2026年高考数学知识复习（全国）：专题01 集合与常用逻辑用语（题型清单）（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语题型4判断集合间的关系问题题型6根据集合间的关系求参数题型9集合中的计数问题题型10集合中的新定义问题题型12根据充分与必要条件求参数题型13含一个量词命题的否定找到元素与集合关系的两个方法：1、若集合中元素使直接给出的，直接判断元素在已知集合中是否出现即可；2、若集合中元素没有直接给出，判断元素是否满足集合中元素所具有的特征即可；注意：要先明确集合中的元素满足哪些条件.1.(2025·河北沧州·模拟预测)已知集合A={x³-8<0},则()【答案】A【解析】由题可知0∈A,1∈A,2∉A,故A正确，BC错误，集合{0,1,2}不是集合A的子集，故D错误.故选：A.2.(2025·陕西汉中·二模)已知集合A={2m+√3n|meZ,neN},则()设-1+2√3=2m+√3n,则有理数部分：-1=2m→m=-0.5(非整数，矛盾),x,y∈M,则x+y∈M.下列说法中正确的有()C.若x,y∈M,则xy∈M.D.若x,y∈M,则x-y∈M.再根据性质②,得1+1=2∈M,进而1+2=3∈M,…,2024∈M,2025∈M,故B正确，对于D,若x=1,y=2,则x-y=-1∈M,故D错误，故选：BC.题型2求集合中元素的个数问题6.(2024·四川乐山·三模)已知集合A={(x,y)|x²+y²≤10,xeN,yen*},则集合A的元素个数为()因此AUB中至少有4元素，取a=2,此时A={0,2,4},B={1,4},AUB有4个元素，A.{1}B.{1,-4}C.{1,A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>3【解析】因为2∈A,所以2×2-1>m,所以m<3.故选C【解析】由Inx<1,得0<x<e,则A={x|0<x<e},A={x|x≤0或≥e},题型4判断集合间的关系问题1、列举法：先根据题中限定条件把集合中元素列举出来，然后比较集合中元素的异同，从而判断集合3、先用数轴或Venn图表示集合，然后通过数形结合判断集合之间的关系.A.A∩B=ØB.ABC.BAD.(&A)OB≠A∩B=错误，AcB错误，BA错误，A.A=BB.ABC.ABA.A=BB.ABC.BAD.A∩B=【解析】因A₁={y|y=2k+1,keZ}为奇数集，B₁={y|y=k+2,k∈Z}为整数集，则A₁EB₁,故AB.故选：BN={xy=√x²+2x-8,则下列关系中正确的是()A.M∩N=B.MUN=U对于C,N不包含M,故C错误；如果集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2”个.(2)A的非空子集的个数有2”-1个.(3)A的真子集的个数有2”—1个.(4)A的非空真子集的个数有2”-2个.【答案】A【解析】解：由题意可得M={0},{0,-1},{0,1},A18.(2025-河北保定·二模)已知集合A={(x,y)的个数为()【解析】因为y=(x-1)(x-5)的对称轴为x=3,顶点为N(3,-4),且过点M(1,0),P(5,0),作y=(x-1)(x-5),y²=4x的图由图可知，y=(x-1)(x-5)的图象与抛物线y²=4x有4个不同的交点，则A∩B有4个元素，从而A∩B的真子集的个数为2⁴-1=15.故选：D19.(24-25高三下·广东东莞·阶段练习)设集合A={x∈N|4x<2026<x⁴},则集合A的非A.2500-1B.2由x⁴>2026,x∈N,6⁴=1296,7⁴=2401,则x≥7,所以A={x∈N|7≤x≤506},共有506-7+1=500个元素，真子集个数为()A.3B.5题型6根据集合间的关系求参数A.[1,2]B.[∞0,1][2,+)C.(1,2)【解析】因为BA,所以解得1≤m≤2.所以m的取值范围是[1,2].故选：A.A.[-∞0,-2]B.(-∞0,-2)C.[-∞,0]D.(-∞,0)【答案】C【解析】依题意，A={x|x<1},B={xl(x-a)(x-a-1)<0}={x|a<x<a+1},因为BA,所以a+1≤1,解得a≤0,【解析】因为,所以,所以x≤-3或x>2,当B=φ时，3p-2>2p-1,解得p>1,满足B≤ðA;大集合的交、并、补运算集合运算的常用方法 A.[0,1]B.(0,1)C.[-1,1]D.A.{xx≥-2}C.{x|-2≤x<1}N={x|0<1-x≤3}={x|-2≤x<1},A.[0,2]B.(-∞,0)(2,+∞)(C.(-,0)u[2,+∞]D.(-∞,0][2,+∞)【解析】A.{3,6}B.{3,7}C.{3,6,7}D.{6,7}【解析】因为ðA={3,5,7},B={3,6,7},所以(8A)∩B={3,7}.故选：B.