15.1.2线段的垂直平分线 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

幻灯片1：封面标题：15.1.2线段的垂直平分线副标题：探索线段的“对称生命线”背景图：左侧展示一条线段AB，右侧展示AB的垂直平分线l（标注“垂直”和“平分”符号），在l上取一点P，连接PA、PB，标注PA=PB，直观呈现线段垂直平分线的核心特征。幻灯片2：学习目标理解线段垂直平分线的定义，能准确识别线段的垂直平分线，掌握其“垂直”且“平分”的双重属性。通过实验探究与逻辑证明，掌握线段垂直平分线的性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。会用尺规作线段的垂直平分线，能运用线段垂直平分线的性质与判定解决几何证明、线段计算及实际定位问题。经历“定义—性质—判定—应用”的过程，体会轴对称与线段垂直平分线的关联，培养几何推理与作图能力。幻灯片3：导入——从“轴对称”关联线段垂直平分线复习回顾：回顾轴对称的性质（对应点的连线被对称轴垂直平分），展示线段AB及其关于直线l的对称线段A'B'，提问：若A'与A重合、B'与B重合（即线段AB是轴对称图形），则对称轴l与线段AB有什么关系？（引导学生发现：l垂直于AB且平分AB）。生活实例：展示工人师傅用绳子找线段中点并画垂线的场景（如确定长方形木板对角线的中点，再画垂直于对角线的直线），提问：这条直线有什么特点？引出本节课核心——线段的垂直平分线。幻灯片4：线段垂直平分线的定义定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。关键词解析：“垂直”：直线与线段的夹角为90°；“平分”：直线经过线段的中点，将线段分成两条长度相等的线段；双重属性：线段的垂直平分线需同时满足“垂直”和“平分”两个条件，缺一不可（反例：仅垂直不平分的直线、仅平分不垂直的直线，均不是线段的垂直平分线）。图形标注：展示线段AB，直线l经过AB的中点O，且l⊥AB，标注“AO=OB”“l⊥AB”，明确直线l是线段AB的垂直平分线。符号表示：若直线l是线段AB的垂直平分线，O是AB的中点，则l⊥AB且AO=OB。幻灯片5：线段垂直平分线的性质定理（探究与证明）实验探究：实验材料：画有线段AB及其中垂线l的硬纸板、直尺、圆规。实验步骤：在直线l上任意取一点P（如P1、P2、P3）；用圆规分别测量PA与PB、P1A与P1B、P2A与P2B的长度；记录测量结果，观察规律。实验现象：无论点P在l上的哪个位置，PA=PB、P1A=P1B、P2A=P2B，即“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。定理证明：已知：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，O是AB的中点，l⊥AB，点P在l上。求证：PA=PB。证明过程：∵l是AB的垂直平分线，∴AO=OB，∠AOP=∠BOP=90°（垂直定义）。在△AOP和△BOP中：\(\begin{cases}AO=OB（已证）,\\∠AOP=∠BOP（已证）,\\OP=OP（公共边）,\end{cases}\)∴△AOP≌△BOP（SAS）。∴PA=PB（全等三角形对应边相等）。定理内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。符号语言：若直线l是AB的垂直平分线，点P在l上，则PA=PB。幻灯片6：线段垂直平分线的性质定理应用例题1：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC的垂直平分线，已知BD=3cm，求BC的长度；若点E在AD上，BE=5cm，求EC的长度。分析：AD是BC的垂直平分线，故AD平分BC（BD=DC），且E在AD上，故EB=EC（性质定理）。解答：∵AD是BC的垂直平分线，∴BD=DC（垂直平分线定义），EB=EC（垂直平分线性质定理）。又∵BD=3cm，BE=5cm，∴BC=BD+DC=3+3=6cm，EC=BE=5cm。例题2：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P、Q是l上的两点，已知PA=4cm，∠PAB=30°，求PB的长度及∠PBA的度数。解答：∵P在AB的垂直平分线上，∴PB=PA=4cm（性质定理）。∴△PAB是等腰三角形，∠PBA=∠PAB=30°（等腰三角形两底角相等）。幻灯片7：线段垂直平分线的判定定理（推导与证明）逆向思考：若点P到线段AB两端的距离相等（PA=PB），则点P是否在线段AB的垂直平分线上？定理证明：已知：如图，点P满足PA=PB，过P作PO⊥AB于O。求证：PO是线段AB的垂直平分线（即AO=OB，PO⊥AB）。证明过程：∵PO⊥AB，∴∠AOP=∠BOP=90°（垂直定义），△AOP和△BOP是直角三角形。在Rt△AOP和Rt△BOP中：\(\begin{cases}PA=PB（已知）,\\PO=PO（公共边）,\end{cases}\)∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）。∴AO=OB（全等三角形对应边相等）。又∵PO⊥AB，∴PO是AB的垂直平分线，即点P在AB的垂直平分线上。定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。符号语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。幻灯片8：线段垂直平分线的判定定理应用例题3：如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC，求证：AD是BC的垂直平分线。分析：由AB=AC得A在BC的垂直平分线上（判定定理），由DB=DC得D在BC的垂直平分线上，两点确定一条直线，故AD是BC的垂直平分线。证明过程：∵AB=AC（已知），∴点A在BC的垂直平分线上（垂直平分线判定定理）。∵DB=DC（已知），∴点D在BC的垂直平分线上（垂直平分线判定定理）。∵两点确定一条直线，∴直线AD是BC的垂直平分线。例题4：如图，已知PA=PB，QA=QB，求证：PQ垂直平分AB。证明：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分线上；∵QA=QB，∴Q在AB的垂直平分线上；∴PQ是AB的垂直平分线（两点确定一条直线）。幻灯片9：尺规作线段的垂直平分线作图工具：直尺、圆规。作图步骤（以作线段AB的垂直平分线为例）：以A为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)AB的长为半径画弧：确保两弧能相交于AB两侧，弧长需大于\(\frac{1}{2}\)AB（若等于或小于，两弧无交点或仅交于一点）。以B为圆心，相同半径画弧：与第一步所画的弧分别交于AB上方的点C和下方的点D。作直线CD：用直尺连接C、D，直线CD即为线段AB的垂直平分线。作图依据：由作图可知AC=BC=AD=BD（同圆半径相等），故点C、D均在AB的垂直平分线上（判定定理），因此直线CD是AB的垂直平分线。动画演示：分步演示作图过程，标注弧的交点、直线CD，验证CD垂直平分AB（测量AO=OB，∠AOC=90°）。幻灯片10：易错点辨析易错点1：混淆“线段的垂直平分线”与“直线的垂直平分线”：误区：认为“线段的垂直平分线”是线段，实际是“直线”（可无限延伸），线段的垂直平分线是直线，而非线段或射线。强调：定义中明确是“直线”，需注意与“线段的垂线”（可是线段、射线或直线）区分。易错点2：应用性质时忽略“点在线上”：示例：误将“任意点P到A、B距离相等”归因于“P在AB的垂直平分线上”，未验证P是否满足“到两端距离相等”。提醒：性质定理需“点在线段垂直平分线上”，判定定理需“点到两端距离相等”，条件缺一不可。易错点3：尺规作图时半径过小：作图时若半径≤\(\frac{1}{2}\)AB，两弧无交点或仅交于AB中点，无法画出垂直平分线，需确保半径大于\(\frac{1}{2}\)AB。幻灯片11：课堂练习——巩固线段垂直平分线知识练习1：如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE=3cm，∠ABD=50°，求AB的长度及∠A的度数（答案：AB=6cm，∠A=∠ABD=50°，等腰三角形）。练习2：下列说法正确的是（

