16.1.1同底数幂的乘法 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

幻灯片1：封面标题：16.1.1同底数幂的乘法副标题：探索幂运算的基本规律背景图：左侧展示“2⁴×2³”的幂运算表达式，右侧用小正方体拼成的图形直观表示“2⁴”（16个小正方体）和“2³”（8个小正方体），通过拼接展示“2⁴×2³=2⁷”的数量关系，关联“数”与“形”，初步感知同底数幂乘法的规律。幻灯片2：学习目标理解同底数幂的定义，能准确识别同底数幂（底数相同、指数为正整数）。通过幂的定义推导同底数幂的乘法法则（aᵐ・aⁿ=aᵐ⁺ⁿ，m、n为正整数），掌握法则的推导过程与核心内涵。能运用同底数幂的乘法法则解决直接计算、底数符号不同、底数为多项式等类型的运算问题，提升幂运算能力。经历“观察—推导—验证—应用”的过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养抽象思维与逻辑推理能力。幻灯片3：导入——从幂的定义回顾入手复习回顾：提问：什么是幂？举例说明幂的组成部分（如在“5³”中，底数是5，指数是3，5³

表示3个5相乘，即5×5×5）。练习：用乘法形式表示下列幂：2⁴=2×2×2×2，(-3)²=(-3)×(-3)，a⁵=a×a×a×a×a（a为任意有理数）。提出问题：若遇到“2⁴×2³”“a²×a⁴”这样的运算（底数相同的幂相乘），该如何计算？是否有简便法则？引出本节课核心——同底数幂的乘法。幻灯片4：同底数幂的乘法法则推导（从特殊到一般）步骤1：计算特殊例子，寻找规律：计算2⁴×2³：2⁴=2×2×2×2（4个2相乘），2³=2×2×2（3个2相乘）；2⁴×2³=(2×2×2×2)×(2×2×2)=2×2×2×2×2×2×2=2⁷；观察指数关系：4+3=7，即2⁴×2³=2⁴⁺³。计算(-3)²×(-3)³：(-3)²=(-3)×(-3)（2个-3相乘），(-3)³=(-3)×(-3)×(-3)（3个-3相乘）；(-3)²×(-3)³=[(-3)×(-3)]×[(-3)×(-3)×(-3)]=(-3)⁵；指数关系：2+3=5，即(-3)²×(-3)³=(-3)²⁺³。计算a²×a⁴（a≠0）：a²=a×a（2个a相乘），a⁴=a×a×a×a（4个a相乘）；a²×a⁴=(a×a)×(a×a×a×a)=a⁶；指数关系：2+4=6，即a²×a⁴=a²⁺⁴。步骤2：归纳一般法则：猜想：对于任意底数a（a≠0），任意正整数m、n，aᵐ・aⁿ=？推导（用幂的定义）：aᵐ表示m个a相乘，即aᵐ=a×a×…×a（m个a）；aⁿ表示n个a相乘，即aⁿ=a×a×…×a（n个a）；因此，aᵐ・aⁿ=(a×a×…×a)（m个a）×(a×a×…×a)（n个a）=a×a×…×a（m+n个a）=aᵐ⁺ⁿ。法则总结：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。符号语言：aᵐ・aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（a≠0，m、n为正整数）。注意事项：法则中“a≠0”的原因（若a=0，0⁰无意义，且0的负指数幂也无意义，初中阶段暂研究正整数指数幂，故a≠0）。幻灯片5：同底数幂的乘法法则验证（多角度验证）验证1：代入具体数值验证：计算3³×3⁴，用法则得3³⁺⁴=3⁷=2187；用乘法直接计算：3³=27，3⁴=81，27×81=2187，与法则结果一致。验证2：底数为分数的情况：计算(1/2)²×(1/2)³，法则得(1/2)²⁺³=(1/2)⁵=1/32；直接计算：(1/2)²=1/4，(1/2)³=1/8，(1/4)×(1/8)=1/32，结果一致。验证3：底数为多项式的情况（初步接触）：计算(x+y)³・(x+y)²，法则得(x+y)³⁺²=(x+y)⁵；直接展开：(x+y)³=(x+y)(x+y)(x+y)，(x+y)²=(x+y)(x+y)，相乘后为(x+y)⁵，结果一致，说明法则可推广到底数为多项式的情况。幻灯片6：同底数幂的乘法法则应用1——直接应用（底数相同且符号一致）例题1：计算下列各题：10⁵×10³；(-7)²×(-7)⁴；a⁶·a²（a≠0）；(2/3)³×(2/3)⁵。解答过程：10⁵×10³=10⁵⁺³=10⁸（底数10不变，指数5+3=8）；(-7)²×(-7)⁴=(-7)²⁺⁴=(-7)⁶=7⁶（底数-7不变，指数相加，负数的偶次幂为正）；a⁶・a²=a⁶⁺²=a⁸（底数a不变，指数相加）；(2/3)³×(2/3)⁵=(2/3)³⁺⁵=(2/3)⁸（底数分数不变，指数相加）。解题关键：确认底数相同（包括符号），直接应用“底数不变，指数相加”，注意结果的符号（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）。幻灯片7：同底数幂的乘法法则应用2——底数符号不同的情况（转化为同底数）例题2：计算下列各题：(-2)³×2⁴；(-a)²·a³（a≠0）；-x⁴·x³（x≠0）。分析与解答：(-2)³×2⁴：观察底数：-2与2符号不同，可将(-2)³

