初中数学专题训练-二次方程与函数应用解析及答案详解

初中数学专题训练_二次方程与函数应用解析及答案详解一、引言在初中数学的知识体系中，二次方程与二次函数是极为重要的内容，它们不仅是代数知识的核心部分，也是解决许多实际问题的有力工具。二次方程与二次函数之间存在着紧密的联系，二次函数的图像与\(x\)轴的交点问题可以转化为二次方程的根的问题，而二次方程也可以看作是二次函数在函数值为\(0\)时的特殊情况。通过对二次方程与函数应用的专题训练，能够帮助同学们深入理解这两部分知识的内涵与相互关系，提高运用数学知识解决实际问题的能力。二、二次方程与函数的基础知识回顾（一）一元二次方程1.定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是\(2\)（二次）的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，其中\(ax^{2}\)是二次项，\(a\)是二次项系数；\(bx\)是一次项，\(b\)是一次项系数；\(c\)是常数项。2.解法-直接开平方法：适用于形如\((x+m)^{2}=n(n\geq0)\)的方程，解为\(x=-m\pm\sqrt{n}\)。-配方法：通过配方将一元二次方程转化为完全平方式来求解。步骤为：先将常数项移到等号右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程化为\((x+m)^{2}=n\)的形式，最后用直接开平方法求解。-公式法：对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，其求根公式为\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}(b^{2}-4ac\geq0)\)，其中\(\Delta=b^{2}-4ac\)叫做根的判别式。当\(\Delta\gt0\)时，方程有两个不相等的实数根；当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根；当\(\Delta\lt0\)时，方程没有实数根。-因式分解法：将方程的一边化为\(0\)，另一边分解成两个一次因式的乘积，使原方程转化为两个一元一次方程来求解。（二）二次函数1.定义：一般地，形如\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的函数叫做二次函数，其中\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。2.图像与性质-图像：二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的图像是一条抛物线。当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下。-对称轴与顶点坐标：对称轴公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})\)。-增减性：当\(a\gt0\)时，在对称轴左侧（\(x\lt-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧（\(x\gt-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，在对称轴左侧（\(x\lt-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧（\(x\gt-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小。三、二次方程与函数的应用类型及解析（一）实际问题中的一元二次方程应用1.增长率问题-问题描述：设基数为\(a\)，平均增长率为\(x\)，则一次增长后的值为\(a(1+x)\)，两次增长后的值为\(a(1+x)^{2}\)；若平均降低率为\(x\)，则一次降低后的值为\(a(1-x)\)，两次降低后的值为\(a(1-x)^{2}\)。-例题：某商场今年\(1\)月份的营业额为\(400\)万元，\(3\)月份的营业额达到\(576\)万元，求该商场这两个月营业额的平均增长率。-解析：设该商场这两个月营业额的平均增长率为\(x\)。根据上述公式，\(1\)月份营业额为\(400\)万元，\(2\)月份营业额为\(400(1+x)\)万元，\(3\)月份营业额为\(400(1+x)^{2}\)万元。可列方程\(400(1+x)^{2}=576\)，化简得\((1+x)^{2}=1.44\)，开平方得\(1+x=\pm1.2\)，解得\(x_{1}=0.2=20\%\)，\(x_{2}=-2.2\)（增长率不能为负，舍去）。所以该商场这两个月营业额的平均增长率为\(20\%\)。2.利润问题-问题描述：利润\(=\)售价\(-\)成本，总利润\(=\)每件利润\(\times\)销售量。通过设未知数，根据利润关系列出一元二次方程求解。-例题：某商店购进一批单价为\(20\)元的日用品，如果以单价\(30\)元销售，那么半个月内可以售出\(400\)件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高\(1\)元，销售量相应减少\(20\)件。问如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？-解析：设销售单价提高\(x\)元，则每件的利润为\((30+x-20)\)元，销售量为\((400-20x)\)件。总利润\(y=(30+x-20)(400-20x)=-20x^{2}+200x+4000\)。对于一元二次方程\(y=-20x^{2}+200x+4000\)，其中\(a=-20\lt0\)，抛物线开口向下，函数有最大值。根据对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2\times(-20)}=5\)。所以当\(x=5\)时，\(y\)有最大值。即销售单价提高\(5\)元，定为\(35\)元时，可在半个月内获得最大利润。（二）二次函数在几何问题中的应用1.面积问题-问题描述：根据几何图形的面积公式，结合二次函数的知识来求解面积的最大值或最小值。-例题：用长为\(20m\)的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？-解析：设长方形园子与墙垂直的边长为\(x\)米，则与墙平行的边长为\((20-2x)\)米，园子的面积\(S=x(20-2x)=-2x^{2}+20x\)。