16.2.2单项式与多项式相乘 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

幻灯片1：封面标题：16.2.2单项式与多项式相乘副标题：探索整式乘法的进阶运算背景图：左侧展示单项式“2x”和多项式“3x²+4x-1”，右侧用长方形面积模型直观表示（大长方形由三个小长方形组成，长均为2x，宽分别为3x²、4x、-1，总面积=2x×3x²+2x×4x+2x×(-1)），关联“代数运算”与“几何意义”，初步感知单项式乘多项式的转化思想。幻灯片2：学习目标理解单项式与多项式相乘的定义，明确其运算本质是“转化为单项式相乘”（利用乘法分配律）。掌握单项式与多项式相乘的法则，能规范完成“分配—相乘—合并”的运算步骤。能运用法则解决含系数符号、多字母、混合运算的单项式乘多项式问题，提升整式运算的准确性与熟练度。体会“转化思想”（将多项式运算转化为单项式运算），培养严谨的运算习惯和逻辑推理能力。幻灯片3：导入——从乘法分配律与旧知关联入手复习回顾：回顾乘法分配律：a(b+c)=ab+ac，举例：2×(3+4)=2×3+2×4=6+8=14。复习单项式乘单项式法则：系数相乘、相同字母幂相乘、单独字母照写，练习：2x×3x²=，-3xy×4y=（答案：6x³、-12xy²）。提出问题：若将乘法分配律中的“数”换成“整式”，如2x×(3x²+4x-1)，该如何计算？能否转化为已学的单项式乘单项式？引出本节课核心——单项式与多项式相乘。幻灯片4：单项式与多项式相乘的法则推导（基于乘法分配律）步骤1：分析运算本质：多项式“3x²+4x-1”可看作“3x²、4x、-1”三个单项式的和，因此单项式与多项式相乘，本质是将单项式分别与多项式的每一项相乘，再将所得的积相加（即乘法分配律的推广）。步骤2：实例推导，总结法则：以“2x×(3x²+4x-1)”为例：应用乘法分配律：2x×(3x²+4x-1)=2x×3x²+2x×4x+2x×(-1)；分别计算单项式乘单项式：2x×3x²=6x³（系数2×3=6，相同字母x¹×x²=x³）；2x×4x=8x²（系数2×4=8，相同字母x¹×x¹=x²）；2x×(-1)=-2x（系数2×(-1)=-2，单独字母x照写）；合并结果（无同类项，直接相加）：6x³+8x²-2x。法则总结：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。符号语言：若多项式为a(b+c+d)（a为单项式，b、c、d为单项式），则a(b+c+d)=ab+ac+ad（推广到更多项依然成立）。注意事项：单项式要与多项式的“每一项”相乘，不能遗漏任何一项（尤其是常数项和负项）；每一项相乘时，要注意系数的符号（同号得正，异号得负）；最终结果若有同类项，需合并同类项，化为最简形式。幻灯片5：单项式与多项式相乘的法则验证（多角度验证）验证1：含常数项的多项式相乘：计算(-3x)×(2x²-5)，用法则得：(-3x)×2x²+(-3x)×(-5)=-6x³+15x；直接展开：(-3x)×2x²=-6x³，(-3x)×(-5)=15x，相加后结果一致，验证正确。验证2：含多字母的多项式相乘：计算2ab×(a²b-3ab²+1)，用法则得：2ab×a²b+2ab×(-3ab²)+2ab×1=2a³b²-6a²b³+2ab；分步计算单项式乘单项式，结果一致，验证正确。验证3：几何意义验证：以“3x×(2x+4)”为例，大长方形长为(2x+4)，宽为3x，面积=3x×(2x+4)=6x²+12x；大长方形由两个小长方形组成，面积分别为3x×2x=6x²

和3x×4=12x，总面积=6x²+12x，与代数运算结果一致，验证法则的几何合理性。幻灯片6：单项式与多项式相乘的法则应用1——基础运算（含符号与常数项）例题1：计算下列各题：3x×(x²-2x+3)；(-2a²)×(3a³-5a+1)；(1/2)xy×(4x²y-6xy²+2)；-4m×(2m²n-mn+n)。解答过程：3x×(x²-2x+3)：分配：3x×x²+3x×(-2x)+3x×3；相乘：3x³-6x²+9x；结果：3x³-6x²+9x（无同类项，直接保留）。(-2a²)×(3a³-5a+1)：分配：(-2a²)×3a³+(-2a²)×(-5a)+(-2a²)×1；相乘：-6a⁵+10a³-2a²；结果：-6a⁵+10a³-2a²。(1/2)xy×(4x²y-6xy²+2)：分配：(1/2)xy×4x²y+(1/2)xy×(-6xy²)+(1/2)xy×2；相乘：2x³y²-3x²y³+xy；结果：2x³y²-3x²y³+xy。-4m×(2m²n-mn+n)：分配：-4m×2m²n+(-4m)×(-mn)+(-4m)×n；相乘：-8m³n+4m²n-4mn；结果：-8m³n+4m²n-4mn。解题关键：第一步“分配”：确保单项式与多项式的每一项都相乘，不遗漏（如第3题的常数项“2”）；第二步“相乘”：按单项式乘单项式法则计算，注意系数符号（如第2题的-2a²