题型8已知集合运算结果求参数A.2B对于任意的实数a,a²≥0,a²不能等于-2,a的取值范围是()A.(5,+∞)B.(5,+∞)C.(3,+∞)D.(3【解析】由x²-6x+5<0,可得(x-5)(x-1)<0,解得1<x<5,所以N={xl<x<5},由NUM=M,又M={xl0<x<a},所以a≥5,31.(24-25高一上全国·课后作业)已知集合m的取值范围为()A.m≤1B.m≤2C.m<1D.m≥2【解析】因为集合B={x|x>m},所以(32.(2025-新疆喀什·二模)已知集合A={x|x≤2},B={x|x²-2x-3≥0},C={x|x>a}且A.(-1,+o)B.(∞0,3)C.(-∞0,-1)【答案】B【解析】因为1B={x|x²-2x-³≥0},所以B={x|x≤-1或x≥3},所以委B={x|-1<x<3},所以AU(B)={x|x<3},因为AU(QB)UC=R,所以a<3,所以实数a的取值范围为(-∞,3).故选：B.解解集合中的计数问题关于集合中的计数问题，常借助Venn图或用公式card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A∩B),card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩(card(A)表示有限集合A中元素的个数)求解.33.(2025-江苏·一模)我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为()A.700B.800C.900【答案】C【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为x,则楼下食堂用午餐的学生数大约为1500-x,原本在楼上食堂且留下的学生：占比1-10%=90%,即0.9x,从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的15%,即0.15(1500-x),所以x=0.9x+0.15(1500-x),所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为900.故选：C34.(24-25高三上·广东广州·阶段练习)学校举办运动会，高三(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为()【答案】A【解析】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x,只参加田径比赛的人数为y,只参加球类比赛的人数为z,只参加游泳比赛的有15-3-3=9人，作出韦恩图，∴只参加田径一项比赛的人数为2.所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，35.(24-25高三上·重庆渝中·阶段练习)今年高二(1)班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分.考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二(1)班共有()个同【答案】C【解析】设集合A表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A∩B表示两科均在90分以上的学生，则集合A∩B中有40个元素，AUB表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知AUB中有个45+48-40=53元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二(1)班共有53人，故选：C.36.(24-25高一上·湖北阶段练习)向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是()A.赞成A的不赞成B的有9人B.赞成B的不赞成A的有11人C.对A,B都赞成的有21人D.对A,B都不赞成的有8人【答案】B【解析】赞成A的人数为：赞成B的人数为30+3=33.记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A,赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示，设对事件A,B都赞成的学生人数为x,则对A,B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.依题意解得x=21.所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A,B都赞成的有21人，对A,B都不赞成的有8人.