其中\(a=-2\lt0\)，抛物线开口向下，函数有最大值。根据对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2\times(-2)}=5\)。当\(x=5\)时，\(S\)有最大值，\(S=-2\times5^{2}+20\times5=50\)平方米，此时与墙平行的边长为\(20-2\times5=10\)米。所以当与墙垂直的边长为\(5\)米，与墙平行的边长为\(10\)米时，园子面积最大，最大面积是\(50\)平方米。2.运动轨迹问题-问题描述：在平面直角坐标系中，根据物体的运动规律建立二次函数模型，解决相关问题。-例题：如图，在平面直角坐标系中，有一个小球从点\(A(0,4)\)处水平抛出，其运动轨迹是抛物线\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c\)的一部分。已知小球经过点\(B(4,0)\)，求该抛物线的解析式。-解析：因为抛物线\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c\)经过点\(A(0,4)\)和\(B(4,0)\)，将点\(A(0,4)\)代入抛物线方程可得\(c=4\)。再将点\(B(4,0)\)和\(c=4\)代入抛物线方程\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+4\)中，得到\(0=-\frac{1}{2}\times4^{2}+4b+4\)，化简得\(0=-8+4b+4\)，即\(4b=4\)，解得\(b=1\)。所以该抛物线的解析式为\(y=-\frac{1}{2}x^{2}+x+4\)。四、综合训练题及答案详解（一）选择题1.一元二次方程\(x^{2}-4x+3=0\)的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定答案：A详解：对于一元二次方程\(x^{2}-4x+3=0\)，其中\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)，根据根的判别式\(\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times3=16-12=4\gt0\)，所以方程有两个不相等的实数根，故选A。2.二次函数\(y=2x^{2}-4x+5\)的顶点坐标是（）A.\((1,3)\)B.\((-1,3)\)C.\((1,-3)\)D.\((-1,-3)\)答案：A详解：对于二次函数\(y=2x^{2}-4x+5\)，其中\(a=2\)，\(b=-4\)，\(c=5\)。根据对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1\)，将\(x=1\)代入函数可得\(y=2\times1^{2}-4\times1+5=2-4+5=3\)，所以顶点坐标为\((1,3)\)，故选A。（二）填空题1.若关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+2x+m=0\)有两个相等的实数根，则\(m\)的值为______。答案：\(1\)详解：因为一元二次方程\(x^{2}+2x+m=0\)有两个相等的实数根，所以\(\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\times1\timesm=0\)，即\(4-4m=0\)，解得\(m=1\)。2.二次函数\(y=-x^{2}+2x+3\)的图像与\(x\)轴的交点坐标为______。答案：\((-1,0)\)，\((3,0)\)详解：令\(y=0\)，则\(-x^{2}+2x+3=0\)，方程两边同时乘以\(-1\)得\(x^{2}-2x-3=0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)=0\)，解得\(x_{1}=3\)，\(x_{2}=-1\)。所以二次函数\(y=-x^{2}+2x+3\)的图像与\(x\)轴的交点坐标为\((-1,0)\)和\((3,0)\)。（三）解答题1.某商场销售一种商品，已知这种商品的进价为每件\(60\)元，市场调查发现，在一段时间内，销售量\(y\)（件）与销售单价\(x\)（元）之间的关系式为\(y=-2x+200\)。设这种商品在这段时间内的销售利润为\(w\)元，求\(w\)与\(x\)之间的函数关系式；当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？答案：\(w=-2x^{2}+320x-12000\)；当销售单价为\(80\)元时，销售利润最大，最大利润是\(800\)元。详解：根据利润公式，\(w=(x-60)y=(x-60)(-2x+200)=-2x^{2}+200x+120x-12000=-2x^{2}+320x-12000\)。对于二次函数\(w=-2x^{2}+320x-12000\)，其中\(a=-2\lt0\)，抛物线开口向下，函数有最大值。根据对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{320}{2\times(-2)}=80\)。当\(x=80\)时，\(w=-2\times80^{2}+320\times80-12000=-12800+25600-12000=800\)。所以\(w\)与\(x\)之间的函数关系式为\(w=-2x^{2}+320x-12000\)；当销售单价为\(80\)元时，销售利润最大，最大利润是\(800\)元。2.如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=90^{\circ}\)，\(AB=6cm\)，\(BC=8cm\)，点\(P\)从点\(A\)开始沿\(AB\)边向点\(B\)以\(1cm/s\)的速度移动，点\(Q\)从点\(B\)开始沿\(BC\)边向点\(C\)以\(2cm/s\)的速度移动。如果\(P\)，\(Q\)分别从\(A\)，\(B\)同时出发，经过几秒后\(\trianglePBQ\)的面积等于\(8cm^{2}\)？答案：经过\(2\)秒或\(4\)秒后\(\trianglePBQ\)的面积等于\(8cm^{2}\)。详解：设经过\(t\)秒后\(\trianglePBQ\)的面积等于\(8cm^{2}\)。则\(AP=tcm\)，\(PB=(6-t)cm\)，\(BQ=2tcm\)。根据三角形面积公式\(S_{\trianglePB