与-5a相乘得正）；第三步“合并”：若有同类项（如后续例题）需合并，无同类项则直接保留所有项。幻灯片7：单项式与多项式相乘的法则应用2——含同类项的运算（需合并同类项）例题2：计算下列各题（结果需合并同类项）：2x×(3x²+4x)+x²×(x-2)；3a×(a²-2a)-2a²×(a-3)。分析与解答：2x×(3x²+4x)+x²×(x-2)：第一步：分别计算两个单项式乘多项式：2x×(3x²+4x)=6x³+8x²；x²×(x-2)=x³-2x²；第二步：将两个结果相加：6x³+8x²+x³-2x²；第三步：合并同类项：(6x³+x³)+(8x²-2x²)=7x³+6x²；结果：7x³+6x²。3a×(a²-2a)-2a²×(a-3)：第一步：分别计算，注意符号（减号作用于整个第二个积）：3a×(a²-2a)=3a³-6a²；-2a²×(a-3)=-2a³+6a²；第二步：相加：3a³-6a²-2a³+6a²；第三步：合并同类项：(3a³-2a³)+(-6a²+6a²)=a³+0=a³；结果：a³。解题关键：含多个“单项式乘多项式”的混合运算时，先分别计算每一组，再将结果相加（或相减，注意符号）；合并同类项时，找准同类项（字母相同且相同字母的指数也相同），系数相加减，字母和指数不变。幻灯片8：单项式与多项式相乘的法则应用3——实际问题（几何与代数结合）例题3：如图，一个长方形的长为(2x+3)，宽为x，若在这个长方形内部挖去一个边长为x的正方形，求剩余部分的面积（用含x的代数式表示）。分析：剩余面积=长方形面积-正方形面积，分别用代数式表示后计算。解答：长方形面积=长

×

宽=(2x+3)×x，用单项式乘多项式法则计算：x×(2x+3)=2x²+3x；正方形面积=x×x=x²；剩余面积=2x²+3x-x²=x²+3x；结果：剩余部分的面积为x²+3x（x>0）。例题4：已知一个多项式与单项式-2x的积为-8x³+10x²-2x，求这个多项式。分析：设多项式为A，则A×(-2x)=-8x³+10x²-2x，故A=(-8x³+10x²-2x)÷(-2x)，可转化为单项式除以单项式（后续学习），此处用单项式乘多项式的逆运算推导：解答：设A=ax²+bx+c，则：(ax²+bx+c)×(-2x)=-2ax³-2bx²-2cx；与-8x³+10x²-2x对比系数：-2a=-8→a=4；-2b=10→b=-5；-2c=-2→c=1；故A=4x²-5x+1；验证：(4x²-5x+1)×(-2x)=-8x³+10x²-2x，正确。幻灯片9：易错点辨析与注意事项易错点1：遗漏多项式中的项（尤其是常数项或负项）：示例：计算2x×(x²-3)时，误写成2x×x²-3=2x³-3（遗漏“2x×(-3)”，正确应为2x³-6x）；计算-3a×(2a²-5a)时，误写成-6a³-15a²（符号错误，正确应为-6a³+15a²）。提醒：分配时明确多项式的每一项（包括符号），可先将多项式的项用括号标注，如2x×[(x²)+(-3)]，确保每一项都与单项式相乘。易错点2：单项式乘多项式后未合并同类项：示例：计算x×(x+2)+2x×(x-1)时，误写成x²+2x+2x²-2x（未合并同类项，正确应为3x²）。纠正：运算的最终结果需化为最简形式，若有同类项，必须合并，合并时注意系数的加减符号。易错点3：系数符号处理错误（尤其是负单项式乘多项式）：示例：计算(-x)×(x²-2x+1)时，误写成-x³-2x²-x（符号错误，正确应为-x³+2x²-x）。预防：负单项式乘多项式的每一项时，遵循“同号得正，异号得负”，如(-x)×(-2x)=+2x²，(-x)×1=-x，避免符号混淆。易错点4：混淆“单项式乘多项式”与“多项式乘多项式”（提前预警）：误区：误将(x+2)×(x+3)按单项式乘多项式计算（实际是多项式乘多项式，后续学习），错写成x×(x+3)+2=x²+3x+2（正确应为x²+5x+6）。强调：当前学习的是“单项式乘多项式”（一项乘多项），多项式乘多项式是“多项乘多项”，运算规则不同，需注意区分运算类型。幻灯片10：课堂练习——分层巩固基础练习1：计算下列各题（结果化为最简形式）：4x×(2x²-x+5)=______（答案：8x³-4x²+20x）；(-3a²)×(a³-2a+4)=______（答案：-3a⁵+6a³-12a²）；(1/3)xy×(6x²y-3xy)=______（答案：2x³y²-x²y²）。提升练习2：计算并合并同类项：2a×(a²-3a)+3a²×(a+2)=______（答案：2a³-6a²+3a³+6a²=5a³）；-x×(x²-4)-2x×(x+1)=______（答案：-x³+4x-2x²-2x=-x³-2x²+2x）。拓展练习3：已知长方形的长为(3x+2)，宽为2x，若宽增加3，求新长方形的面积（用代数式表示，答案：2x×(3x+2+3)=2x×(3x+5)=6x²+10x）。幻灯片11：课堂小结核心知识：单项式与多项式相乘的本质：利用乘法分配律，转化为单项式乘单项式；运算法则：单项式乘多项式的每一项，再把积相加；运算步骤：第一步：分配——单项式与多项式的每一项相乘（注意符号，不遗漏）；第二步：相乘——按单项式乘单项式法则计算每2024人教版数学八年级上册授课教师：

