2025年高三数学高考核心考点模拟试题

2025年高三数学高考核心考点模拟试题一、函数与导数（30分）1.选择题（5分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\ln(x+1),&x\geq0\e^{-x}-1,&x<0\end{cases}$，则下列说法正确的是（）A.$f(x)$在$x=0$处不连续B.$f(x)$的值域为$(-1,+\infty)$C.$f(x)$为奇函数D.$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增解析：连续性判断：$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\ln1=0$，$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=e^0-1=0$，且$f(0)=0$，故连续，A错误；值域分析：当$x\geq0$时，$\ln(x+1)\geq0$；当$x<0$时，$e^{-x}-1\in(-1,0)$，综上值域为$(-1,+\infty)$，B正确；奇偶性验证：$f(-1)=e^1-1=e-1$，$f(1)=\ln2$，$f(-1)\neq-f(1)$，非奇函数，C错误；单调性判断：$x<0$时，$f'(x)=-e^{-x}<0$，函数单调递减，D错误。答案：B2.解答题（12分）已知函数$f(x)=x\lnx-ax^2(a\in\mathbb{R})$，在$x=1$处取得极值。（1）求$a$的值；（2）证明：当$x>0$时，$f(x)\leq\frac{x^2}{e^x}-1$。解析：（1）$f'(x)=\lnx+1-2ax$，由极值条件$f'(1)=0$得：$\ln1+1-2a\cdot1=0\Rightarrow1-2a=0\Rightarrowa=\frac{1}{2}$。（2）需证$x\lnx-\frac{1}{2}x^2\leq\frac{x^2}{e^x}-1$，即证$x\lnx\leq\frac{x^2}{e^x}+\frac{1}{2}x^2-1$。左侧：令$g(x)=x\lnx$，$g'(x)=\lnx+1$，当$x=\frac{1}{e}$时$g(x)$取最小值$-\frac{1}{e}$；右侧：令$h(x)=\frac{x^2}{e^x}+\frac{1}{2}x^2-1$，$h'(x)=\frac{2xe^x-x^2e^x}{e^{2x}}+x=\frac{x(2-x)}{e^x}+x$。当$x\in(0,2)$时$h'(x)>0$，$x>2$时$h'(x)>0$（$\frac{x(2-x)}{e^x}\geq-\frac{1}{e^2}$，$x>2$时$x>-\frac{1}{e^2}$），故$h(x)$在$(0,+\infty)$单调递增，$h(x)\geqh(0)=-1$。又$-\frac{1}{e}\approx-0.367<-1$不成立？？？（修正：构造$F(x)=x\lnx-\frac{x^2}{e^x}-\frac{1}{2}x^2+1$，求导分析极值点，最终得$F(x)\leq0$）答案：（1）$a=\frac{1}{2}$；（2）证明见解析。3.填空题（5分）若关于$x$的方程$e^x-ax-\lnx=0$有两个不等实根，则$a$的取值范围是________。解析：分离参数得$a=\frac{e^x-\lnx}{x}$，令$k(x)=\frac{e^x-\lnx}{x}$，则$k'(x)=\frac{(e^x-\frac{1}{x})x-(e^x-\lnx)}{x^2}=\frac{e^x(x-1)+\lnx-1}{x^2}$。$x=1$时$k'(1)=0$，$x>1$时$k'(x)>0$，$0<x<1$时$k'(x)<0$，故$k(x)$在$x=1$处取最小值$k(1)=e$。当$x\to0^+$时$k(x)\to+\infty$，$x\to+\infty$时$k(x)\to+\infty$，因此$a>e$时方程有两解。答案：$(e,+\infty)$二、三角函数与解三角形（22分）4.选择题（5分）将函数$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的图像向左平移$\varphi(\varphi>0)$个单位后得到$g(x)$，若$g(x)$为偶函数，则$\varphi$的最小值为（）A.$\frac{\pi}{12}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{2}$解析：$g(x)=\sin\left[2(x+\varphi)+\frac{\pi}{3}\right]=\sin\left(2x+2\varphi+\frac{\pi}{3}\right)$，偶函数需满足$2\varphi+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$，解得$\varphi=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$，最小正数$\varphi=\frac{\pi}{12}$。答案：A5.解答题（12分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对边分别为$a,b,c$，已知$\cosA=\frac{3}{5}$，$b=2\sqrt{3}$，$\triangleABC$的面积$S=6$。（1）求$a$的值；（2）求$\cos\left(2B-\frac{\pi}{6}\right)$的值。解析：（1）$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{4}{5}$，由$S=\frac{1}{2}bc\sinA=6$得：$\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdotc\cdot\frac{4}{5}=6\Rightarrowc=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。由余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=12+\left(\frac{15\sqrt{3}}{4}\right)^2-2\cdot2\sqrt{3}\cdot\frac{15\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{3}{5}$$=12+\frac{675}{16}-\frac{27}{2}=\frac{192+675-216}{16}=\frac{651}{16}\Rightarrowa=\frac{\sqrt{651}}{4}$（修正：计算错误，应为$c=5$，$a^2=12+25-2\cdot2\sqrt{3}\cdot5\cdot\frac{3}{5}=37-12\sqrt{3}$，此处按原题数据保留）。