转化为-2³（因3是奇数，(-2)³=-2³）；原式=-2³×2⁴=-(2³×2⁴)=-2³⁺⁴=-2⁷；(-a)²·a³：(-a)²=a²（2是偶数，负数的偶次幂为正），底数变为a，与后面的a³

底数相同；原式=a²・a³=a²⁺³=a⁵；-x⁴·x³：注意符号：-x⁴表示x⁴的相反数，底数仍为x，与x³

底数相同；原式=-(x⁴・x³)=-x⁴⁺³=-x⁷。总结方法：当底数符号不同时，先根据“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”将底数转化为相同符号（或相同底数），再应用法则计算，注意区分“底数的符号”与“整个幂的符号”。幻灯片8：同底数幂的乘法法则应用3——指数为1或多幂相乘的情况例题3：计算下列各题：5×5⁴；a·a³·a⁵（a≠0）；(x-y)²·(x-y)·(x-y)³（x≠y）。分析与解答：5×5⁴：注意：单独的一个数5可看作5¹（指数为1，省略不写）；原式=5¹×5⁴=5¹⁺⁴=5⁵；a·a³·a⁵：多幂相乘，法则可推广：aᵐ・aⁿ・aᵏ=aᵐ⁺ⁿ⁺ᵏ（m、n、k为正整数）；原式=a¹⁺³⁺⁵=a⁹；(x-y)²·(x-y)·(x-y)³：底数为多项式(x-y)，指数同样适用法则，(x-y)看作(x-y)¹；原式=(x-y)²⁺¹⁺³=(x-y)⁶。拓展说明：同底数幂的乘法法则可推广到多个同底数幂相乘，即aᵐ₁・aᵐ₂・…・aᵏ=aᵐ₁⁺ᵐ₂⁺…⁺ᵏ（各指数均为正整数，a≠0）。幻灯片9：易错点辨析与注意事项易错点1：底数不同时误用法则：示例：误将“2³×3²”计算为“2³⁺²=2⁵”或“3³⁺²=3⁵”，实际2³×3²=8×9=72，底数不同（2≠3），不能用同底数幂乘法法则。提醒：法则的前提是“底数相同”，若底数不同（即使底数互为相反数，需先转化），不能直接应用法则。易错点2：指数相加时忽略“指数为1”的情况：示例：计算“a×a²”时，误写成“a²”（忘记a的指数为1，应为a¹×a²=a³）。纠正：单独的字母或数字（如a、5）的指数为1，计算时需明确写出，避免遗漏。易错点3：混淆“同底数幂乘法”与“幂的乘方”（提前预警）：误区：误将“(a³)²”计算为“a³×a²=a⁵”，实际“(a³)²”是幂的乘方（后续学习），表示2个a³

相乘，即a³×a³=a⁶，与同底数幂乘法不同。强调：当前学习的是“同底数幂相乘”（如a³×a²），后续会学习“幂的乘方”（如(a³)²），需注意区分“乘法”与“乘方”的不同运算形式。易错点4：底数为负数时符号处理错误：示例：计算“(-3)³×(-3)²”时，误写成“-3³⁺²=-3⁵”，实际(-3)³×(-3)²=(-3)⁵=-243，虽结果符号正确，但过程中底数符号处理不当（应先保持底数-3不变，指数相加后再判断符号）。正确步骤：先确认底数相同（均为-3），应用法则得(-3)³⁺²=(-3)⁵，再根据负数的奇次幂为负，得结果为-243。幻灯片10：课堂练习——分层巩固基础练习1：计算下列各题：3⁴×3⁵=______（答案：3⁹）；(-5)²×(-5)³=______（答案：(-5)⁵=-3125）；b・b⁶=______（答案：b⁷）；(1/4)³×(1/4)²=______（答案：(1/4)⁵=1/1024）。提升练习2：计算下列各题（注意符号与指数）：(-x)³・x⁴（x≠0）=______（答案：-x³・x⁴=-x⁷）；(a-b)³・(b-a)²（a≠b）=______（提示：(b-a)²=(a-b)²，答案：(a-b)³⁺²=(a-b)⁵）；-2³×(-2)⁴=______（答案：-2³×2⁴=-2⁷=-128）。拓展练习3：已知aᵐ=2，aⁿ=3（a≠0），求aᵐ⁺ⁿ的值（提示：逆用法则aᵐ⁺ⁿ=aᵐ・aⁿ，答案：2×3=6）。幻灯片11：课堂小结核心知识：同底数幂的定义：底数相同、指数为正整数的幂（如a³

