2025年第二章-声子课件

第二章声子晶格动力学本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动晶格振动首先我们考虑一个元胞中只有一个原子（离子）的简单晶格晶体的元胞数为N，原子质量为M，原子l

的位置：则代表此原子的位移。晶格振动的总动能总势能为由于晶体的平移对称性代表l’元胞中原子沿

方向移动单位距离时对l元胞中原子作用力沿

方向的分量，称为力常数因为当整体作刚性运动（即每个原子均作）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即

在简谐近似下，略去

展开的三次方由正则方程可得系统的运动方程利用平移对称性及布洛赫定理对于确定的k，运动方程的解表现出下列特征：各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。有特定的相位关系，按变化因此，每一确定的k的解代表波长为的集体振动，称为格波令对应于用波矢k标记的特解可将3N自由度的耦合方程组简化为N个独立的3自由度耦合方程。而每个波矢满足方程-------3

3动力学矩阵，为实的厄米矩阵。

其对角化方程为

为振动频率，由久期方程可求出3个本征频率和本征向量满足正交性和完备性条件结合以上方程可知：代表波矢为k、偏振为

、频率为的格波解。在BZ中，一定时刻t的格波解称为简振膜。根据正格矢与倒格矢之间的关系可得动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ内讨论即可。由于有N个不同的k，而每个k又对应3个本征值，因此有3N个简正模（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N维空间函数组。对于具有r个原子的复式晶格，本征频率晶格振动的一般解：系数（包括因子）在固体物理学中称为简正坐标；代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢。2.格波的特性1.

的共性i）格波的本征频率是倒点阵的周期函数ii）

具有点阵所属点群的全部对称性iii）存在一个普遍的关系式它是时间反演对称性的结果。2.

声学模与光学模声学模：色散曲线具有k=0时，

=0特征的格波称为声学模。光学模：反之，当k=0时,的格波解称为光学模。可以证明：简单晶格中的全部格波解都属于声学模因为：

在复式晶格中，同时存在声学模和光学模对于元胞中有r个原子的复式晶格有本征方程其中s,s’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。格波频率由下式决定：同样，复式晶格的刚性位移不产生应力将代入本征方程可得如果某确定的

的解在长波限满足条件----同向运动则本征方程变为由此可知，复式晶格的声学模为元胞内各原子的同向运动，即元胞的质心运动每个k值有3个独立的

解属于声学模。

在一般情况下，，即其它（3r-3）个

解属于格波的光学模如果（s=1，2），当时

点的实极化矢量满足正交关系：设

为声学模，由于对声学模有代入上式可得由于3个声学模解的极化向量彼此正交。因此，光学模满足条件因此，光学模代表元胞的质心不动，元胞内原子的相对运动。3.

格波频率的计算二维的正方晶格（i）

线（包含

、M点）横向声学模：极化矢量e与传播方向垂直；纵向声学模：极化矢量e与传播方向平行；（ii）

线（包含

、X点）存在横向声学模和纵向声学模（iii）Z线（包含X、M点）既非横波，也非纵波。

一维复式晶格既存在声学模，也存在光学模3.简正坐标在简谐近似下晶格振动已由简正模的线性叠加表示其是复简正坐标，由于中为实量，则那么；若约定极化矢量满足关系式则复简正坐标对于动能晶格振动的势能其中那么晶格振动的哈密顿可简化为H在简正坐标中表示为3N个独立项之和；利用拉氏函数可求出Qk

的共轭动量根据正则方程可求出简正坐标满足方程与简谐振子的运动方程在形式上相同。利用傅里叶变换显然简正坐标

和其共轭动量均为集体坐标。4.声子晶格振动必须用量子力学处理其量子化条件为共轭量满足对易关系（一次量子化）那么容易求得简正坐标的对易律：由于（P，Q）为复共轭量，因此，H哈密顿中并不对应量子力学中频率为的简谐振子哈密顿量

因为（p，q）为实量。晶格振动的哈密顿可进一步写成：为了消除H中k和-k的交叉项，通过正则变换（对易关系不变）定义新算符（二次量子化）经计算可得哈密顿对易关系为（玻色对易关系）其时间依赖关系可利用海森堡运动方程位移矢量可表示为h.c.代表厄米共轭项，这是位移的行波展开，其中每一项求和代表频率

偏振

沿k方向传播的格波，它所对应的哈密顿量是定态薛定谔方程进一步可得暂时略去（k，

）下面讨论上面算符方程的基态和激发态（i）基态设基态为，有能量，采用狄拉克（Dirac）算符将算符a作用上式两边得到另一个态满足当时它比|0>具有更低的能量，显然与原假设矛盾，所以基态必须满足条件上式即二次量子化表象中的基态定义由于，于是基态能为它相当于振子的零点能。（ii）激发态称为激发一个波格量子

