2025年高三数学高考函数性质综合应用模拟试题

2025年高三数学高考函数性质综合应用模拟试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）已知函数$f(x)=\frac{\sinx}{e^x+e^{-x}}+x^3$，则$f(\ln2)+f\left(\ln\frac{1}{2}\right)=$（）A.$-\frac{7}{8}$B.0C.$\frac{7}{8}$D.$\frac{15}{8}$设函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且满足$f(x+2)=-f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=x^2$，则$f(2025.5)=$（）A.$-0.25$B.$0.25$C.$-0.75$D.$0.75$已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_2(x+1),&x\geq0\-x^2+ax,&x<0\end{cases}$为奇函数，则不等式$f(x)>\frac{1}{2}$的解集为（）A.$(\sqrt{2}-1,+\infty)$B.$(-1,\sqrt{2}-1)$C.$(-1,0)\cup(\sqrt{2}-1,+\infty)$D.$(-\infty,-1)\cup(\sqrt{2}-1,+\infty)$函数$f(x)=x^3-3x^2+3|x|$的单调递减区间是（）A.$(-\infty,-1]$B.$[-1,0]$C.$[0,1]$D.$[1,+\infty)$已知函数$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}+2$，则下列说法正确的是（）A.$f(x)$的图象关于原点对称B.$f(x)$的值域为$(1,3)$C.$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增D.$f(x)$的图象关于直线$y=2$对称设函数$f(x)$满足$f(1+x)=f(1-x)$，当$x\geq1$时，$f(x)=\lnx$，则不等式$f(x)<f(2x-1)$的解集为（）A.$\left(\frac{1}{3},1\right)$B.$(-\infty,\frac{1}{3})\cup(1,+\infty)$C.$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$D.$\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(1,+\infty)$已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$的导函数$f'(x)$的图象关于直线$x=2$对称，且$f'(1)=0$，则下列说法正确的是（）A.$a=-6$，$b=9$B.$f(x)$在$x=2$处取得极小值C.$f(x)$的极大值为$f(1)$D.方程$f(x)=0$最多有3个实根定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x+1)=2f(x)$，且当$x\in[0,1)$时，$f(x)=x(1-x)$，则函数$g(x)=f(x)-\frac{1}{4}$在区间$[0,3]$上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）已知函数$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$的最小正周期为$\pi$B.$f(x)$的图象关于点$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$对称C.将$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度得到奇函数D.$f(x)$在$\left[\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right]$上单调递减设函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且$f(x+2)$为偶函数，$f(x-1)$为奇函数，则（）A.$f(0)=0$B.$f(x)$的周期为4C.$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称D.$f(3)=f(-1)$已知函数$f(x)=e^x-ax^2$有两个极值点$x_1,x_2(x_1<x_2)$，则（）A.$a>\frac{e}{2}$B.$x_1+x_2<2$C.$f(x_1)<1$D.$f(x_2)>\frac{e}{2}$定义“函数$f(x)$是$\mathbb{R}$上的$k$级类周期函数”如下：存在非零常数$k,T$，使得对任意$x\in\mathbb{R}$恒有$f(x+T)=kf(x)$，则下列说法正确的是（）A.若$f(x)=2^x$，则$f(x)$是1级类周期函数B.若$f(x)$是3级类周期函数，且$T=2$，则$f(x+6)=27f(x)$C.若$f(x)$是$k$级类周期函数，且$f(x)$是奇函数，则$k=-1$D.若$f(x)$是2级类周期函数，$T=1$，且当$x\in[0,1)$时，$f(x)=x(1-x)$，则$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}$在$[2,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是________。设函数$f(x)$满足$f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x$，则$f(x)$的最小值为________。已知函数$f(x)=\lnx+\frac{m}{x}$有两个零点，则实数$m$的取值范围是________。定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(1-x)$，且当$x\geq1$时，$f(x)=e^{x-1}-x$，则不等式$f(x)\geq0$的解集为________。四、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知函数$f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1}$是定义在$[-1,1]$上的奇函数，且$f(1)=\frac{1}{2}$。（1）求函数$f(x)$的解析式；（2）判断$f(x)$在$[-1,1]$上的单调性并证明。（12分）已知函数$f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax(\omega>0)$的最小正周期为$\pi$。（1）求$\omega$的值及$f(x)$的单调递增区间；（2）若$f(x)$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，求$M-m$的值。（12分）已知函数$f(x)=x\lnx-ax^2(a\in\mathbb{R})$。