2025年高三数学高考创新定义压轴题模拟试题

2025年高三数学高考创新定义压轴题模拟试题一、新定义概念与基础应用（本小题满分12分）定义1：动态集合的α-覆盖设集合(S\subseteq\mathbb{R})，若存在区间([a,b])满足：(S\subseteq[a,b])；(b-a\leq\alpha)；对任意(x\in[a,b])，存在(s\inS)使得(|x-s|\leq\frac{\alpha}{4})，则称(S)是“α-可覆盖集”，区间([a,b])称为(S)的“α-覆盖区间”。问题1（1）判断下列集合是否为“2-可覆盖集”，并说明理由：①(S_1={0,1,2})；②(S_2=\left{\sinx\midx\in[0,\pi]\right})。（2）设集合(S={a,a+1,a+2,\dots,a+n})（(a\in\mathbb{R})，(n\in\mathbb{N}^*)），若(S)是“α-可覆盖集”，求α的最小值。解析思路（1）①对(S_1={0,1,2})，取区间([0,2])，验证：(S_1\subseteq[0,2])，区间长度(2-0=2\leq\alpha=2)；对任意(x\in[0,2])，当(x\in[0,0.5])时，(|x-0|\leq0.5=\frac{2}{4})；当(x\in(0.5,1.5))时，(|x-1|\leq0.5)；当(x\in[1.5,2])时，(|x-2|\leq0.5)。综上，(S_1)是“2-可覆盖集”。②(S_2=[0,1])（正弦函数在([0,\pi])的值域），区间长度为1。若α=2，取覆盖区间([0,1])，长度1≤2，且对任意(x\in[0,1])，取(s=x)，则(|x-s|=0\leq0.5)，故(S_2)是“2-可覆盖集”。（2）集合(S)含(n+1)个连续整数，最小覆盖区间为([a,a+n])，长度为(n)。需满足对任意(x\in[a,a+n])，存在(s\inS)使得(|x-s|\leq\frac{\alpha}{4})。相邻元素间距为1，故最大距离出现在区间中点，即(\frac{1}{2}\leq\frac{\alpha}{4}\Rightarrow\alpha\geq2)。又区间长度(n\leq\alpha)，因此α的最小值为(\max{n,2})。二、函数与导数综合创新题（本小题满分15分）定义2：拟对称函数设函数(f(x))在区间(I\subseteq\mathbb{R})上可导，若存在常数(k\neq0)，使得对任意(x\inI)，有(f'(x)=k\cdotf'(2a-x))（其中(a)为常数），则称(f(x))是“关于点((a,k))的拟对称函数”。问题2（1）证明：若(f(x))是关于点((a,1))的拟对称函数，则(f(x)+f(2a-x))为常函数；（2）已知函数(f(x)=x^3+mx^2+nx+t)是关于点((1,-1))的拟对称函数，且(f(x))在(x=0)处的切线方程为(y=2x-1)，①求(m,n,t)的值；②若对任意(x\in[0,2])，不等式(f(x)\leqax^2+5x)恒成立，求实数(a)的取值范围。解析思路（1）由定义得(f'(x)=1\cdotf'(2a-x))，两边积分得(f(x)=-f(2a-x)+C)（(C)为常数），即(f(x)+f(2a-x)=C)。（2）①(f'(x)=3x^2+2mx+n)，由拟对称定义：(f'(x)=-1\cdotf'(2-x))。计算(f'(2-x)=3(2-x)^2+2m(2-x)+n=3x^2-(12+2m)x+(12+4m+n))，则(f'(x)=-f'(2-x)\Rightarrow3x^2+2mx+n=-3x^2+(12+2m)x-(12+4m+n))，对比系数得：(3=-3)（矛盾，修正符号）→应为(f'(x)=-f'(2-x)\Rightarrow3x^2+2mx+n=-3x^2+(12+2m)x-(12+4m+n))，故(6x^2+(4m-12)x+(2n+12+4m)=0)对任意(x)成立，解得(m=3)，(n=-12)。由切线方程：(f(0)=t=-1)，(f'(0)=n=2)（矛盾，修正：切线斜率为(f'(0)=n=2)，故(n=2)，代入上述方程解得(m=-3)，(t=-1)）。②不等式(x^3-3x^2+2x-1\leqax^2+5x)对(x\in[0,2])恒成立，当(x=0)时，(-1\leq0)成立；当(x\in(0,2])时，(a\geqx-3-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2})。设(g(x)=x-3-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2})，求导得(g'(x)=1+\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x^3})，令(g'(x)=0)解得(x=1)，则(g(x)_{\max}=g(1)=-3)，故(a\geq-3)。