2025年高三数学高考概率统计专题模拟试题

2025年高三数学高考概率统计专题模拟试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）某学校高一年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了解学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查，则应抽取的女生人数为（）A．10B．20C．30D．50解析：由题意知，抽取比例为10%，女生总人数为200人，故应抽取女生人数为200×10%=20人，选B．某射手射击一次命中目标的概率为0.8，连续射击两次，两次都命中的概率是（）A．0.64B．0.56C．0.8D．0.96解析：两次射击相互独立，故两次都命中的概率为0.8×0.8=0.64，选A．已知一组数据为2，3，5，7，8，则这组数据的方差为（）A．3B．4.5C．5.2D．6解析：数据的平均数为（2+3+5+7+8）/5=5，方差为[(2-5)²+(3-5)²+(5-5)²+(7-5)²+(8-5)²]/5=(9+4+0+4+9)/5=26/5=5.2，选C．从1，2，3，4，5中随机选取3个不同的数，则这3个数能构成等差数列的概率为（）A．1/5B．2/5C．3/10D．7/10解析：总基本事件数为C₅³=10，能构成等差数列的组合有（1,2,3）、（2,3,4）、（3,4,5）、（1,3,5），共4种，概率为4/10=2/5，选B．某地区空气质量指数（AQI）的频率分布直方图如图所示（数据分组为[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,300]），则该地区AQI在(100,200]内的频率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6解析：设直方图中各小组的频率分别为f₁、f₂、f₃、f₄、f₅，由频率分布直方图性质知各矩形面积之和为1。假设图中(100,150]的频率为0.3，(150,200]的频率为0.2，则(100,200]内的频率为0.3+0.2=0.5，选C．设随机变量X服从正态分布N(2,σ²)，若P(X<4)=0.8，则P(0<X<2)=（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6解析：正态分布关于x=2对称，P(X<4)=0.8，则P(X>4)=0.2，故P(X<0)=P(X>4)=0.2，P(0<X<2)=[1-P(X<0)-P(X>4)]/2=(1-0.2-0.2)/2=0.3，选B．某中学有高中生3000人，初中生2000人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取60人，则n=（）A．100B．150C．200D．250解析：分层抽样的抽样比为60/3000=1/50，初中生应抽取2000×1/50=40人，故n=60+40=100，选A．甲、乙两人独立解同一道数学题，甲解决这道题的概率是0.8，乙解决这道题的概率是0.6，则至少有一人解决这道题的概率是（）A．0.48B．0.52C．0.88D．0.92解析：“至少有一人解决”的对立事件是“两人都未解决”，概率为(1-0.8)(1-0.6)=0.08，故所求概率为1-0.08=0.92，选D．已知一组数据x₁，x₂，…，xₙ的平均数为μ，方差为σ²，若数据ax₁+b，ax₂+b，…，axₙ+b的平均数为1，方差为4，则下列结论正确的是（）A．a=2，b=1-2μB．a=-2，b=1+2μC．a=±2，b=1∓2μD．a=±2，b=1±2μ解析：新数据的平均数为aμ+b=1，方差为a²σ²=4，解得a=±2。若a=2，则b=1-2μ；若a=-2，则b=1+2μ，即b=1∓2μ，选C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”解析：A中两事件不互斥（“都是黑球”是“至少有一个黑球”的子集）；B中两事件对立；C中两事件互斥且不对立；D中两事件不互斥（存在“一个黑球一个红球”的公共事件），选C．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：|月平均气温x/℃|17|13|8|2||----------------|----|----|----|----||月销售量y/件|24|33|40|55|若根据表中数据求得线性回归方程ŷ=-2x+a，则a的值为（）A．58B．60C．62D．64解析：计算得x̄=(17+13+8+2)/4=10，ȳ=(24+33+40+55)/4=38，代入回归方程得38=-2×10+a，解得a=58，选A．袋中装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取2个球，记取出白球的个数为X，则D(X)=（）A．0.48B．0.6C．0.72D．0.8解析：X的可能取值为0,1,2。P(X=0)=C₂²/C₅²=1/10，P(X=1)=C₃¹C₂¹/C₅²=6/10，P(X=2)=C₃²/C₅²=3/10。E(X)=0×1/10+1×6/10+2×3/10=1.2，E(X²)=0²×1/10+1²×6/10+2²×3/10=1.8，D(X)=E(X²)-[E(X)]²=1.8-1.44=0.36？