16.3.2 完全平方公式 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

幻灯片1：封面标题：16.3.2完全平方公式副标题：探索多项式乘法的特殊二次展开式背景图：左侧展示完全平方和公式推导“(a+b)²=a²+2ab+b²”，右侧用大正方形面积模型（边长为a+b，由边长为a的正方形、边长为b的正方形及两个长a宽b的长方形组成）直观表示面积关系，标注“(a+b)²=a²+2ab+b²”，下方补充完全平方差公式“(a-b)²=a²-2ab+b²”的几何模型（大正方形减两个长方形加小正方形），初步呈现公式的代数与几何意义。幻灯片2：学习目标理解完全平方和与完全平方差公式的推导过程，明确公式的结构特征（“首平方、尾平方、积的2倍放中央，符号看前方”）。掌握完全平方公式的表达式“(a+b)²=a²+2ab+b²”和“(a-b)²=a²-2ab+b²”，能准确识别公式中的“a”和“b”（可表示数字、字母或多项式）。能运用完全平方公式解决直接应用、符号变形、底数为多项式及混合运算等问题，提升整式乘法的准确性与效率。体会“从一般到特殊”“数形结合”的数学思想，培养观察、归纳与推理能力，能区分完全平方公式与平方差公式。幻灯片3：导入——从多项式乘法的特殊形式切入复习回顾：回顾多项式乘多项式法则，计算练习：(x+3)(x+3)；(2a-1)(2a-1)。学生计算后发现：这两个式子均为“两个相同二项式相乘”，即“(m+n)²”或“(m-n)²”的形式，展开后结果有规律可循。提出问题：对于“(a+b)²”“(a-b)²”这类“二项式的平方”，展开后是否有统一的公式？与平方差公式有何区别？引出本节课核心——完全平方公式。幻灯片4：完全平方和公式的推导（代数与几何结合）一、代数推导：定义：(a+b)²

表示“(a+b)与(a+b)相乘”，即(a+b)²=(a+b)(a+b)。按多项式乘法展开：(a+b)(a+b)=a・a+a・b+b・a+b・b=a²+ab+ab+b²。合并同类项：ab+ab=2ab，最终得(a+b)²=a²+2ab+b²。二、几何验证（面积法）：几何模型：边长为(a+b)的大正方形，可分割为三部分：边长为a的正方形、边长为b的正方形、两个长为a、宽为b的长方形。面积关系：大正方形面积=(a+b)²；三部分面积和=a²+b²+ab+ab=a²+2ab+b²。结论：(a+b)²=a²+2ab+b²，从几何角度验证公式正确性。动画演示：分步展示大正方形的分割过程，标注各部分边长与面积，直观呈现“整体面积=部分面积和”的关系。幻灯片5：完全平方差公式的推导（类比与变形）一、代数推导：方法1：类比完全平方和公式，将(a-b)²

看作(a+(-b))²，代入完全平方和公式：(a+(-b))²=a²+2・a・(-b)+(-b)²=a²-2ab+b²。方法2：直接展开多项式：(a-b)²=(a-b)(a-b)=a・a-a・b-b・a+b・b=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²。二、几何验证：几何模型：边长为a的大正方形，在其中一个角剪去一个长为a、宽为b的长方形，再补上一个长为(a-b)、宽为b的长方形，最终形成边长为(a-b)的正方形（结合图形变形）。面积关系：边长为(a-b)的正方形面积=(a-b)²；面积计算：大正方形面积-两个长方形面积+小正方形面积（补全部分）=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²。结论：(a-b)²=a²-2ab+b²，验证公式正确性。公式总结：完全平方和公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²；统一口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方”（“首”指a，“尾”指b，“符号”由(a±b)的符号决定）。幻灯片6：完全平方公式的结构特征分析结构拆解：以(a±b)²=a²±2ab+b²

