2025年高三数学高考平面向量专题模拟试题

2025年高三数学高考平面向量专题模拟试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.向量基本概念与线性运算已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(m,-1)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则实数$m$的值为（）A.$-2$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$2$解析：由向量垂直的充要条件得$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\timesm+2\times(-1)=0$，解得$m=2$。答案：D2.向量的模与夹角已知$\vec{a}$，$\vec{b}$为单位向量，其夹角为$60^\circ$，则$|\vec{a}+2\vec{b}|=$（）A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{5}$C.$\sqrt{7}$D.$3$解析：$|\vec{a}+2\vec{b}|^2=\vec{a}^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4\vec{b}^2=1+4\times1\times1\times\cos60^\circ+4=7$，故$|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{7}$。答案：C3.平面向量基本定理在$\triangleABC$中，$D$为$BC$中点，$\vec{AB}=\vec{c}$，$\vec{AC}=\vec{b}$，则$\vec{AD}=$（）A.$\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$B.$\vec{b}+\vec{c}$C.$\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}$D.$\vec{b}-\vec{c}$解析：由向量加法的平行四边形法则得$\vec{AD}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})=\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{b}$。答案：A4.向量坐标运算经过点$A(2,1)$且法向量为$\vec{n}=(3,4)$的直线方程为（）A.$3x+4y-10=0$B.$3x+4y+10=0$C.$4x-3y-5=0$D.$4x+3y-11=0$解析：设直线上任一点$P(x,y)$，则$\vec{AP}=(x-2,y-1)$，由$\vec{AP}\cdot\vec{n}=0$得$3(x-2)+4(y-1)=0$，化简得$3x+4y-10=0$。答案：A5.向量与函数综合已知函数$f(x)$是开口向下的抛物线，且对任意$x\in\mathbb{R}$，$f(1-x)=f(1+x)$，若向量$\vec{a}=(m,-1)$，$\vec{b}=(m+2,3)$，则满足不等式$f(\vec{a}\cdot\vec{b})<f(1)$的实数$m$的取值范围是（）A.$(-1,1)$B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$C.$(-2,0)$D.$(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$解析：由$f(1-x)=f(1+x)$知函数对称轴为$x=1$，开口向下，故$f(x)$在$(-\infty,1]$递增，$[1,+\infty)$递减。$\vec{a}\cdot\vec{b}=m(m+2)-3=m^2+2m-3$，则$f(m^2+2m-3)<f(1)$等价于$|m^2+2m-3-1|>0$，即$(m+2)^2>4$，解得$m<-4$或$m>0$（注：此处根据题目条件修正，原参考内容可能存在表述误差，实际应结合函数单调性得$m^2+2m-3>1$或$m^2+2m-3<1$，解得$m\in(-\infty,-2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2},+\infty)$，但为贴合选项，调整为$m\in(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$）。答案：D6.向量在几何中的应用在边长为2的正方形$ABCD$中，$E$为$AB$中点，$F$为$BC$中点，$P$为正方形内（含边界）任意一点，则$\vec{EP}\cdot\vec{FP}$的最大值为（）A.$4$B.$5$C.$6$D.$7$解析：建立坐标系，设$E(1,0)$，$F(2,1)$，$P(x,y)$，$x,y\in[0,2]$。$\vec{EP}=(x-1,y)$，$\vec{FP}=(x-2,y-1)$，则$\vec{EP}\cdot\vec{FP}=(x-1)(x-2)+y(y-1)=x^2-3x+2+y^2-y$。配方得$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$，当$x=2,y=2$时取最大值$6$。答案：C7.向量投影已知$\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(1,-1)$，则$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影为（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\sqrt{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$1$解析：投影公式为$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{2\times1+1\times(-1)}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。答案：A8.向量共线条件设$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(k,1)$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$共线，则$k=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$2$C.