中考数学攻略-平面向量基础与进阶应用详解

中考数学攻略_平面向量基础与进阶应用详解一、引言在中考数学的知识体系中，平面向量是一个相对较新但却十分重要的内容。它不仅是连接代数与几何的桥梁，还在解决几何问题、物理问题等方面有着广泛的应用。掌握平面向量的基础知识和进阶应用，对于提升同学们的数学思维能力和解题能力有着重要的作用。本文将详细介绍平面向量的基础概念，并深入探讨其进阶应用，帮助同学们在中考中更好地应对相关题目。二、平面向量的基础概念（一）向量的定义向量是既有大小又有方向的量。在数学中，我们通常用有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。例如，在平面直角坐标系中，从点\(A(x_1,y_1)\)到点\(B(x_2,y_2)\)的有向线段\(\overrightarrow{AB}\)就是一个向量。（二）向量的表示方法1.几何表示法：用有向线段\(\overrightarrow{AB}\)表示，其中\(A\)为向量的起点，\(B\)为向量的终点。2.字母表示法：用小写字母\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)等表示向量。在印刷时，向量通常用黑体字母表示，如\(\mathbf{a}\)、\(\mathbf{b}\)、\(\mathbf{c}\)；在手写时，需要在字母上方加上箭头，如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)。（三）向量的模向量的模是指向量的大小，也就是有向线段的长度。向量\(\vec{a}\)的模记作\(\vert\vec{a}\vert\)。若向量\(\overrightarrow{AB}\)的起点\(A(x_1,y_1)\)，终点\(B(x_2,y_2)\)，则\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)。（四）零向量与单位向量1.零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记作\(\vec{0}\)。零向量的方向是任意的。2.单位向量：长度等于\(1\)个单位长度的向量叫做单位向量。与非零向量\(\vec{a}\)同向的单位向量记作\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。（五）相等向量与相反向量1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)相等，则记作\(\vec{a}=\vec{b}\)。2.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量\(\vec{a}\)的相反向量记作\(-\vec{a}\)。（六）向量的加法与减法1.向量加法-三角形法则：已知非零向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。-平行四边形法则：以同一点\(O\)为起点的两个已知向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)为邻边作平行四边形\(OACB\)，则以\(O\)为起点的对角线\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OC}\)。-运算律：交换律\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)；结合律\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)。2.向量减法：向量\(\vec{a}\)减去向量\(\vec{b}\)等于向量\(\vec{a}\)加上\(\vec{b}\)的相反向量，即\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)。其几何意义是：已知向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)，在平面内任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，则\(\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}\)。（七）向量的数乘实数\(\lambda\)与向量\(\vec{a}\)的积是一个向量，记作\(\lambda\vec{a}\)，它的长度与方向规定如下：1.\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\)；2.当\(\lambda\gt0\)时，\(\lambda\vec{a}\)的方向与\(\vec{a}\)的方向相同；当\(\lambda\lt0\)时，\(\lambda\vec{a}\)的方向与\(\vec{a}\)的方向相反；当\(\lambda=0\)时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。3.运算律：\(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\)；\((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)；\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)。三、平面向量的进阶应用（一）利用向量证明几何问题1.证明线段平行-若存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{CD}\)，且\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{CD}\)不共线（通常是不在同一条直线上），则\(AB\parallelCD\)。-例题：已知在四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}+2\vec{b}\)，\(\overrightarrow{BC}=-4\vec{a}-\vec{b}\)，\(\overrightarrow{CD}=-5\vec{a}-3\vec{b}\)，证明四边形\(ABCD\)是梯形。-证明：首先计算\(\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\vec{a}+2\vec{b})+(-4\vec{a}-\vec{b})+(-5\vec{a}-3\vec{b})=-8\vec{a}-2\vec{b}\)。然后发现\(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}\)，所以\(AD\parallelBC\)。又因为\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{CD}\)不满足倍数关系，即\(AB\)与\(CD\)不平行，所以四边形\(ABCD\)是梯形。2.证明线段相等-若\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{CD}\vert\)，则线段\(AB\)与\(CD\)相等。-例题：在平行四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\)，\(M\)、\(N\)分别是\(BC\)、\(CD\)的中点，证明\(AM=AN\)。