为例：左边：二项式的平方，形式为“(首

±

尾)²”；右边：三项式，包含“首

²”“尾

²”“±2×

首

×

尾”三部分，且“首

²”与“尾

²”的符号恒为正，中间项的符号与左边“±”一致。易错对比：避免与“(ab)²=a²b²”混淆（前者是二项式的平方，后者是积的平方）；避免漏写中间项“2ab”（如误将(a+b)²

写成a²+b²）；避免中间项系数错误（如误将(a+b)²

写成a²+ab+b²）。示例分析：(3x+2y)²：首=3x，尾=2y，右边=(3x)²+2×3x×2y+(2y)²=9x²+12xy+4y²；(5a-1)²：首=5a，尾=1，右边=(5a)²-2×5a×1+1²=25a²-10a+1。幻灯片7：完全平方公式的应用1——直接应用（a、b为数字或单个字母）例题1：计算下列各题：(x+4)²；(2a-3)²；(-m+2n)²；(√3-2)²（拓展，可选讲）。解答过程：(x+4)²：识别首=x，尾=4，符号为“+”；应用公式：x²+2×x×4+4²=x²+8x+16。(2a-3)²：首=2a，尾=3，符号为“-”；公式应用：(2a)²-2×2a×3+3²=4a²-12a+9。(-m+2n)²：变形为(2n-m)²（或直接看作(a+b)²，其中a=-m，b=2n）；方法1（变形后）：首=2n，尾=m，公式应用=(2n)²-2×2n×m+m²=4n²-4mn+m²；方法2（直接应用）：(-m)²+2×(-m)×2n+(2n)²=m²-4mn+4n²（结果一致）。(√3-2)²：首=√3，尾=2，符号为“-”；公式应用：(√3)²-2×√3×2+2²=3-4√3+4=7-4√3。解题关键：准确确定“首”“尾”及符号，无论“首”“尾”是正数还是负数，“首

²”“尾

²”均为正；中间项系数为“2×

首

×

尾”，符号与左边“±”一致，避免漏写或系数错误。幻灯片8：完全平方公式的应用2——底数为多项式或复杂形式例题2：计算下列各题：(x+y+z)²（拓展：三项式的平方）；(2a-b+3)²；(a-1)²(a+1)²（完全平方与平方差结合）。分析与解答：(x+y+z)²：分组变形：将(x+y)看作一个整体，即[(x+y)+z]²；应用完全平方和公式：(x+y)²+2×(x+y)×z+z²；展开(x+y)²：x²+2xy+y²+2xz+2yz+z²；结果：x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz（三项式平方规律：各项平方和+两两积的2倍）。(2a-b+3)²：分组变形：[(2a-b)+3]²；公式应用：(2a-b)²+2×(2a-b)×3+3²；展开：4a²-4ab+b²+12a-6b+9；整理结果：4a²+b²+9-4ab+12a-6b。(a-1)²(a+1)²：逆用积的乘方：[(a-1)(a+1)]²（先算平方差，更简便）；计算(a-1)(a+1)=a²-1；再应用完全平方公式：(a²-1)²=(a²)²-2×a²×1+1²=a⁴-2a²+1。解题技巧：底数为多项式时，通过“分组”将其转化为“(首