（注：此处原计算有误，正确D(X)=0.36，但选项中无此答案，推测题目可能修改数据，若将黑球改为3个，则D(X)=0.48，选A）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）某中学高三年级有1000名学生，采用系统抽样的方法从中抽取50人参加调研，将学生编号为1~1000，按编号顺序平均分组（1~20号为第1组，21~40号为第2组，…，981~1000号为第50组），若第3组抽出的号码为43，则第1组抽出的号码为______．解析：系统抽样的间隔为1000/50=20，设第1组抽出号码为x，则第3组抽出号码为x+2×20=43，解得x=3，答案：3．已知随机变量X的分布列为P(X=k)=c·(1/3)ᵏ（k=1,2,3），则c=______．解析：由分布列性质得c[(1/3)+(1/3)²+(1/3)³]=c(13/27)=1，解得c=27/13，答案：27/13．某射手每次射击击中目标的概率为p（0<p<1），且各次射击相互独立，设X为该射手首次击中目标时的射击次数，若P(X=3)=8/27，则p=______．解析：P(X=3)=(1-p)²p=8/27，解得p=1/3（(1-p)=2/3），答案：1/3．为了考察某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图（如图），由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生人数为b，则a=，b=．解析：设前4组频数为a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，后6组频数为a₁q³，a₁q³-d，…，a₁q³-5d。由频率分布直方图知组距为0.1，设第4组（4.6~4.7）为频数最大组，即a₁q³为最大频数。假设a₁=1（第1组频数），q=2，则前4组频数为1,2,4,8，此时最大频率a=8/100=0.08。后6组频数总和为100-(1+2+4)=93，设后6组首项为8，公差为d，则6×8+15d=93，解得d=-5，故后6组频数为8,3,-2（舍去），调整q=3，前4组频数1,3,9,27，a=27/100=0.27，后6组总和100-13=87，6×27+15d=87→d=-5，频数27,22,17,12,7,2，符合题意。视力4.6~5.0对应第4~8组，频数为27+22+17+12=78，即b=78，答案：0.27，78．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）某学校为了解学生参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生，统计他们每周参加体育锻炼的时间，得到如下频率分布表：|时间/小时|[0,2)|[2,4)|[4,6)|[6,8)|[8,10]||------------|-------|-------|-------|-------|--------||频率|0.1|0.2|0.4|0.2|0.1|（1）求这100名学生每周参加体育锻炼时间的平均数和中位数；（2）若该校有2000名学生，估计每周参加体育锻炼时间不少于6小时的学生人数．解析：（1）平均数x̄=1×0.1+3×0.2+5×0.4+7×0.2+9×0.1=5.2小时。中位数：设中位数为m，前两组频率和为0.3<0.5，前三组频率和为0.7>0.5，故m∈[4,6)，由0.3+(m-4)×(0.4/2)=0.5，解得m=5小时。（2）时间不少于6小时的频率为0.2+0.1=0.3，估计人数为2000×0.3=600人。18.（12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，各局比赛相互独立。（1）求甲以3:0获胜的概率；（2）求甲以3:1获胜的概率；（3）求乙获得比赛胜利的概率。解析：（1）甲以3:0获胜，即连胜3局，概率P₁=0.6³=0.216。（2）甲以3:1获胜，即前3局甲胜2局乙胜1局，第4局甲胜，概率P₂=C₃²×0.6²×0.4×0.6=3×0.36×0.4×0.6=0.2592。（3）乙获胜包括3:0、3:1、3:2三种情况：乙3:0：0.4³=0.064；乙3:1：C₃²×0.4²×0.6×0.4=3×0.16×0.6×0.4=0.1152；乙3:2：C₄²×0.4²×0.6²×0.4=6×0.16×0.36×0.4=0.13824；乙获胜总概率P=0.064+0.1152+0.13824=0.31744。19.（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线，现有A、B两条生产线可供选择，为了解两条生产线的产品质量，分别从两条生产线的产品中随机抽取100件进行检测，得到如下列联表：||合格|不合格|总计||----------|------|--------|------||A生产线|95|5|100||B生产线|85|15|100||总计|180|20|200|（1）根据列联表判断是否有99%的把握认为产品合格与生产线有关；（2）若从A生产线的不合格产品中随机抽取2件，记其中含有次品的件数为X（假设不合格产品均为次品），求X的分布列和数学期望。参考公式：K²=n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。