的状态，称为第一激发态。

代表激发n个格波量子的状态，叫做第n激发态，用表示

其中cn由归一化条件决定。格波能量总是以一份份地激发，这个量子称为声子激发了n个声子的

格波能量为与谐振子的能量一致。（iii）递推关系是声子的产生算符，是声子的消灭算符；有特性其本征值为n，代表声子数，因此，称为声子数算符。另外恢复脚标（k，

），那么代表3N种不同的（k，

）的无互作用声子系统，而能量为声子是玻色子，N个原子（离子）的耦合振荡问题在简谐近似下约化为独立玻色子系统。温度T时，格波（k

）所激发的平均声子数

T=0K时，声子数为0，称为声子真空。

声子并不是真实的粒子，不能脱离固体，可以产生和消灭，有相互作用时声子数不守恒。5．长波方法（一）——声学模

在多数问题中，长波长的声子起重要作用，为此，有必要讨论晶格动力学理论的长波极限（k

0）情况。

由于声频支代表同一元胞中诸原子（基元）的质心运动，因此，复式晶格中的声学模也可当简单晶格处理。

对长波长的晶格振动，晶体结构的原子性对问题影响不大，可用连续介质近似引入一个在空间缓变的位移场

：代表r点附近小体元的位移；当（简记时，u就是l元胞中质心的运动时间的函数由于u是在元胞间缓慢变化过渡到连续介质的基本关系式定义密度：

求和与积分的变换：

过度到连续介质近似对于晶格振动的动能：对于势能项其中：--弹性系数

---形变能密度考虑求解弹性问题，首先应考虑对称性最简单而又最常用的模型是把晶体看作弹性各向同性体，这时弹性能与取向无关。由于位移场只可能有三种一阶导数；因此能保持上述旋转不变性的二次函数只可能是它们的标量二次型:

而代表晶体旋转，而不是应变，这一项不会出现在弹性能中。弹性各向同性体的形变能密度应具有下列简单形式A，B与弹性系数的关系长波近似的动力学矩阵求得长波情况下的本征方程具有声频支的特征对于弹性各向同性体其矢量形式为可以看出，它有一个纵波（），两个横波（）解横波的声速小于纵波的声速。由于求本征方程时，已假定晶格波的形式解作下列对应：由此可得弹性波方程（从本征方程）当各向同性时经变化可求得矢量表示式这就是人们熟知的弹性波方程。引入简正坐标经计算可得：

引入声子的产生消灭算符--有一个纵波和两个横波。

位移场的二次量子化形式位移场的变化与体积变化有关因此，只有纵波导致体积变化，LA声子对电子的互作用比TA声子更重要。6．长波方法（二）——光学模在离子晶体中长波光学模代表元胞内正、负离子的反向运动，它伴随着极化并与电磁波有强烈的相互作用，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。以下为黄昆的长波方法:设每个元胞只含有两个电荷量相等、符号相反的离子，基于连续介质模型：由于在长波限各正负离子的相对位移几乎一样，因此用一个矢量W描述光频振动：折合质量的密度光频支振动的动能密度位能密度由两部分组成其中这里P代表晶体的极化强度，E为宏观电场；显然正、负离子的相对位移导致极化并产生内场，这个场又反过来作用于离子影响它们运动，并且还使离子上电子相对于核位移产生电子极化

方程一：第一项为离子位移极化，第二项与离子上电子的极化有关。由此可得：其中是待定系数。拉氏密度W的共轭量：因此哈密顿：

利用正则方程：

可导出光学模的运动方程其中第一项代表弹性恢复力，是短程作用；第二项是极化所产生宏观内场对离子运动的作用力，它概括了长程作用。

方程二：---------------长波方法的优点是用宏观内场代替对离子间的长程库仑力求和------------------利用黄昆方程可求出离子晶体中光学模横纵波的频率，并且诸系数可由常用的宏观测量值决定（高低频介电常数）。1.介电常数考虑的平面波解，当时代入黄昆方程一二消去W后可得根据：

可求出

与

的关系式介电函数在时有极点。静态介电常数：

高频介电常数：

于是求得诸系数：

介电函数可表示为

2.横波及纵波振动方程在各向同性介质中，光学模可划分为纵波部分与横波部分，相应的矢量：当不存在外磁场时，

，又由于

，因此

横振动方程变为：

黄昆方程二写为：

横波的频率与介电函数的极点频率

相等。对于纵波，考虑到离子晶格中平均电荷密度为零，故，又由于；所以代入黄昆方程一，可得将上式代入黄昆方程二，可得纵波振动方程纵波和横波的关系这是著名的LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系。介电函数可进一步写为由于，因此；为介电函数的零点频率，为极点频率。当时，；这时电磁波只能在晶体边界上反射，而不能在介质中传播。7．极化激元

由于光子是横向电磁场的量子，光照射离子晶体时将激发横向电磁场，从而对离子晶体中光频支横波振动产生影响。

当光子频率（）与横波光学模声子（TO）的频率（）相近时，两者耦合很强，形成光子-光学模声子的耦合模式，其量子称为极化激元（Polaritons）

由于时对应的光子波数与布里渊区的尺寸（）相比为小量，因此，极化激元是长波长光频支振动与电磁场的耦合模量子。为求耦合模，必须考虑黄昆方程与麦克斯韦方程的联立其中假定（i）介质是非磁性的：（ii）不存在空间电流：（iii）无自由电荷：所以仅涉及横向场量：*考虑平面波型解：设波矢k沿z方向，E、P、W在x方向振动，而H沿y方向代入上式解系数行列式可将频率方程写为得到极化激元的色散关系极化激元的解有两支当时：当

