深入解析-陕西省八年级数学上册中一次函数解析式的二元一次方程组求解技巧与应用实战解析

深入解析_陕西省八年级数学上册中一次函数解析式的二元一次方程组求解技巧与应用实战解析一、引言在陕西省八年级数学上册的知识体系中，一次函数是极为重要的内容，它不仅是函数学习的基础，更是后续深入研究数学问题的关键。而一次函数解析式的求解常常与二元一次方程组紧密相连。掌握一次函数解析式通过二元一次方程组的求解技巧，并能将其灵活应用于实际问题，对于学生深入理解函数概念、提升数学思维能力具有重要意义。本文将深入剖析一次函数解析式与二元一次方程组之间的联系，详细介绍求解技巧，并通过实战案例展示其应用。二、一次函数与二元一次方程组的理论关联（一）一次函数的基本概念一次函数的一般形式为\(y=kx+b\)（\(k\)，\(b\)为常数，\(k≠0\)），其中\(k\)是斜率，决定了函数图像的倾斜程度，\(b\)是截距，即函数图像与\(y\)轴的交点纵坐标。一次函数的图像是一条直线，当给定直线上的两个点的坐标时，就可以确定该一次函数的解析式。（二）二元一次方程组的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。一般形式为\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)，其中\(a_1\)，\(a_2\)，\(b_1\)，\(b_2\)，\(c_1\)，\(c_2\)为常数，且\(a_1\)与\(b_1\)、\(a_2\)与\(b_2\)不同时为0。（三）两者的联系当我们已知一次函数图像上的两个点\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)时，将这两个点的坐标代入一次函数\(y=kx+b\)中，就可以得到一个关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组：\(\begin{cases}y_1=kx_1+b\\y_2=kx_2+b\end{cases}\)通过求解这个二元一次方程组，就能确定\(k\)和\(b\)的值，从而得到一次函数的解析式。例如，已知一次函数图像经过点\((1,3)\)和\((2,5)\)，代入\(y=kx+b\)可得\(\begin{cases}3=k+b\\5=2k+b\end{cases}\)，求解该方程组就能得到\(k\)和\(b\)的值，进而确定一次函数解析式。三、二元一次方程组求解一次函数解析式的技巧（一）代入消元法1.原理：将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。2.步骤-从方程组\(\begin{cases}y_1=kx_1+b\\y_2=kx_2+b\end{cases}\)中，选择一个方程，将其中一个未知数（如\(b\)）用另一个未知数（如\(k\)）表示出来。以方程\(y_1=kx_1+b\)为例，可得\(b=y_1-kx_1\)。-将\(b=y_1-kx_1\)代入另一个方程\(y_2=kx_2+b\)中，得到\(y_2=kx_2+y_1-kx_1\)。-整理这个方程，求解出\(k\)的值。例如，对于\(\begin{cases}3=k+b\\5=2k+b\end{cases}\)，由第一个方程可得\(b=3-k\)，代入第二个方程得\(5=2k+3-k\)，解得\(k=2\)。-将\(k\)的值代入\(b=y_1-kx_1\)中，求出\(b\)的值。把\(k=2\)代入\(b=3-k\)，得\(b=3-2=1\)。-得到\(k=2\)，\(b=1\)后，一次函数解析式为\(y=2x+1\)。（二）加减消元法1.原理：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求解方程组。2.步骤-观察方程组\(\begin{cases}y_1=kx_1+b\\y_2=kx_2+b\end{cases}\)中\(b\)的系数，若相同，则将两个方程相减消去\(b\)。如对于\(\begin{cases}3=k+b\\5=2k+b\end{cases}\)，用第二个方程减去第一个方程可得：\((2k+b)-(k+b)=5-3\)，即\(2k+b-k-b=2\)，化简得\(k=2\)。-若\(b\)的系数互为相反数，则将两个方程相加消去\(b\)。例如方程组\(\begin{cases}y_1=kx_1-b\\y_2=kx_2+b\end{cases}\)，两式相加可得\(y_1+y_2=k(x_1+x_2)\)，进而求解\(k\)。-求出\(k\)后，将\(k\)的值代入任意一个原方程，求出\(b\)的值。把\(k=2\)代入\(3=k+b\)，得\(3=2+b\)，解得\(b=1\)。-确定\(k=2\)，\(b=1\)后，一次函数解析式为\(y=2x+1\)。（三）特殊情况的处理1.