1.Z=[10]，Γ=[0-1]。传递函数矩阵G(s)=C(sI-A)^(-1)B+D=[10]*[s+2-1]*[1]+[0]=[(s+2)/(s^2+s+1)][01][0s+1][0][0]2.可控性矩阵M=[BAB]=[11]。rank(M)=2。系统可控。[0B][01]可观测性矩阵N=[C^T(C^TA)^T]=[10]。rank(N)=2。系统可观测。[C(C^TA)][01]3.特征方程s^2+2ζωns+ωn^2=0。阻尼比ζ=0.5，ωn=10。σp%=exp(-ζπ/sqrt(1-ζ^2))*100%=exp(-0.5π/sqrt(1-0.25))*100%≈exp(-0.5π/0.866)*100%≈exp(-1.8137)*100%≈15.3%。ts=4/(ζωn)=4/(0.5*10)=0.8秒。三、1.开环传递函数G(s)H(s)=K/(s(s+3)(s+5))。极点p1=0,p2=-3,p3=-5。无零点。根轨迹起始于极点，终止于无穷远。实轴上-3到-5区间为根轨迹段。无穷远处的渐近线：-n/p=-3/0=-∞（即沿负实轴），条数n=3,p=3。Nyquist路径：s=jω，沿虚轴从j0+到j∞。G(jω)H(jω)=K/(jω(jω+3)(jω+5))=K/(jω(-ω^2+3ωj+5ωj))=K/(-ω^3+8ωj^2)=K/(-ω^3-8ω)=-K(ω/(ω^3+8ω))+jK(0/(ω^3+8ω))=-K(1/(ω^2+8))+j0。Im[G(jω)H(jω)]=0。实部Re[G(jω)H(jω)]=-K(1/(ω^2+8))。当ω=0+时，Im[G(jω)H(jω)]=0,Re[G(jω)H(jω)]=-K<0。点(-K,0)。当ω→∞时，Im[G(jω)H(jω)]=0,Re[G(jω)H(jω)]=0。点(0,0)。Nyquist曲线：沿负实轴从-K到原点。判断稳定性：需绕(-1,0)点顺时针方向N次，N=Z-P=0-0=0。系统稳定性由-K与-1的相对大小决定。当-K>-1即K<1时，系统稳定。K值范围为K<1。2.G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+5))。K=10。Bode图：低频段（s<<1）：|G(jω)|≈10/(jω(jω+1)(jω+5))≈10/(jω^3)=10/ω^3。20log|G(jω)|≈20log10-3*20logω=20-60logωdB。斜率为-60dB/decade。转折频率ω1=1rad/s，|G(j1)|=10/(1*1*5)=2。20log|G(j1)|=20log2≈6.02dB。转折频率ω2=5rad/s，|G(j5)|=10/(5*5*5)=0.08。20log|G(j5)|=20log0.08≈-19.04dB。中频段（1<ω<5）：斜率为-20dB/decade。高频段（ω>>5）：斜率为-40dB/decade。相位：φ(ω)=-90°-arctan(ω)-arctan(ω/5)。φ(1)≈-90°-45°-11.3°=-146.3°。φ(5)≈-90°-78.5°-63.4°=-232°。相位裕度γ=180°+φ(ωc)。幅值裕度Kg=1/|G(jωc)|，用分贝表示为20logKg=-20log|G(jωc)|。稳定裕度判断：需要找到增益交界频率ωc（|G(jωc)|=1）。在增益为0dB线上，低频段斜率为-60dB/decade，穿越0dB线时ωc<1。设ωc=ω1'<1。此时|G(jωc)|=10/(jω1'(jω1'+1)(jω1'+5))=1。即10=ω1'^2(ω1'+1)(ω1'+5)。近似为10≈ω1'^3。ωc≈2.15rad/s。φ(ωc)≈-90°-arctan(2.15)-arctan(2.15/5)≈-90°-64.8°-23.2°=-178°。γ=180°+(-178°)=2°。相位裕度γ=2°<0°。系统不稳定。Bode图结果与稳定性判断一致。3.单位斜坡输入r(t)=t，R(s)=1/s^2。稳态误差ess=lim(s->0)sE(s)=lim(s->0)s[R(s)-Y(s)]=lim(s->0)s[R(s)-sG(s)R(s)]=lim(s->0)s[1/s^2-sG(s)/s^2]=lim(s->0)[1/s-G(s)]=lim(s->0)[1/s-K/(s(s+2))]=lim(s->0)[(s+2)-K]/[s(s+2)]=lim(s->0)[(s+2)-K]/s(s+2)=(2-K)/0。当K=2时，ess=0。当K≠2时，ess=∞。该系统为I型系统，静差系数Ke=1/K。ess=1/Ke=K。四、1.G(s)=Y(s)/R(s)=G2(s)*(1/(1+G1(s)*G2(s)))=(K/(s(s+2)))*(1/(1+(1/(s+1))*(K/(s(s+2)))))=(K/(s(s+2)))*(1/(1+K/(s(s+1)(s+2))))=(K/(s(s+2)))*(s(s+1)(s+2)/(s(s+1)(s+2)+K))=K*(s+1)/(s(s+1)(s+2)+K)。2.传递函数G(s)=5/(s^2+2s+5)。特征方程s^2+2s+5=0。根p1,2=-1±j2。可控标准型：A=[-21][0-1]B=[1][0]（此处为对应G(s)的可控标准型，若要求其他标准型需调整）3.Y(s)=C(sI-A)X(s)+DU(s)。传递函数G(s)=C(sI-A)^(-1)B+D。sI-A=[s-1]B=[1]C=[10]D=[0][0s+1][0][01](sI-A)^(-1)=(1/|sI-A|)*adj(sI-A)=(1/(s(s+1)))*[(s+1)1]