2025年高三数学高考数学探究能力考查模拟试题

2025年高三数学高考数学探究能力考查模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）已知函数$f(x)=\ln(x)-ax$存在两个不同零点，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-\infty,e)$B.$(0,\frac{1}{e})$C.$(\frac{1}{e},+\infty)$D.$(-e,0)$在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$是底面$ABCD$内一动点，若三棱锥$P-A_1B_1C_1$的体积恒为$\frac{4}{3}$，则动点$P$的轨迹是（）A.线段B.椭圆C.圆D.双曲线某病毒传播模型中，感染人数$N(t)$满足$N(t)=N_0e^{rt}$，其中$r$为传播速率。若经过3天感染人数增加为原来的8倍，则再经过（）天感染人数将增加为原来的64倍A.3B.6C.9D.12已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，则$\sum_{k=1}^{2025}a_ka_{k+1}=$（）A.$\frac{2024}{2025}$B.$\frac{2025}{2026}$C.$\frac{2026}{2025}$D.$\frac{2025}{2024}$在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对边分别为$a,b,c$，若$\frac{\sinA}{\sinB+\sinC}=\frac{b-c}{a}$，则角$B$的大小为（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{4}$C.$\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{2}$已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，过$F$的直线交抛物线于$A,B$两点，若$|AF|=3|BF|$，则直线$AB$的斜率为（）A.$\pm\sqrt{3}$B.$\pm2$C.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\pm\frac{1}{2}$某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1件甲产品需消耗A原料3kg、B原料2kg，生产1件乙产品需消耗A原料1kg、B原料3kg。现有A原料120kg、B原料100kg，若甲产品每件利润50元，乙产品每件利润40元，则最大利润为（）A.2000元B.2160元C.2240元D.2320元已知函数$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$B.函数$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$上单调递增C.直线$x=\frac{\pi}{3}$是函数$f(x)$图像的一条对称轴D.函数$f(x)$的图像可由$y=\sin2x$向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位得到在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=120^\circ$，$PA=3$，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.$16\pi$B.$20\pi$C.$24\pi$D.$28\pi$已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x+2)=f(x)$，且当$x\in[0,2)$时，$f(x)=\begin{cases}x^2,&0\leqx<1\2-x,&1\leqx<2\end{cases}$，则方程$f(x)=\log_4|x|$的实根个数为（）A.4B.6C.8D.10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）已知复数$z$满足$(1+i)z=2i$（$i$为虚数单位），则$|z|=$______。已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(m,-1)$，若$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，则$m=$______。某学校为了解学生体质健康状况，随机抽取100名学生进行体能测试，测试成绩的频率分布直方图如图所示，若成绩在$[80,100]$的学生中有2人获得满分，则成绩在$[60,80)$的学生人数为______。执行如图所示的程序框图，若输入$n=5$，则输出的$S=$______。已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$在$x=-1$处取得极大值7，则$f(2)=$______。已知函数$f(x)=\frac{1}{2^x+\sqrt{2}}$，则$f(-5)+f(-4)+\cdots+f(0)+\cdots+f(5)+f(6)=$______。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知数列${a_n}$是等差数列，且$a_2=5$，$a_5=14$。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）设$b_n=2^{a_n}$，求数列${b_n}$的前$n$项和$S_n$。（12分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对边分别为$a,b,c$，且满足$2b\cosA=a\cosC+c\cosA$。（1）求角$A$的大小；（2）若$a=2\sqrt{3}$，$\triangleABC$的面积为$2\sqrt{3}$，求$\triangleABC$的周长。（12分）如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=4$，$E$是$PD$的中点。（1）求证：$AE\perp$平面$PCD$；（2）求平面$PCE$与平面$ABCD$所成锐二面角的余弦值。（12分）某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下数据：|每周阅读时间（小时）|[0,2)|[2,4)|[4,6)|[6,8)|[8,10]||----------------------|-------|-------|-------|-------|--------||人数|15|25|30|20|10|（1）根据以上数据，估计该校学生每周阅读时间的平均数和方差（同一组数据用该组区间中点值代表）；（2）若该校共有2000名学生，试估计每周阅读时间不少于6小时的学生人数；（3）从每周阅读时间在$[0,2)$和$[8,10]$的学生中按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人来自不同区间的概率。