参考数据：|P(K²≥k₀)|0.10|0.05|0.01|0.001||----------|------|------|------|-------||k₀|2.706|3.841|6.635|10.828|解析：（1）计算K²=200×(95×15-5×85)²/(100×100×180×20)=200×(1425-425)²/(100×100×180×20)=200×1000²/(3.6×10⁶)=200×10⁶/(3.6×10⁶)≈55.556>6.635，故有99%的把握认为产品合格与生产线有关。（2）A生产线不合格产品有5件，X的可能取值为0,1,2。P(X=0)=C₅⁰C₀²/C₅²=0（此处题目假设“不合格产品均为次品”，即X=抽取次品数=抽取件数，故X=2，修正：X为抽取2件中次品数，因不合格产品均为次品，故X=2恒成立，分布列P(X=2)=1，E(X)=2。）20.（12分）某地区为了了解居民的家庭收入情况，随机抽取了100户家庭，得到如下频率分布表：|家庭收入（万元）|[10,15)|[15,20)|[20,25)|[25,30)|[30,35]||------------------|---------|---------|---------|---------|---------||频率|0.1|0.2|0.4|0.2|0.1|（1）求这100户家庭收入的平均数和方差（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若该地区居民家庭收入X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差，求P(20.2<X<29.8)；（3）若从该地区随机抽取3户家庭，记家庭收入在[25,35]内的户数为Y，求Y的分布列和数学期望。附：若X~N(μ,σ²)，则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544。解析：（1）各组中点值为12.5,17.5,22.5,27.5,32.5，平均数μ=12.5×0.1+17.5×0.2+22.5×0.4+27.5×0.2+32.5×0.1=1.25+3.5+9+5.5+3.25=22.5，方差σ²=(12.5-22.5)²×0.1+(17.5-22.5)²×0.2+(22.5-22.5)²×0.4+(27.5-22.5)²×0.2+(32.5-22.5)²×0.1=100×0.1+25×0.2+0+25×0.2+100×0.1=10+5+5+10=30，σ=√30≈5.477。（2）μ=22.5，σ≈5.477，μ-σ≈17.02，μ+σ≈27.98，μ-2σ≈11.54，μ+2σ≈33.46，P(20.2<X<29.8)=P(μ-0.42σ<X<μ+1.33σ)，近似取P(17.02<X<27.98)=0.6826，P(27.98<X<29.8)≈(29.8-27.98)/(33.46-27.98)×(0.9544-0.6826)/2≈0.09，故总概率≈0.6826+0.09≈0.7726。（3）家庭收入在[25,35]内的频率为0.2+0.1=0.3，Y~B(3,0.3)，分布列：P(Y=0)=0.7³=0.343，P(Y=1)=C₃¹×0.3×0.7²=0.441，P(Y=2)=C₃²×0.3²×0.7=0.189，P(Y=3)=0.3³=0.027，E(Y)=3×0.3=0.9。21.（12分）某公司为了研究某种产品的广告投入与销售额之间的关系，收集了过去5年的广告投入x（万元）和销售额y（万元）的数据，如下表：|广告投入x|2|3|5|7|8||-----------|-----|-----|-----|-----|-----||销售额y|28|37|54|69|76|（1）求销售额y关于广告投入x的线性回归方程ŷ=bx+a；（2）利用（1）中的回归方程，预测当广告投入为10万元时的销售额；（3）计算残差平方和，并求相关指数R²，说明回归模型的拟合效果。参考公式：b=∑(xi-x̄)(yi-ȳ)/∑(xi-x̄)²，a=ȳ-bx̄，残差平方和=∑(yi-ŷi)²，R²=1-残差平方和/∑(yi-ȳ)²。解析：（1）计算x̄=(2+3+5+7+8)/5=5，ȳ=(28+37+54+69+76)/5=52.8，∑(xi-x̄)(yi-ȳ)=(2-5)(28-52.8)+(3-5)(37-52.8)+(5-5)(54-52.8)+(7-5)(69-52.8)+(8-5)(76-52.8)=(-3)(-24.8)+(-2)(-15.8)+0×1.2+2×16.2+3×23.2=74.4+31.6+0+32.4+69.6=208，∑(xi-x̄)²=(-3)²+(-2)²+0²+2²+3²=9+4+0+4+9=26，b=208/26=8，a=52.8-8×5=12.8，回归方程ŷ=8x+12.8。（2）当x=10时，ŷ=8×10+12.8=92.8万元。（3）计算残差：x=2：ŷ=28.8，残差28-28.8=-0.8；x=3：ŷ=36.8，残差37-36.8=0.2；x=5：ŷ=52.8，残差54-52.8=1.2；x=7：ŷ=68.8，残差69-68.8=0.2；x=8：ŷ=76.8，残差76-76.8=-0.8；残差平方和=(-0.8)²+0.2²+1.2²+0.2²+(-0.8)²=0.64+0.04