）A.线段的垂直平分线是线段（错，是直线）B.到线段两端距离相等的点一定在线段的垂直平分线上（对）C.线段的垂直平分线仅有1个点到线段两端距离相等（错，无数个）D.过线段中点的直线是线段的垂直平分线（错，需垂直）（答案：B）练习3：用尺规作线段MN的垂直平分线，并在其上取一点P，测量PM与PN的长度，验证性质定理（操作题，强调作图规范）。幻灯片12：课堂小结核心知识：定义：线段的垂直平分线是“垂直于线段且平分线段的直线”，具双重属性。性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等（“线→距离”）。判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（“距离→线”）。尺规作图：以线段两端为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)线段长为半径画弧，连接交点得垂直平分线。解题逻辑：证明线段相等用性质定理，证明直线是垂直平分线用判定定理（找两点到线段两端距离相等）。幻灯片13：课后作业如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求证：AD是BC的垂直平分线（提示：证△ABD≌△ACD，得BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°）。已知线段AB=8cm，用尺规作AB的垂直平分线l，在l上取一点P，使PA=5cm，求PB的长度及点P到AB的距离（提示：用勾股定理计算距离）。如图，某小区要建一个超市，使超市到A、B、C三栋楼的距离相等，试确定超市的位置（保留作图痕迹，提示：找AB、BC的垂直平分线交点）。证明：三角形三边的垂直平分线交于一点（提示：设两边垂直平分线交于P，证P在第三边垂直平分线上）。2024人教版数学八年级上册授课教师：

.班级：

.

时间：

.

15.1.2线段的垂直平分线第十五章

轴对称aiTujmiaNg1.通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题，培养学生解决问题的能力.2.学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力.学习目标线段的垂直平分线的定义：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。新课导入

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，请猜想点P1，P2，P3……到点A与点B的距离之间的数量关系.相等．

ABlP1P2P3线段的垂直平分线的性质定理知识点1猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．

求证：PA=PB．ABPCl猜想与证明用符号语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．归纳总结反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．PABC线段的垂直平分线的判定定理知识点2已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC用数学符号表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PABC这些点能组成什么几何图形？

你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．PABCl试一试：例

如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.线段垂直平分线的判定定理的应用证明：∵OB＝OC，

∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，

∴AO⊥BC.如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？CB过直线外一点作已知直线的垂线知识点3ACABDKFE作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于

的长

为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（