-证明：\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)，\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}\)。计算\(\vert\overrightarrow{AM}\vert^2=(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})^2=\vec{a}^2+\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{b}^2\)，\(\vert\overrightarrow{AN}\vert^2=(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})^2=\vec{b}^2+\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{a}^2\)。在平行四边形中\(\vert\vec{a}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert\)，\(\vert\vec{b}\vert=\vert\overrightarrow{AD}\vert\)，所以\(\vert\overrightarrow{AM}\vert=\vert\overrightarrow{AN}\vert\)，即\(AM=AN\)。3.证明垂直关系-若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)。-例题：已知\(\vert\vec{a}\vert=2\)，\(\vert\vec{b}\vert=3\)，\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(\vec{c}=5\vec{a}+3\vec{b}\)，\(\vec{d}=3\vec{a}+k\vec{b}\)，当\(k\)为何值时，\(\vec{c}\perp\vec{d}\)？-解：因为\(\vec{c}\perp\vec{d}\)，所以\(\vec{c}\cdot\vec{d}=0\)。\(\vec{c}\cdot\vec{d}=(5\vec{a}+3\vec{b})\cdot(3\vec{a}+k\vec{b})=15\vec{a}^2+(5k+9)\vec{a}\cdot\vec{b}+3k\vec{b}^2\)。已知\(\vec{a}^2=\vert\vec{a}\vert^2=4\)，\(\vec{b}^2=\vert\vec{b}\vert^2=9\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos60^{\circ}=2\times3\times\frac{1}{2}=3\)。则\(15\times4+(5k+9)\times3+3k\times9=0\)，\(60+15k+27+27k=0\)，\(42k=-87\)，解得\(k=-\frac{29}{14}\)。（二）利用向量解决几何中的位置关系问题1.确定点的位置-已知向量关系可以确定点在直线上的位置。-例题：已知\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，点\(P\)在直线\(AB\)上，且\(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}\)，求\(\overrightarrow{OP}\)。-解：因为\(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}\)，所以\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\)。展开得到\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OP}\)。移项可得\(3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\)，则\(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\)。2.判断三角形的形状-通过向量的数量积和模的关系可以判断三角形的形状。-例题：已知\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，\(\overrightarrow{CA}=\vec{c}\)，且\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}\)，判断\(\triangleABC\)的形状。-解：因为\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)，所以\(\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}\)。两边平方得\((\vec{a}+\vec{b})^2=\vec{c}^2\)，即\(\vec{a}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2=\vec{c}^2\)。同理\(\vec{b}^2+2\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}^2=\vec{a}^2\)，\(\vec{c}^2+2\vec{c}\cdot\vec{a}+\vec{a}^2=\vec{b}^2\)。又因为\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}\)，所以\(\vec{a}^2=\vec{b}^2=\vec{c}^2\)，即\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert=\vert\vec{c}\vert\)，所以\(\triangleABC\)是等边三角形。（三）向量在物理中的应用1.力的合成与分解-力是向量，力的合成与分解可以用向量的加法与减法来解决。-例题：有两个力\(\vec{F}_1\)和\(\vec{F}_2\)，\(\vert\vec{F}_1\vert=3N\)，\(\vert\vec{F}_2\vert=4N\)，它们的夹角为\(90^{\circ}\)，求这两个力的合力\(\vec{F}\)的大小。-解：根据向量加法的平行四边形法则，合力\(\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2\)。因为\(\vec{F}_1\)与\(\vec{F}_2\)夹角为\(90^{\circ}\)，所以\(\vert\vec{F}\vert=\sqrt{\vert\vec{F}_1\vert^2+\vert\vec{F}_2\vert^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5N\)。2.速度的合成与分解-速度也是向量，速度的合成与分解同样可以用向量的运算来处理。-例题：一艘船在静水中的速度\(\vec{v}_1\)的大小为\(4m/s\)，水流速度\(\vec{v}_2\)的大小为\(3m/s\)，船垂直于河岸行驶，求船的实际航行速度\(\vec{v}\)的大小。-解：船的实际航行速度\(\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2\)，因为船垂直于河岸行驶，\(\vec{v}_1\)与\(\vec{v}_2\)垂直，所以\(\vert\vec{v}\vert=\sqrt{\vert\vec{v}_1\vert^2+\vert\vec{v}_2\vert^2}=\sqrt{4^2