当\(x_1=0\)或\(x_2=0\)时若已知一次函数图像经过点\((0,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)，将点\((0,y_1)\)代入\(y=kx+b\)可得\(y_1=b\)，再将点\((x_2,y_2)\)代入\(y=kx+y_1\)可得\(y_2=kx_2+y_1\)，从而可直接求出\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2}\)。例如，已知一次函数经过点\((0,2)\)和\((3,5)\)，则\(b=2\)，再由\(5=3k+2\)解得\(k=1\)，一次函数解析式为\(y=x+2\)。2.当\(y_1=y_2\)时若一次函数图像上两点\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_1)\)，代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}y_1=kx_1+b\\y_1=kx_2+b\end{cases}\)，两式相减得\(0=k(x_1-x_2)\)，因为\(x_1≠x_2\)，所以\(k=0\)，此时一次函数为\(y=b\)，再将任意一点坐标代入可求出\(b=y_1\)，即一次函数为平行于\(x\)轴的直线。四、一次函数解析式求解在实际问题中的应用实战（一）行程问题1.案例：小明骑自行车从家出发去学校，一段时间后，爸爸发现小明忘带课本，于是骑摩托车去追小明。已知小明骑自行车的速度是\(10\)千米/小时，爸爸骑摩托车的速度是\(30\)千米/小时。小明先出发\(1\)小时后爸爸才出发，设小明出发\(x\)小时后两人所走的路程分别为\(y_1\)千米和\(y_2\)千米。2.分析与求解-对于小明，其路程\(y_1\)与时间\(x\)的关系为一次函数，因为速度是\(10\)千米/小时，且先出发\(1\)小时，所以\(y_1=10x\)（\(x\geqslant0\)）。-对于爸爸，其出发时间比小明晚\(1\)小时，所以爸爸行驶时间为\(x-1\)小时，速度是\(30\)千米/小时，则\(y_2=30(x-1)\)（\(x\geqslant1\)）。-当爸爸追上小明时，\(y_1=y_2\)，即\(10x=30(x-1)\)，这也可以通过构建一次函数图像来理解。我们可以将\(y_1=10x\)和\(y_2=30(x-1)\)看作两个一次函数，它们的交点就是爸爸追上小明的时刻。-求解\(10x=30(x-1)\)，去括号得\(10x=30x-30\)，移项得\(30x-10x=30\)，即\(20x=30\)，解得\(x=1.5\)小时。此时\(y_1=y_2=10×1.5=15\)千米。（二）费用问题1.案例：某电信公司有两种手机收费方式，方式一：月租费\(30\)元，每分钟通话费\(0.1\)元；方式二：无月租费，每分钟通话费\(0.2\)元。设每月通话时间为\(x\)分钟，两种收费方式的费用分别为\(y_1\)元和\(y_2\)元。2.分析与求解-对于方式一，费用\(y_1\)与通话时间\(x\)的关系为一次函数，其解析式为\(y_1=0.1x+30\)。-对于方式二，费用\(y_2\)与通话时间\(x\)的关系为\(y_2=0.2x\)。-当\(y_1=y_2\)时，即\(0.1x+30=0.2x\)，移项可得\(0.2x-0.1x=30\)，解得\(x=300\)分钟。-当\(x<300\)时，\(y_1>y_2\)，选择方式二合算；当\(x=300\)时，两种方式费用相同；当\(x>300\)时，\(y_1<y_2\)，选择方式一合算。我们可以通过求解一次函数解析式，比较不同情况下的费用，从而做出最优选择。（三）销售问题1.案例：某商场销售一种商品，当售价为\(20\)元/件时，每天可销售\(100\)件。经市场调查发现，该商品每降价\(1\)元，每天可多销售\(10\)件。设该商品降价\(x\)元，每天的销售利润为\(y\)元，已知该商品的进价为\(15\)元/件。2.分析与求解-首先，销售量与降价\(x\)的关系为一次函数。设销售量为\(Q\)件，已知售价为\(20\)元时销售\(100\)件，每降价\(1\)元多销售\(10\)件，则\(Q=100+10x\)。-销售利润\(y=(20-x-15)(100+10x)\)，展开可得\(y=(5-x)(100+10x)=500+50x-100x-10x^2=-10x^2-50x+500\)。虽然这是一个二次函数，但在分析销售量与降价关系时用到了一次函数知识。我们可以通过一次函数\(Q=100+10x\)来了解销售量随降价的变化情况，进而分析利润的变化。五、总结与展望通过对陕西省八年级数学上册中一次函数解析式与二元一次方程组关系的深入解析，我们明确了两者之间的紧密联系，掌握了利用二元一次方程组求解一次函数解析式的技巧，如代入消元法、加减消元法