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16.2.2单项式与多项式相乘第十六章

整式的乘法aiTujmiaNg1.通过学生自主探究多项式与多项式相乘的法则的过程，理解和掌握多项式与多项式相乘的法则，培养学生独立思考、主动探索的习惯，提高学生解决问题的能力．2．通过练习多项式乘多项式的混合运算，体会乘法分配律以及“整体”和“转化”的数学思想，发展学生观察、归纳、概括的能力．重点难点学习目标1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？(2)再把所得的积相加.(1)将单项式分别乘以多项式的各项.2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?(1)不能漏乘:即单项式要乘多项式的每一项.(2)去括号时注意符号的变化.新课导入计算(1)(－2ac)2(－3ab2c)

=－12a3b2c3=

0新课导入某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区，若长增加了n米，宽增加了b米，请你计算这块林区现在的面积.ambn知识点多项式乘多项式的法则新课讲解manambnbambn你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？这块林区现在长为(m+n)米，宽为(a+b)米.(m+n)(a+b)m(a+b)+n(a+b)ma+mb+na+nb方法一：方法二：方法三：新课讲解由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb如何进行多项式与多项式相乘的运算？(m+n)X=mX+nX？若X=a+b，如何计算？学生活动【一起探究】新课讲解如何进行多项式与多项式相乘的运算？实际上，把(a+b)看成一个整体，有：=ma+mb+na+nb(m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)

(m+n)X=mX+nX？若X=a+b，如何计算？新课讲解

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.1234(a+b)(m+n)=am1234+an+bm+bn多项式乘以多项式新课讲解“多乘多”顺口溜：多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完.新课讲解1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．式子表示：(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.知识点：多项式与多项式相乘(重难点)新课讲解注：(1)计算多项式与多项式相乘时，按一定的顺序进行，做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于因式的两个多项式的项数之积；(3)有同类项必须合并同类项，得到最简结果.新课讲解【题型一】多项式乘多项式的运算例1：计算：(1)(3a＋2b)(4a－5b);(2)(x－1)(x＋1)(x2＋1)；解：(1)(3a＋2b)(4a－5b)＝12a2－15ab＋8ab－10b2＝12a2－7ab－10b2.(2)(x－1)(x＋1)(x2＋1)＝(x2＋x－x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4＋x2－x2－1＝x4－1.新课讲解计算：(3)(a＋b)(a－2b)－(a＋2b)(a－b)；(4)5x(x2＋2x＋1)－(2x＋3)(x2＋x－5)．(3)(a＋b)(a－2b)－(a＋2b)(a－b)＝(a2－ab－2b2)－(a2＋ab－2b2)＝a2－ab－2b2－a2－ab＋2b2＝－2ab.(4)5x(x2＋2x＋1)－(2x＋3)(x2＋x－5)＝(5x3＋10x2＋5x)－(2x3＋5x2－7x－15)＝5x3＋10x2＋5x－2x3－5x2＋7x＋15＝3x3＋5x2＋12x＋15.新课讲解例2：若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值．解：原式(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展开式中，含x2的项是：mx2＋3x2－3nx2＝(m＋3－3n)x2，含x3的项是：－3x3＋nx3＝(n－3)x3，由题意，得m＋3－3n＝0，n－3＝0，解得m＝6，n＝3.【题型二】多项式乘多项式化简求值新课讲解变式：在(x2＋ax＋b)(2x2－3x－1)的积中，x3项的系数是－5，x2项的系数是－6，求a、b的值．解：(x2＋ax＋b)(2x2－3x－1)＝2x4－3x3－x2＋2ax3－3ax2－ax＋2bx2－3bx－b＝2x4＋(2a－3)x3＋(2b－3a－1)x2－(a＋3b)x－b.∵x3项的系数是－5，x2项的系数是－6，∴2a－3＝－5，2b－3a－1＝－6，解得a＝－1，b＝－4.新课讲解例3：如图，千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)m，宽为(2a＋b)m的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(图中阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