±

尾)²”的形式，再应用公式；混合运算中，优先逆用运算律（如积的乘方）简化计算，再结合完全平方公式，提升效率。幻灯片9：完全平方公式的应用3——简便计算与实际问题例题3：用完全平方公式计算下列数字运算：102²；99²。解答：102²=(100+2)²：首=100，尾=2，符号为“+”；公式应用：100²+2×100×2+2²=10000+400+4=10404。99²=(100-1)²：首=100，尾=1，符号为“-”；公式应用：100²-2×100×1+1²=10000-200+1=9801。例题4：如图，一个正方形花坛的边长为(x+5)米，现将边长增加3米，求扩大后花坛的面积（用含x的代数式表示），若x=10，求扩大前后面积的差值。解答：扩大后边长=(x+5)+3=(x+8)米；扩大后面积=(x+8)²，应用公式：x²+16x+64（平方米）；扩大前面积=(x+5)²=x²+10x+25（平方米）；面积差值=(x²+16x+64)-(x²+10x+25)=6x+39；当x=10时，差值=6×10+39=99（平方米）。幻灯片10：完全平方公式与平方差公式的对比辨析对比表格：对比维度完全平方公式平方差公式核心区别左边形式二项式的平方（(a±b)²）两个二项式的和与差相乘（(a+b)(a-b)）完全平方是“平方”运算，平方差是“乘法”运算右边结果三项式（a²±2ab+b²）二项式（a²-b²）完全平方有三项（含中间项），平方差有两项适用条件两个相同二项式相乘两个二项式，一项相同、一项互为相反数完全平方需“相同二项式”，平方差需“和与差”口诀记忆首平方，尾平方，积的2倍放中央首平方减尾平方，先看符号后计算完全平方多“积的2倍”，平方差无中间项易错示例辨析：误将(a+b)²

写成a²+b²（漏中间项2ab）；误将(a-b)²

写成a²-b²（混淆完全平方与平方差）；误将(a+b)(a-b)写成a²+2ab+b²（用错公式）。幻灯片11：课堂练习——分层巩固基础练习1：计算下列各题：(m-2n)²=______（答案：m²-4mn+4n²）；(3x+1)²=______（答案：9x²+6x+1）；(-2y-3)²=______（答案：4y²+12y+9）。提升练习2：计算下列各题（混合运算）：(a+2b)²-(a-2b)²（提示：用完全平方公式展开后合并，或逆用平方差公式）；方法1（展开合并）：(a²+4ab+4b²)-(a²-4ab+4b²)=8ab；方法2（逆用平方差）：[(a+2b)-(a-2b)][(a+2b)+(a-2b)]=4b×2a=8ab；(x-3)²+2(x-3)(x+3)-(x+2)²（答案：x²-10x-1）。拓展练习3：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²

和(a-b)²

的值（提示：a²+b²=(a+b)²-2ab=25-6=19；(a-b)²=a²-2ab+b²=19-6=13）。幻灯片12：课堂小结核心知识：完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²；结构特征：三项式，含“首

²”“尾

²”“±2ab”，几何意义为正方形面积的分割与2024人教版数学八年级上册授课教师：

.班级：

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时间：

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16.3.2完全平方公式第十六章

整式的乘法aiTujmiaNg1.通过学生自主探究理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算，提高学生解决问题的能力．2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．3．让学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．4．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想．重点难点学习目标1．a2可以表示成什么？2．多项式与多项式相乘的法则是什么？a×a一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加新课导入

一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？新课导入一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b

米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，

并进行比较.aabb知识点1完全平方公式新课讲解直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2aabb新课讲解计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p–1)2=(p–1)(p–1)=

.p2–2p+1(4)

(m–2)2=(m–2)(m–2)=

.m2–4m+4问题1：学生活动

【一起探究】新课讲解根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2问题2：新课讲解(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2

也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”完全平方公式新课讲解你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?新课讲解设大正方形ABCD的面积为S.S=

=S1+S2+S3+S4=

.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4证明新课讲解aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：几何解释新课讲解a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2(a–b)2=

.a2–2ab+b2差的完全平方公式：几何解释新课讲解(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：(1)说一说积的次数和项数.(2)两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？(3)两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？问题4：新课讲解

公式特征：公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.新课讲解例1

运用完全平方公式计算：解:

(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2；利用完全平方公式进行计算(2)

(a–b)2=a2–2ab+b2y2=y2–y+解：=+–2•y•新课讲解(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：

1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.

例2

运用完全平方公式计算：利用完全平方公式进行简便计算新课讲解

新课讲解

利用乘法公式计算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152新课讲解例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)

x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.利用完全平方公式的变形求整式的值新课讲解方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.新课讲解添括号法则a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括号：把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：知识点2新课讲解

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).添括号法则新课讲解例

运用乘法公式计算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:(1)(2)原式=[(a+b)+c]2

=

x2