（12分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）过椭圆$C$右焦点$F$的直线$l$与椭圆交于$M,N$两点，在$x$轴上是否存在点$P$，使得$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$为定值？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，说明理由。（12分）已知函数$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\in\mathbf{R})$。（1）讨论函数$f(x)$的单调性；（2）若函数$f(x)$有两个不同的零点$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>2a$。四、探究性试题（本大题共1小题，共20分）数学建模与优化问题：校园快递柜选址某高校计划在三个宿舍区A,B,C附近新建快递柜，各宿舍区的位置坐标分别为$A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,4)$，每个宿舍区的每日快递量分别为300件、400件、500件。现有两个备选位置$P_1(2,2)$和$P_2(4,3)$，需从中选择一处建设快递柜。（1）若采用"直线距离"模型，即快递柜到各宿舍区的距离为欧氏距离，试计算两个备选位置的加权距离总和（权重为每日快递量），并选择更优位置；（2）若考虑到校园道路为网格状分布，实际距离需采用"曼哈顿距离"（$d=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$），重新计算加权距离总和并选择更优位置；（3）在（2）的条件下，若要使快递柜到A,B,C三个宿舍区的加权曼哈顿距离总和最小，试建立数学模型并求出最优位置的坐标；（4）结合以上计算结果，分析不同距离模型对选址结果的影响，并说明在实际决策中还需考虑哪些因素。五、开放探究题（本大题共1小题，共20分）数列的创新定义与性质探究定义：若数列${a_n}$满足$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}(n\in\mathbf{N}^)$，则称${a_n}$为"平方均值数列"。（1）若$a_1=0$，写出数列${a_n}$的前5项，并猜想数列的单调性；（2）若$a_1=2$，证明：数列${a_n}$单调递增且$a_n>1$对任意$n\in\mathbf{N}^$成立；（3）若$a_1=t(t>0)$，探究数列${a_n}$的收敛性（即是否存在极限），并讨论极限值与$t$的关系；（4）类比"平方均值数列"的定义，提出一种新的数列定义，并探究其至少两个基本性质。六、数学文化题（本大题共1小题，共10分）《九章算术》是中国古代重要的数学典籍，其中"勾股"章记载："今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、邪各几何？"译文：有一扇门，不知道它的高和宽，有一根竹竿，不知道它的长短。把竹竿横着放，比门宽长出4尺；竖着放，比门高长出2尺；斜着放，恰好能放进门（即竹竿长度等于门的对角线长）。问门的高、宽、对角线长各是多少？（1）设门的宽为$x$尺，高为$y$尺，竹竿长为$z$尺，根据题意列出方程组；（2）求解上述方程组，得到门的高、宽和对角线长。七、数据分析与模型构建题（本大题共1小题，共20分）某公司为研究产品销售额与广告投入的关系，收集了过去12个月的相关数据（单位：万元）：|月份|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12||------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----||广告投入|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13||销售额|15|20|25|30|35|40|45|50|55|60|65|70|（1）绘制散点图，判断销售额与广告投入是否存在线性相关关系；（2）求销售额$y$关于广告投入$x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；（3）若下一年1月份计划投入广告15万元，预测销售额；（4）该模型是否存在局限性？若存在，试提出至少两种改进方案。八、跨学科综合题（本大题共1小题，共20分）物理学中的抛物线运动问题：将一物体从地面以初速度$v_0$、仰角$\theta$斜向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度为$g$。（1）建立平面直角坐标系，求出物体运动轨迹的参数方程（以时间$t$为参数）；（2）消去参数$t$，得到轨迹的普通方程，并指出曲线类型；（3）求物体运动的最大高度和水平射程；（4）若$v_0=10m/s$，$g=10m/s^2$，要使水平射程达到9m，求仰角$\theta$的大小；（5）在（4）的条件下，若地面有一高度为1m的障碍物，物体能否越过该障碍物？请说明理由。九、数学实验题（本大题共1小题，共10分）利用函数图像探究方程解的个数：（1）在同一坐标系中绘制函数$y=2^x$与$y=x^2$的图像，指出它们的交点个数；（2）改变参数$a$的值，观察函数$y=a^x(a>0,a\neq1)$与$y=x^2$图像交点个数的变化情况，写出交点个数与$a$的关系；（3）根据上述探究结果，估算方程$3^x=x^2$的实数解的个数。十、实际应用题（本大题共1小题，共10分）某快递公司为优化配送路线，对一名快递员的配送数据进行分析，发现该快递员每天配送的时间$t$（单位：小时）与配送件数$n$满足关系$t=0.5n+2+\frac{10}{n}(n\geq1,n\in\mathbf{N}^*)$。（1）求该快递员一天配送30件时所用的时间；（2）若该快递员每天工作8小时，最多能配送多少件快递？（3）为提高效率，公司计划采用新的配送方案，使时间函数变为$t'=0.4n+3+\frac{5}{n}$，试比较两种方案下配送40件快递的时间差异。十一、创新设计题（本大题共1小题，共10分）请设计一个测量学校旗杆高度的方案，要求：（1）写出所需工具；（2）简述测量步骤；（3）建立数学模型，用测量数据表示旗杆高度；（4）分析该方案可能产生误差的原因，并提出改进建议。十二、综合探究题（本大题共1小题，共20分）函数迭代与分形几何定义函数$f(x)=4x(1-x)$，称为逻辑斯蒂映射，在混沌理论中有重要应用。（1）计算$f(0.2)$，$f(f(0.2))$，$f(f(f(0.2