（1）若$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减，求$a$的取值范围；（2）若$f(x)$有两个极值点$x_1,x_2$，证明：$x_1+x_2>\frac{1}{a}$。（12分）已知函数$f(x)=e^x-2x+a$有零点。（1）求$a$的取值范围；（2）设$x_0$是$f(x)$的零点，证明：$f(x_0+x)\geqe^x-1$。（12分）已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，$f(0)\neq0$。（1）求$f(0)$的值；（2）判断$f(x)$的奇偶性；（3）若存在非零常数$c$，使得$f\left(\frac{c}{2}\right)=0$，证明：$f(x)$是周期函数。（12分）已知函数$f(x)=\left|x^3-3x^2+2x\right|$。（1）求$f(x)$的极值点；（2）设$g(x)=f(x)-m$有三个零点，求$m$的取值范围；（3）证明：对任意$a,b\in[0,3]$，都有$|f(a)-f(b)|\leq4$。参考答案及解析思路一、单项选择题D解析：设$g(x)=\frac{\sinx}{e^x+e^{-x}}+x^3$，易证$g(x)$为奇函数，故$f(x)=g(x)+2$，则$f(x)+f(-x)=4$。因为$\ln\frac{1}{2}=-\ln2$，所以原式$=4-f(\ln2)+f(\ln2)=4$，计算得$\frac{15}{8}$。A解析：由$f(x+2)=-f(x)$得周期$T=4$，$f(2025.5)=f(1.5)=-f(-0.5)=-f(0.5)=-0.25$。C解析：由奇函数性质得$a=1$，分段求解不等式得$(-1,0)\cup(\sqrt{2}-1,+\infty)$。B解析：去绝对值后分段求导，当$x<0$时$f(x)=-x^3-3x^2-3x$，导数$f'(x)=-3(x+1)^2\leq0$，故单调递减区间为$[-1,0]$。C解析：设$g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$为奇函数且单调递增，故$f(x)=g(x)+2$的值域为$(1,3)$，在$\mathbb{R}$上单调递增。A解析：由对称性知$f(x)$关于$x=1$对称，当$x\geq1$时单调递增，结合图象得$\frac{1}{3}<x<1$。D解析：$f'(x)=3x^2+2ax+b$对称轴为$x=2$，故$a=-6$，由$f'(1)=0$得$b=9$，$f(x)$在$x=1$处取极大值，$x=3$处取极小值，方程最多有3个实根。C解析：类周期函数分段表达式为：当$x\in[0,1)$时$f(x)=x(1-x)$；$[1,2)$时$f(x)=2(x-1)(2-x)$；$[2,3)$时$f(x)=4(x-2)(3-x)$，与$y=\frac{1}{4}$交点共5个。二、多项选择题ACD解析：$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，最小正周期$\pi$，对称中心$\left(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},0\right)$，向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位得$y=\sqrt{2}\sin2x$为奇函数，在$\left[\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right]$上单调递减。ABD解析：由$f(x+2)$偶函数得$f(2+x)=f(2-x)$，$f(x-1)$奇函数得$f(-x-1)=-f(x-1)$，推得周期$T=4$，$f(0)=0$，$f(3)=f(-1)$。ABC解析：$f'(x)=e^x-2ax=0$有两解，设$g(x)=\frac{e^x}{x}$，$g'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$，最小值$g(1)=e$，故$2a>e$即$a>\frac{e}{2}$，由极值点偏移得$x_1+x_2<2$，$f(x_1)=e^{x_1}-ax_1^2=\frac{e^{x_1}}{2}(2-x_1)<1$。ABD解析：$f(x)=2^x$满足$f(x+1)=2f(x)$，是2级类周期函数；3级类周期函数且$T=2$时，$f(x+6)=3^3f(x)=27f(x)$；当$x\in[2,3)$时$f(x)=4(x-2)(3-x)$，最大值为4。三、填空题$(-\infty,4]$解析：$f(x)=x+\frac{a}{x}+2$，导数$f'(x)=1-\frac{a}{x^2}\geq0$在$[2,+\infty)$恒成立，得$a\leqx^2$，故$a\leq4$。$-2\sqrt{2}$解析：联立方程$\begin{cases}f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{3}{x}\end{cases}$解得$f(x)=\frac{2}{x}-x$，由均值不等式得最小值$-2\sqrt{2}$。$\left(0,\frac{1}{e}\right)$解析：$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}=0$得$x=m$，$f(m)=\lnm+1<0$，故$m<\frac{1}{e}$，又$m>0$。$[0,2]$解析：由对称性知$f(x)$关于$x=1$对称，当$x\geq1$时$f(x)=e^{x-1}-x$，导数$f'(x)=e^{x-1}-1$，在$x=1$处取最小值0，故解集为$[0,2]$。四、解答题（核心思路提示）（1）由$f(0)=0$得$a=0$，$f(1)=\frac{1}{2}$得$b=1$，故$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$；（2）用定义法证明单调性，任取$-1\leqx_1<x_2\leq1$，作差变形得$f(x_1)-f(x_2)<0$。（1）$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{4}\right)$，$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$得$\omega=2$，增区间$\leftk\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{\pi}{8}\right$；（2）$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$时，$2x+\frac{\pi}{4}\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]$，最大值$\sqrt{2}$，最小值$-1$，$M-m=\sqrt{2}+1$。（1）$f'(x)=\lnx+1-2ax\leq0$，分离参数得$a\geq\frac{\lnx+1}{2x}$，设$h(x)=\frac{\lnx+1}{2x}$，最大值$h(1)=\frac{1}{2}$，故$a\geq