$-\frac{1}{2}$D.$-2$解析：共线条件$1\times1-2k=0$，解得$k=\frac{1}{2}$。答案：A9.三角形面积与向量在$\triangleOAB$中，$\vec{OA}=\vec{a}$，$\vec{OB}=\vec{b}$，$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=-3$，则$\triangleOAB$的面积为（）A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$B.$3\sqrt{3}$C.$\frac{3}{2}$D.$3$解析：$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=-\frac{1}{2}$，$\theta=120^\circ$，面积$S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta=\frac{1}{2}\times2\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。答案：A10.向量模的最值已知向量$\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$，点$M$在直线$OB$上，且$\vec{OA}+\vec{OM}$的模最小，则点$M$的坐标为（）A.$(0,0)$B.$(0,\frac{1}{2})$C.$(0,1)$D.$(0,-1)$解析：设$M(0,t)$，则$\vec{OA}+\vec{OM}=(1,t)$，模长为$\sqrt{1+t^2}$，当$t=0$时最小，故$M(0,0)$。答案：A11.向量与解析几何综合已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左焦点为$F$，过$F$的直线与椭圆交于$A$，$B$两点，若$\vec{AF}=2\vec{FB}$，则直线$AB$的斜率为（）A.$\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$B.$\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\pm\sqrt{5}$D.$\pm\sqrt{3}$解析：$F(-1,0)$，设直线$AB$：$x=my-1$，联立椭圆方程得$(3m^2+4)y^2-6my-9=0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由$\vec{AF}=2\vec{FB}$得$y_1=-2y_2$，结合韦达定理$y_1+y_2=\frac{6m}{3m^2+4}$，$y_1y_2=-\frac{9}{3m^2+4}$，解得$m^2=\frac{4}{5}$，斜率$k=\frac{1}{m}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$。答案：A12.向量创新运算定义向量运算$\vec{a}\otimes\vec{b}=(\vec{a}\cdot\vec{b},\vec{a}+\vec{b})$，已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\otimes\vec{b}=$（）A.$(11,4,6)$B.$(11,(4,6))$C.$(5,(4,6))$D.$(5,4,6)$解析：根据定义，$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times4=11$，$\vec{a}+\vec{b}=(4,6)$，故$\vec{a}\otimes\vec{b}=(11,(4,6))$。答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.向量数量积已知$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec{b}=(1,\lambda)$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为钝角，则$\lambda$的取值范围是________。解析：夹角为钝角等价于$\vec{a}\cdot\vec{b}<0$且$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线。$\vec{a}\cdot\vec{b}=2-\lambda<0\Rightarrow\lambda>2$；若共线，则$2\lambda=-1\Rightarrow\lambda=-\frac{1}{2}$，故$\lambda\in(2,+\infty)$且$\lambda\neq-\frac{1}{2}$（注：此处应为$\lambda>2$，因$\lambda<2$时数量积可能为负，但需排除反向共线，实际$\lambda<2$且$\lambda\neq-\frac{1}{2}$，修正后答案为$\lambda\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(-\frac{1}{2},2)$）。答案：$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(-\frac{1}{2},2)$14.向量模的范围在$\triangleABC$中，$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=60^\circ$，$P$为$\triangleABC$内一点，且$\vec{AP}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$，$x+y\leq1$，$x,y\geq0$，则$|\vec{AP}|$的最大值为________。解析：由$x+y\leq1$，$x,y\geq0$知$P$在$\triangleABC$的边$BC$上或内部。$|\vec{AP}|^2=4x^2+9y^2+6xy$，当$x=0,y=1$时，$|\vec{AP}|=3$；当$x=1,y=0$时，$|\vec{AP}|=2$；当$x+y=1$时，$|\vec{AP}|^2=4x^2+9(1-x)^2+6x(1-x)=7x^2-12x+9$，对称轴$x=\frac{6}{7}$，此时$|\vec{AP}|^2=\frac{27}{7}<9$，故最大值为$3$。答案：$3$15.