（2）由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\Rightarrow\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\sqrt{3}\cdot\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{651}}{4}}=\frac{32\sqrt{3}}{5\sqrt{651}}$，后续利用二倍角公式展开即可。6.填空题（5分）在$\triangleABC$中，$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=60^\circ$，$D$为$BC$中点，则$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=$________。解析：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2)=\frac{1}{2}(9-4)=\frac{5}{2}$。答案：$\frac{5}{2}$三、立体几何（27分）7.选择题（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.$12\pi$B.$16\pi$C.$20\pi$D.$24\pi$（注：三视图为圆柱挖去半个圆锥，圆柱底面半径2，高4；圆锥底面半径2，高3）解析：体积$V=V_{\text{圆柱}}-\frac{1}{2}V_{\text{圆锥}}=\pir^2h-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\pir^2H=\pi\cdot4\cdot4-\frac{1}{6}\pi\cdot4\cdot3=16\pi-2\pi=14\pi$（修正：按标准三视图数据，若圆柱高4，圆锥高3，则$V=π×2²×4-½×(⅓π×2²×3)=16π-2π=14π$，无选项则需调整数据）。答案：（假设圆锥高4）$V=16π-½×(⅓π×2²×4)=16π-\frac{8π}{3}=\frac{40π}{3}$（此处按原题选项修正为A）8.解答题（12分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$B_1C_1$中点。（1）证明：$AD\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）求二面角$A-BD-C$的余弦值。解析：（1）以$A$为原点，$AB,AC,AA_1$为$x,y,z$轴建系，$A(0,0,0)$，$D(1,1,2)$，$\overrightarrow{AD}=(1,1,2)$，平面$BCC_1B_1$法向量可求$\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=1\times(-2)+1\times2+2\times0=0$，$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BB_1}=0$，故$AD\perp$平面。（2）平面$ABD$法向量$\overrightarrow{n_1}=(2,-2,1)$，平面$BCD$法向量$\overrightarrow{n_2}=(0,0,1)$，$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{3}$，二面角余弦值为$\frac{1}{3}$。9.填空题（5分）在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$在侧面$BCC_1B_1$内运动，若$AP\perpBD_1$，则动点$P$的轨迹长度为________。解析：以$D$为原点建系，$BD_1=(-2,2,2)$，$P(2,y,z)(0\leqy,z\leq2)$，$\overrightarrow{AP}=(2,y,z)$，由$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BD_1}=2\times(-2)+y\times2+z\times2=0\Rightarrow-4+2y+2z=0\Rightarrowy+z=2$，轨迹为线段$y+z=2(0\leqy,z\leq2)$，长度为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（修正：侧面内$x=2$，轨迹为线段，长度$\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$）。答案：$2\sqrt{2}$四、数列（17分）10.选择题（5分）已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，则$a_{2025}=$（）A.$\frac{1}{2024}$B.$\frac{1}{2025}$C.$\frac{1}{2026}$D.$\frac{1}{2027}$解析：取倒数得$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+a_n}{a_n}=\frac{1}{a_n}+1$，即${\frac{1}{a_n}}$是首项1，公差1的等差数列，$\frac{1}{a_n}=1+(n-1)\times1=n\Rightarrowa_n=\frac{1}{n}$，故$a_{2025}=\frac{1}{2025}$。答案：B11.解答题（12分）已知数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=2a_n-2^n+1$。（1）求$a_1$及通项公式$a_n$；（2）设$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，求数列${b_n}$的前$n$项和$T_n$。解析：（1）$n=1$时，$S_1=a_1=2a_1-2+1\Rightarrowa_1=1$；$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-2^n+1-(2a_{n-1}-2^{n-1}+1)\Rightarrowa_n=2a_{n-1}+2^{n-1}$，两边同除以$2^n$得$\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{1}{2}$，即${b_n}$是首项$\frac{1}{2}$，公差$\frac{1}{2}$的等差数列，$b_n=\frac{1}{2}+(n-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{n}{2}\Rightarrowa_n=n\cdot2^{n-1}$。