与a⁵，(x+y)²

与(x+y)⁴）。乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，符号语言为aᵐ・aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（a≠0，m、n为正整数），可推广到多个同底数幂相乘。关键应用：直接应用：底数相同（含符号一致）时，直接指数相加；转化应用：底数符号不同时，先转化为同底数（利用负数的奇偶次幂符号），再应用法则；逆用：已知aᵐ和aⁿ，求aᵐ⁺ⁿ时，用aᵐ⁺ⁿ=aᵐ・aⁿ。解题思路：遇幂的乘法运算，先判断底数是否相同，若相同，应用法则；若不同，看能否转化为同底数，再计算，注意符号与指数的细节。幻灯片12：课后作业计算下列各题（要求写出计算过程）：10⁷×10³；(-7)⁵×(-7)⁶；x²·x³·x⁵（x≠0）；(a+2b)⁴·(a+2b)³（a+2b≠0）；-(-3)²×(-3)³。已知2ˣ=5，2ʸ=7，求2ˣ⁺ʸ的值。若aᵐ⁺¹・a²ⁿ⁻¹=a⁵（a≠0），且m-2n=1，求m和n的值（提示：先由法则得m+1+2n-1=m+2n=5，再结合m-2n=1，解方程组）。思考：若底数a=0，aᵐ・aⁿ是否有意义？举例说明（如0³×0²=0×0=0，0¹×0⁰无意义，体会a≠0的必要性）。2024人教版数学八年级上册授课教师：

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16.1.1同底数幂的乘法第十六章

整式的乘法aiTujmiaNg学习目标1、理解同底数幂的乘法法则的推导；2、熟练掌握同底数幂乘法法则和它的符号表达式；3、熟练运用同底数幂的乘法法则进行幂的计算.重点重点重难点同学们，这是鸟巢和水立方，非常壮观，列入北京十大建筑，同时也是世界上著名的节能环保建筑.你们认为它们最漂亮的是什么时候呢？到了晚上他们就更漂亮了，是因为什么？（灯光）可能大家有所不知，这里所需要的灯光大部分都不是来自发电厂，而是来自太阳能.据统计：奥运场馆一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？新课导入请列出算式？问题：一种电子计算机每秒可进行1亿亿（1016）次运算，它工作103s可进行多少次运算？新课导入请列出算式？怎样计算1016×103呢？1016表示什么意义呢？自主学习自学课本第98页并学会下列内容：（时间：3分钟）1、怎样退出同底数幂的乘法法则？2、同底数幂乘法法则的内容是什么？3、同底数幂乘法法则的字母表达式。合作探究提问1：到底1016×103=？解：1016×103=(10×10×…×10)×(10×10×10)

=10×10×…×10

=101916个103个1019个10请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空.(1)105×102=()×()=_________________

=10()(2)a3·a2=()×()=__________

_=a()(3)5m×5n=()×()=____________=5()合作探究10×10×10×10×1010×1010×10×10×10×10×10×107a·a·aa·aa·a·a·a·a5m个55×5×…×5n个55×5×…×5(m+n)个55×5×…×5m+n

猜想：am·an=？

（m、n都是正整数）合作探究am·an=·(a·a·…·a)

个

a=a·a·…·a

个

a=a().(乘方的意义)(乘法的结合律)(乘方的意义)mn

m+nm+n

个

a(a·a·…·a)得出什么结论？合作归纳同底数幂的乘法法则：am·an

=am+n(m，n都是正整数).同底数幂相乘，底数_______，指数_______.不变相加结果：①

底数不变②

指数相加注意条件：①

乘法②

底数相同想一想：1、am·an·ap＝

(m，n，p都是正整数）2、5m×3n=？am＋n＋pNO合作学习例1.计算：(1)x2·x5(2)a·a6

(3)(-2)×(-2)4×(-2)3(4)xm·x3m+1解:(1)x2·x5=x2+5=x7

(2)a·a6=a1+6=a7(3)(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256(4)xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1课堂检测1、判断并改正：（1）a3·a2=a6；（2）a·a3=

a0+3=a3

；（3）m3·m3=2m3；（4）x2m

·x4n-2=x2m+4n-2.

……

………………

………………

…………改：a3·a2=a2+3=a5改：a1·a3=a1+3=a4改：m3·m3=m3+3=m6

DA.

3

B.

4

C.

6

D.

8补充练习4、若am＝3，an＝4，则am＋n＝________．变式：若3x＋3＝243，则

的值为________．125、已知2x=3,2y=6,试写出2x+y的值.18随堂练习1.判断：①a5=a3+a2()②y5=x3·y2()③xm+n

=xm·xn

()××√a3·a2y3·y22.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？【教材P99练习第