三、数列与不等式新定义题（本小题满分15分）定义3：k-级收敛数列对正项数列({a_n})，若存在常数(C>0)，使得对任意(n\in\mathbb{N}^*)，有(a_{n+1}\leqC\cdot\frac{a_n}{n^k})（(k>0)），则称({a_n})是“k-级收敛数列”。问题3（1）已知({a_n})是1-级收敛数列，且(a_1=1)，证明：存在常数(M>0)，使得(a_n\leq\frac{M}{n!})对所有(n\in\mathbb{N}^*)成立；（2）设数列({b_n})满足(b_1=1)，(b_{n+1}=\frac{b_n}{n^2+1})，判断({b_n})是否为k-级收敛数列，若是，求出k的最小值；若不是，说明理由；（3）若({c_n})是2-级收敛数列，且(c_1=1)，证明：(\sum_{n=1}^{\infty}c_n)收敛。解析思路（1）由1-级收敛定义，(a_{n+1}\leqC\cdot\frac{a_n}{n})，累乘得(a_n\leqa_1\cdotC^{n-1}\cdot\frac{1}{(n-1)!}=\frac{C^{n-1}}{(n-1)!})。当(n\geq2)时，(\frac{C^{n-1}}{(n-1)!}=C\cdot\frac{C^{n-2}}{(n-1)(n-2)!}\leqC\cdot\frac{C^{n-2}}{(n-2)!})（因(n-1\geq1)），递推可知存在(M=\max{1,C,C^2,\dots})，使得(a_n\leq\frac{M}{n!})。（2）(b_{n+1}=\frac{b_n}{n^2+1}\leq\frac{b_n}{n^2})，故满足(k=2)的定义。若(k<2)，取(n)充分大时(n^2+1>n^k)，则(\frac{b_n}{n^2+1}<\frac{b_n}{n^k})，无法找到常数(C)满足(b_{n+1}\leqC\cdot\frac{b_n}{n^k})，因此k的最小值为2。（3）由2-级收敛，(c_{n+1}\leqC\cdot\frac{c_n}{n^2})，累乘得(c_n\leqC^{n-1}\cdot\frac{1}{(n-1)!^2})（此处应为(\prod_{i=1}^{n-1}\frac{C}{i^2}=C^{n-1}\cdot\frac{1}{[(n-1)!]^2})）。因(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{C^{n-1}}{[(n-1)!]^2})收敛（与(\sum\frac{1}{n^2})比较），故(\sumc_n)收敛。四、解析几何与新定义综合题（本小题满分16分）定义4：双曲对称点在平面直角坐标系中，设双曲线(\Gamma:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)），若点(P(x_0,y_0))关于直线(l)的对称点(Q)满足(P,Q)都在(\Gamma)上，则称(P)是“(\Gamma)关于(l)的双曲对称点”。问题4已知双曲线(\Gamma:x^2-y^2=1)，直线(l:y=kx+m)。（1）若(k=0)，且(P(2,\sqrt{3}))是(\Gamma)关于(l)的双曲对称点，求(m)的值；（2）若(m=0)，直线(l)与(\Gamma)交于(A,B)两点，且存在(\Gamma)关于(l)的双曲对称点(P)（(P\notin{A,B})），求(k)的取值范围；（3）证明：对任意直线(l)，(\Gamma)上最多存在4个关于(l)的双曲对称点。解析思路（1）当(k=0)时，(l:y=m)，点(P(2,\sqrt{3}))的对称点(Q(2,2m-\sqrt{3}))。因(Q\in\Gamma)，则(2^2-(2m-\sqrt{3})^2=1\Rightarrow(2m-\sqrt{3})^2=3\Rightarrow2m-\sqrt{3}=\pm\sqrt{3}\Rightarrowm=\sqrt{3})或(m=0)。（2）(m=0)时，(l:y=kx)。设(P(x_0,y_0))关于(l)的对称点(Q(x_1,y_1))，则(l)是(PQ)的中垂线，联立(\Gamma)方程：(x_0^2-y_0^2=1)，(x_1^2-y_1^2=1)，两式相减得((x_0-x_1)(x_0+x_1)=(y_0-y_1)(y_0+y_1))。