大学二年级线性代数2025年上学期冲刺押题试卷（含答案）

大学二年级线性代数2025年上学期冲刺押题试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将答案填在题后的括号内）1.下列矩阵中，可逆矩阵是（）。(A)$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$(B)$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$(C)$\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$(D)$\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}$2.设向量组$\alpha_1=(1,0,1),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(1,1,1)$，则该向量组的秩为（）。(A)1(B)2(C)3(D)03.齐次线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\2x_1+2x_2+2x_3=0\end{cases}$的基础解系中向量的个数为（）。(A)0(B)1(C)2(D)34.设$\lambda_1=1,\lambda_2=2$是矩阵$A$的特征值，则$|A|$等于（）。(A)1(B)2(C)3(D)45.下列二次型中，正定二次型是（）。(A)$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_2^2-3x_1x_2$(B)$f(x_1,x_2)=-x_1^2-x_2^2$(C)$f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$(D)$f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2$二、填空题（每小题3分，共15分。请将答案填在题后的横线上）1.行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$的值为________。2.矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩阵$A^{-1}$为________。3.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则向量组$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$也________。4.线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+2x_2+2x_3=2\end{cases}$的解的情况为________。5.二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2$的正惯性指数为________。三、计算题（每小题5分，共20分）1.计算行列式$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&x\\1&x&1\end{vmatrix}$。2.求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$的逆矩阵。3.解线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2-x_3=1\\2x_1+x_2+x_3=3\\x_1-2x_2+2x_3=-1\end{cases}$。4.求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$的特征值和特征向量。四、证明题（每小题10分，共20分）1.证明：如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，那么向量组$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$也线性无关。2.证明：实对称矩阵的特征值都是实数。试卷答案一、选择题1.(C)2.(C)3.(C)4.(B)5.(C)二、填空题1.02.$\begin{pmatrix}-2&1\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$3.线性无关4.有无穷多个解5.3三、计算题1.解：按第一列展开$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&x\\1&x&1\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}1&x\\x&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&x\\1&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&1\\1&x\end{vmatrix}=(1-x^2)-(1-x)+(x-1)=-x^2+x$2.解：利用公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$$|A|=1\cdot3-2\cdot2=-1$$A^*=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&1\end{pmatrix}$$A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}3&-2\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}$(此处原答案错误，应为$\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}$)3.解：增广矩阵$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\2&1&1&3\\1&-2&2&-1\end{array}\right)$行变换为$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\0&-1&3&1\\0&-3&3&-2\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\0&1&-3&-1\\0&0&0&-5\end{array}\right)$$r(A)=2,r(\overline{A})=3$，无解。4.解：特征方程$\det(A-\lambdaI)=0$$\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\2&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=0$$(\lambda-3)(\lambda+1)=0$，$\lambda_1=3,\lambda_2=-1$$\lambda_1=3$时，$(A-3I)\mathbf{x}=0$，$\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$，得$\mathbf{x}=k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$($k_1\neq0$)$\lambda_2=-1$时，$(A+I)\mathbf{x}=0$，$\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$，得$\mathbf{x}=k_2\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$($k_2\neq0$)四、证明题1.证明：设存在常数$k_1,k_2,k_3$，使$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$即$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，得$\begin{cases}k_1+k_3=0\\k_1+k_2=0\\k_2+k_3=0\end{cases}$解此方程组，得$k_1=k_2=k_3=0$故$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$线性无关。2.证明：设$A$是实对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征值，$\mathbf{x}$是对应的特征向量，即$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$，$\mathbf{x}\neq0$。$(A\mathbf{x})^T=(\lambda\mathbf{x})^T$，即$\mathbf{x}^TA^T=\lambda\mathbf{x}^T$因为$A^T=A$，所以$\mathbf{x