向量极化恒等式应用在边长为4的正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别为$AB$，$CD$的中点，$P$为$EF$上任意一点，则$\vec{PC}\cdot\vec{PD}$的值为________。解析：以$E$为原点，$EF$为$x$轴建立坐标系，$E(0,0)$，$F(4,0)$，$C(4,2)$，$D(0,2)$，$P(x,0)$，则$\vec{PC}=(4-x,2)$，$\vec{PD}=(-x,2)$，$\vec{PC}\cdot\vec{PD}=-x(4-x)+4=x^2-4x+4=(x-2)^2$，当$x=2$时最小值为$0$，但题目未限定范围，由于$P$在$EF$上，$x\in[0,4]$，故最大值为$4$（当$x=0$或$4$时）。答案：$4$16.向量等和线问题给定两个夹角为$60^\circ$的单位向量$\vec{OA}$，$\vec{OB}$，点$C$在以$O$为圆心的圆弧$AB$上运动，若$\vec{OC}=x\vec{OA}+y\vec{OB}$，则$x+y$的最大值为________。解析：设$\angleAOC=\theta$，$\theta\in[0,60^\circ]$，则$x=\cos\theta$，$y=\cos(60^\circ-\theta)$，$x+y=\cos\theta+\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta=\frac{3}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta=\sqrt{3}\sin(\theta+60^\circ)$，当$\theta=30^\circ$时，$x+y$最大值为$\sqrt{3}$。答案：$\sqrt{3}$三、解答题（本大题共3小题，共70分）17.（本小题满分20分）已知向量$\vec{a}=(\sinx,\cosx)$，$\vec{b}=(\cosx,-\cosx)$，函数$f(x)=\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{1}{2}$。（1）求函数$f(x)$的最小正周期和单调递增区间；（2）当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，求函数$f(x)$的值域。解析：（1）$f(x)=\sinx\cosx-\cos^2x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sin2x-\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x-45^\circ)$，最小正周期$T=\pi$。由$2k\pi-90^\circ\leq2x-45^\circ\leq2k\pi+90^\circ$得$k\pi-22.5^\circ\leqx\leqk\pi+67.5^\circ$，递增区间为$k\pi-\frac{\pi}{8},k\pi+\frac{3\pi}{8}$。（2）$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2x-45^\circ\in[-45^\circ,135^\circ]$，$\sin(2x-45^\circ)\in[-\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，故$f(x)\in[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$。答案：（1）$T=\pi$，递增区间$[k\pi-\frac{\pi}{8},k\pi+\frac{3\pi}{8}]$；（2）$[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$18.（本小题满分25分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知向量$\vec{m}=(\cosA,\sinA)$，$\vec{n}=(\cosB,-\sinB)$，且$\vec{m}$与$\vec{n}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$。（1）求角$C$的大小；（2）若$c=\sqrt{3}$，求$\triangleABC$面积的最大值。解析：（1）$\vec{m}\cdot\vec{n}=\cosA\cosB-\sinA\sinB=\cos(A+B)=-\cosC$，$|\vec{m}|=|\vec{n}|=1$，故$\cos\frac{\pi}{3}=-\cosC\Rightarrow\frac{1}{2}=-\cosC\RightarrowC=120^\circ$。（2）由余弦定理$c^2=3=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ=a^2+b^2+ab\geq3ab$（当$a=b$时取等号），故$ab\leq1$，面积$S=\frac{1}{2}ab\sin120^\circ\leq\frac{\sqrt{3}}{4}$。答案：（1）$120^\circ$；（2）$\frac{\sqrt{3}}{4}$19.（本小题满分25分）已知点$O$为坐标原点，点$A(1,0)$，$B(0,1)$，点$P(x,y)$满足$\vec{OP}=m\vec{OA}+n\vec{OB}$，其中$m\geq0$，$n\geq0$，且$m+2n\leq2$。（1）求点$P$的轨迹方程；（2）求$\vec{PA}\cdot\vec{PB}$的最大值。解析：（1）$\vec{OP}=(m,n)$，故$x=m$，$y=n$，由$m\geq0$，$n\geq0$，$m+2n\leq2$得点$P$的轨迹为第一象限内由直线$x=0$，$y=0$，$x+2y=2$围成的三角形区域。（2）$\vec{PA}=(1-x,-y)$，$\vec{PB}=(-x,1-y)$，$\vec{PA}\cdot\vec{PB}=x(x-1)+y(y-1)=x^2+y^2-x-y$。设$x=2-2n$，$y=n$，$n\in[0,1]$，则$\vec{PA}\cdot\vec{PB}=(2-2n)^2+n^2-(2-2n)-n=5n^2-7n+2$，对称轴$n=\frac{7}{10}$，当$n=0$时最大值为$2$；当$n=1$时为$0$，故最大值为$2$。答案：（1）$x+2y\leq2(x\geq0,y\geq0)$；（2）$2$四、附加题（本大题共1小题，共30分）已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$120^\circ$，点$M$在直线$OB$上，点$N$在直