由对称性质，(\frac{y_0+y_1}{2}=k\cdot\frac{x_0+x_1}{2})且(\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}=-\frac{1}{k})，代入得(x_0+x_1=-k(y_0+y_1)=-k\cdot2k\cdot\frac{x_0+x_1}{2}=-k^2(x_0+x_1))。若(x_0+x_1\neq0)，则(1=-k^2)（无解）；若(x_0+x_1=0)，则(y_0+y_1=0)，即(Q(-x_0,-y_0))，代入(\Gamma)方程得(x_0^2-y_0^2=1)，与(P)的方程一致，故所有关于原点对称的点均满足条件。但(P\notin{A,B})，直线(l)与(\Gamma)交于(A,B)，联立(x^2-k^2x^2=1\Rightarrowx^2=\frac{1}{1-k^2})，存在交点需(1-k^2>0\Rightarrow|k|<1)，故(k\in(-1,1))。（3）从代数角度，双曲对称点(P,Q)需满足对称条件和双曲线方程，构成二元二次方程组，最多有4组解，因此最多4个点。五、概率与统计创新题（本小题满分14分）定义5：信息熵增益设随机变量(X)的概率分布为(P(X=i)=p_i)（(i=1,2,\dots,n)，(p_i>0)，(\sump_i=1)），定义信息熵(H(X)=-\sum_{i=1}^np_i\lnp_i)。若引入新信息后，(X)的概率分布变为(P(X=i)=q_i)（(\sumq_i=1)），则“信息熵增益”为(D(X)=H(X)-H'(X))，其中(H'(X)=-\sum_{i=1}^nq_i\lnq_i)。问题5（1）设(X)服从两点分布，(P(X=1)=p)，(P(X=0)=1-p)（(0<p<1)），求(H(X))的最大值；（2）设(X)的分布为((p,1-p))，引入信息后分布变为((q,1-q))，若(|p-q|=\delta)（(0<\delta<\min{p,1-p})），证明：(D(X)>0)；（3）设随机变量(Y)可取3个值，初始分布为(\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right))，引入信息后分布变为(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right))，计算信息熵增益(D(Y))，并说明其统计意义。解析思路（1）(H(X)=-p\lnp-(1-p)\ln(1-p))，求导得(H'(X)=-\lnp+\ln(1-p))，令(H'(X)=0\Rightarrowp=\frac{1}{2})，此时(H(X)_{\max}=\ln2)。（2）(D(X)=[-p\lnp-(1-p)\ln(1-p)]-[-q\lnq-(1-q)\ln(1-q)])。设(q=p+\delta)（(q=p-\delta)同理），则(D(X)=-p\lnp-(1-p)\ln(1-p)+(p+\delta)\ln(p+\delta)+(1-p-\delta)\ln(1-p-\delta))。求导验证单调性，当(\delta>0)时，(D(X)>0)。（3）初始熵(H(Y)=-3\cdot\frac{1}{3}\ln\frac{1}{3}=\ln3\approx1.0986)；新熵(H'(Y)=-\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}-2\cdot\frac{1}{4}\ln\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\ln2+\frac{1}{2}\ln4=\frac{3}{2}\ln2\approx1.0397)，故(D(Y)=\ln3-\frac{3}{2}\ln2\approx0.0589>0)，表明引入信息后系统不确定性降低，信息增益为正。六、综合开放题（本小题满分16分）定义6：迭代数列的分形维数对于正项数列({x_n})，定义其“分形维数”为(d=\lim_{n\to\infty}\frac{\lnn}{\ln(S_n)})（若极限存在），其中(S_n=\sum_{k=1}^nx_k)。问题6（1）若(x_n=1)，求({x_n})的分形维数；（2）若(x_n=\frac{1}{n^p})（(p>0)），讨论分形维数(d)的存在性及取值；（3）构造一个分形维数为(\frac{1}{2})的数列({y_n})，并证明你的结论。解析思路（1）(S_n=n)，则(d=\lim_{n\to\infty}\frac{\lnn}{\lnn}=1)。（2）当(p>1)时，(S_n)收敛于常数(S)，(\lnS_n\to\lnS)，极限不存在；当(p=1)时，(S_n\approx\lnn)，(d=\lim_{n\to\infty}\frac{\lnn}{\ln\lnn}=\infty)；当(0<p<1)时，(S_