故选：B解决集合新定义问题的关键：紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.A.1B.2【答案】C【解析】因为A={1,4},B={-1,2},所以A⊗B={0,-3,3},故A⊗B中的元素个数为3.故选：C.38.(24-25高三上·四川成都·期中)给定集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x∉N},若A.N={y|y≥1}B.M-N={x|-2≤x<1}C.N-M={x|x≥2}D.N-(N-M)={x|1≤x【答案】C当且仅当即x=0时，等号成立，即1N={y|y≥1},A选项正确；又M={x|-2≤x≤2},则M-N={x|-2≤x<1},B选项正确；N-M={x|x>2},C选项错误；N-(N-M)={x|i≤x≤2},D39.(2024·广东·模拟预测)对于非空数集A,B,定义A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},将A×B称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为M|,若A,B是两个非空数集，则的最小值是A.2【答案】B【解析】设|A|=m|B|=n,m,nen,所以的最小值是4.故选：BB.集合B={a|a=(x,y),y≤Inx}为“封闭集”【解析】设m=OM,n=ON,OD=λm+(1-λ)n=λ则OD-ON=λOM-ON,λ∈[0,1],即可得ND=λNM,λ∈[0,1对于A,集合A={a|a=(x,y),y≥x³},若对于任意的P(x;,y₁),Q(x₂,Y₂)满足y₁≥x³,y₂≥x2,函数y=x³如下图，显然线段PQ上任意一点D(x₃,y₃),不一定满足y₃≥x³,图中所示y₃<x³,即OD∉A;对于B,若B={a|a=(x,y),y≤1nx},对于任意的G(x₄,y4),H(xs,ys)满足y₄≤1nx₄,y₅≤1nx₅,则函数y=lnx如下图，显然线段GH上任意一点E(x₆,y₆),都有y₆≤1nx₆,即OD∈B;根据对称性，如图1可知B={ala=(x,y)则A∩B表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2,显然任意的OP,OQ∈A∩B,对于D,若A,B对于任意的P(x',y'),Q₁(x₂,y₂)满足y′=x',y₂'=x₂,则OP,OQ∈A,函数y=x如下图，显然线段PQ₁上任意一点D₁(xs'而AUB的图象如下：显然OR,OS|∈AUB,但线段R₁S₁上任意一点T不满足y=题型11充分条件与必要条件的判断(1)定义法：根据p=q,q=p进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判又a,b∈(0,+oo),所以a>b⇔f(a)>f(b),【解析】若-2∈A,则m=4,则A={2,-2},B={x∈R|x²+x≤6}=[-3,2],此时A∩B则aₙ=a₁+(n-1)d,a+k=a+(n+k-1)d,aₙ₋k=a₁+(n-k-1)d,题型12根据充分与必要条件求参数(组)求出参数的值或取值范围.45.(2025-河北·模拟预测)已知集合A={x|x²<1},分不必要条件，则实数a的取值范围为()【答案】A所以BA,所以有解得故选：A.46.(2025-河北秦皇岛·一模)已知λ>0,集合A={x|x²-5x-6<0},B={x(x-z)(x-22)<0},若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则λ的取值范围为()A.(0,3)B.(0,3)C.(0,2)【答案】B【解析】A={x|x²-5x-6<0}={x|-1<B={x(x-z)(x-2λ)<0}={x|λ因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，可得·等号不同时成立，结合λ>0,解得0<λ≤3,所以λ的取值范围为(0,3),故选：B47.(2025-河南·模拟预测)已知p:|2-3x|≤7;q:x²-4x+4-9m²≤0(m>0),若9是P的充分不必要条件，则实数m的取值范围是·【答案】【解析】由p:|2-3x≤7可得-7≤2-3x≤7,即又因为9是P的充分不必要条件，所以,(m>0),所以(等号不同时成立),解得故答案为：【答案】[1,+]【解析】甲：x≥1,设此范围对应集合A=(1,+∞);由a<a+1,则乙：⇔a<x<a+1,设此范围对应集合B=(a,a+1),则a≥1,所以a的取值范围是：大招(1)改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定.A.3x∈R,x²-3x+4≥0B.3x∈R,x²-3x+4>0C.Vx∈R,x²-3x+4≤0【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：A.3x∈QQ,x²-√2≠QB.3x∈Q,x²