时：有两重根，说明存在两种横波，它们的偏振方向不同。反映出声子与光子的耦合特征。禁区光速

+

-介质中光速两支极化激元的色散曲线:在频率范围内不存在耦合模的传播解，代表禁区。在禁区入射光不能在离子晶体中传播，与此同时实验上将观察到强烈的反射现象。介电函数与频率的关系：反射率当以上说明极化激元对解释晶体中的光学现象起重要作用。极化激元的概念在固体理论中已推广到光子与激子、磁振子等的相互作用形成的耦合模量子。以上极化激元的色散关系已被拉曼（Raman）光谱实验所证实。8.态密度

由于波矢k显准连续分布，每一频带内的格波频率也将是连续分布。那么在计算热力学量时，可以把的求和变换为对频率的积分。态密度：平均每个元胞（或格点）的态密度定义为单位频率间隔内的格波模式数被总元胞数N除。态密度满足：即对于三维复式晶格，当元胞内含有s个原子时，态密度的积分应等于平均每个元胞内的振动自由度3s。*由于求和变换为积分有:那么，用积分表示态密度有:用态密度计算热力学量在简谐近似下，晶格系统总的振动能量为这里为声子数组态晶格振动的配分函数为按照热力学公式，自由能为利用狄拉克

函数的特性以及自由能可写为：态密度是计算晶格热力学特性的重要物理量内能：

热容：

熵：

显然，知道了态密度也就可计算出以上热力学量。态密度的计算例如，对于质量为M，弹性常数为f以及周期为a的一维原子链，其格波频率为：那么采用长波近似时，各向同性时格波声学模的色散关系简化为每个k有一个纵波和两个横波。由于态密度的积分在内是德拜（Debye）模型中的最大波数，是德拜频率。态密度这就是固体物理学中的德拜（Debye）态密度态密度的面积分表示首先将k空间元作变换其中是等频面上的面积元，是等频面间的垂直距离当时，被积函数发散，因此这些点的态密度出现奇异性，这样的点称为范

霍夫奇点（VanHove）若将格波的频率换成能带电子的能量则平均每个格点的电子态密度为：这里

代表电子自旋指标。

对于自由电子模型那么此即自由电子气的态密度。9．范

霍夫奇点（VanHove）态密度的面积分表示：当波包的群速时，中将出现范

霍夫奇点。*由于在三维晶格中在色散曲线的极小点、极大点和鞍点处为零。那么其中是在主轴坐标系中的展开系数，而为范

霍夫奇点的波矢。那么共有4类范

霍夫奇点：1）：代表的极小点，用标记；2）：代表的极大点，用标记；3）：代表的I类鞍点，用标记；4）：代表的II类鞍点，用标记；范

霍夫奇点附近态密度的特性首先作标度变换：

可得：

对于单频带情况，再利用态密度的另一个等效公式：下面分别讨论4类范

霍夫奇点1）极小点（）：的情况；计算可得： 其中

这样可得极小点（）附近的态密度态密度以无限大斜率离开极小点。2）极大点（）：的情况；同理可得：态密度：

态密度以负无限大斜率接近极大点。3）I类鞍点（），的情况当时，令是单叶双曲面当时，令是双叶双曲面当时做下列坐标变换：i）当时，令变换前后的体元关系;ii）当时，令变换后态密度为：其中来源于积分限于内。为一固定数由此可得：在I鞍点附近的态密度：在附近态密度是连续的，但斜率是不连续的，第二项的导数在点趋于正无穷大。4）II类鞍点（），的情况与I类鞍点（）类似，只是态密度的导数在点以负无穷大离开。10.晶格振动的局域模

含有杂质和缺陷的晶体，由于平移对称性被破坏，其声子谱将不同于完整晶格，会产生以杂质、缺陷为中心的局域振动模式。以一维原子链入手。设质量为M的原子组成一维简单晶格，元胞数为N，在原点()处有一个质量为M’的杂质原子。近邻互作用的弹性常数均为f并设那么

为轻杂质。

为重杂质。晶格振动的哈密顿：其中动能和势能部分分别为：（只考虑最近邻互作用）

1.单个缺陷对振动频率的影响由于平移对称性被破坏，不能直接利用布洛赫定理来确定系统的振动模式。利用傅里叶变换，晶格振动位移可表示为：利用关系式：可将改用表示为完整晶格的本征振动频率设，上式可改成由于出现系统的本征频率将发生改变，根据经典力学（理论力学），含缺陷系统的运动方程变为：即由正则方程考虑的非零解，设代入上式上式对k求和并消去可得含缺陷杂质晶格的本征频