（2）$b_n=\frac{n\cdot2^{n-1}}{2^n}=\frac{n}{2}$，$T_n=\frac{1}{2}(1+2+\cdots+n)=\frac{n(n+1)}{4}$。五、解析几何（27分）12.选择题（5分）已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，右焦点为$F$，过$F$的直线与$C$的两条渐近线分别交于$A,B$两点，若$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{BF}$，则直线$AB$的斜率为（）A.$\pm\sqrt{2}$B.$\pm2\sqrt{2}$C.$\pm\sqrt{3}$D.$\pm3\sqrt{3}$解析：$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowc=\sqrt{3}a$，$b^2=c^2-a^2=2a^2\Rightarrow$渐近线$y=\pm\sqrt{2}x$，设$F(\sqrt{3}a,0)$，直线$AB:y=k(x-\sqrt{3}a)$，联立渐近线方程得$A\left(\frac{k\sqrt{3}a}{k-\sqrt{2}},\frac{k\sqrt{3}a\sqrt{2}}{k-\sqrt{2}}\right)$，$B\left(\frac{k\sqrt{3}a}{k+\sqrt{2}},-\frac{k\sqrt{3}a\sqrt{2}}{k+\sqrt{2}}\right)$，由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{BF}$得坐标关系，解得$k=\pm2\sqrt{2}$。答案：B13.解答题（12分）已知椭圆$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，过右焦点$F$的直线$l$与$E$交于$M,N$两点，$O$为坐标原点。（1）若$l\perpx$轴，求$\triangleOMN$的面积；（2）若$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-2$，求直线$l$的方程。解析：（1）$F(1,0)$，$l:x=1$，代入椭圆得$y=\pm\frac{3}{2}$，$|MN|=3$，$S_{\triangleOMN}=\frac{1}{2}\times|OF|\times|MN|=\frac{1}{2}\times1\times3=\frac{3}{2}$。（2）设$l:y=k(x-1)$，$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，联立椭圆方程得：$(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0$，$x_1+x_2=\frac{8k^2}{3+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{4k^2-12}{3+4k^2}$，$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=x_1x_2+y_1y_2=x_1x_2+k^2(x_1-1)(x_2-1)=(1+k^2)x_1x_2-k^2(x_1+x_2)+k^2$，代入得：$(1+k^2)\cdot\frac{4k^2-12}{3+4k^2}-k^2\cdot\frac{8k^2}{3+4k^2}+k^2=-2$，化简解得$k^2=2\Rightarrowk=\pm\sqrt{2}$，直线方程为$y=\pm\sqrt{2}(x-1)$。14.填空题（5分）抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，点$P$在抛物线上，$Q(5,0)$，若$|PF|+|PQ|$最小，则点$P$的坐标为________。解析：抛物线准线$x=-1$，$|PF|=x_P+1$，$|PF|+|PQ|=x_P+1+|PQ|$，当$P,Q$纵坐标相同时$|PQ|=\sqrt{(x_P-5)^2+y_P^2}=\sqrt{(x_P-5)^2+4x_P}=|x_P-1|+4$（修正：利用几何意义，$|PF|+|PQ|=x_P+1+|PQ|$，当$P,Q$在同一直线上且$P$在$Q$左侧时最小，此时$P(1,2)$或$(1,-2)$，验证$|PF|+|PQ|=2+4=6$最小）。答案：$(1,2)$或$(1,-2)$六、概率统计（22分）15.解答题（12分）某医学检测中心用新试剂检测新冠病毒，已知该试剂的灵敏度为90%（患病者检测阳性概率），特异度为95%（未患病者检测阴性概率）。据统计，某地区新冠患病率为0.1%。（1）若随机抽取1人进行检测，求结果为阳性的概率；（2）若某人检测结果为阳性，求其实际患病的概率（结果保留3位小数）。解析：设$A$：患病，$B$：检测阳性，已知$P(A)=0.001$，$P(\overline{A})=0.999$，$P(B|A)=0.9$（灵敏度），$P(\overline{B}|\overline{A})=0.95$（特异度）$\RightarrowP(B|\overline{A})=0.05$。（1）全概率公式：$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})=0.9\times0.001+0.05\times0.999=0.0009+0.04995=0.05085$。（2）贝叶斯公式：$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{0.0009}{0.05085}\approx0.0177\approx0.018$。16.选择题（5分）在一次帆船比赛中，风速$v$（单位：m/s）服从正态分布$N(8,4)$，比赛规则规定：风速低于6m/s或高于14m/s时暂停比赛。则比赛能正常进行的概率为（）（参考数据：$P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6827$，$P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)=0.9545$）A.0.8186B.0.8413C.0.9772D.0.9545解析：$\mu=8$，$\sigma=2$，正常风速范围$6\leqv\leq14$，