1.2 自动控制系统的数学模型

自动控制系统的数学模型中国石油大学（华东）2023.9目录CONTENTS一控制系统的时域数学模型（微分方程）控制系统的复数域数学模型（传递函数）控制系统的结构图和信号流图（图形描述）二三231.引言数学模型的概念

-描述系统内部变量间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。数学模型的研究意义

-能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算。

-许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。

数学模型的种类-静态模型：静态条件下各变量之间的关系；

-动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程。41.引言数学模型的建立方法

-分析法（白箱模型）对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等。

-实验法（黑箱模型）人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识。51.引言数学模型的建立方法-综合法（灰箱法）实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化。61.引言数学模型的形式

-时域(t):微分方程

-复数域(s)：传递函数

-频域(w)：频率特性三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换72.

控制系统的时域数学模型微分方程的建立例1.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)依据电学中的基尔霍夫定律消去中间变量i(t)整理成规范形式82.

控制系统的时域数学模型

kF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧m

整理成规范形式92.

控制系统的时域数学模型微分方程的建立-这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统。-这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。（相似系统）102.

控制系统的时域数学模型微分方程的建立

-微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。列写微分方程的基本步骤：（1）确定系统的输入量和输出量；（2）依据元件工作中所遵循的物理/化学规律，列出相应微分方程；（3）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式（输入量在右，输出量在左，降幂排列）。112.

控制系统的时域数学模型控制系统微分方程的建立步骤（1）确定系统的输入量和输出量（2）画出系统方框图（3）将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。（4）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。122.

控制系统的时域数学模型控制系统微分方程的建立例：速度控制系统的微分方程K1功放K2SM减速负载测速机uiufwwmuaR1R1R1R2R2C-+-++-

132.

控制系统的时域数学模型控制系统微分方程的建立例：速度控制系统的微分方程（2）画出系统方框图1级运放2级运放功放电机减速箱测速箱

ufueu1u2ua

142.

控制系统的时域数学模型（a）第1级运放（b）第2级运放（RC比例微分放大电路）（c）功率放大器（d）直流电动机（e）减速箱（f）测速机（3）列出各环节微分方程152.

控制系统的时域数学模型（4）消去中间变量，整理得：其中，162.

控制系统的时域数学模型线性系统的性质

-如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。-具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。172.

控制系统的时域数学模型线性系统的性质

-设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)，对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t)叠加性如果r(t)=r1(t)+r2(t)时，c(t)=c1(t)+c2(t)齐次性如果r(t)=a·r1(t)时，c(t)=a·c1(t)，其中a为任意实常数。182.

控制系统的时域数学模型线性系统的性质

-对线性系统可以应用叠加性和齐次性，对研究带来了极大方便。

-叠加性：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对几个外作用单独求响应，然后加起来即总响应。-齐次性：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。192.

控制系统的时域数学模型非线性系统的线性化

-实际物理系统都是非线性的-常见的非线性202.

控制系统的时域数学模型非线性系统的线性化

-线性化方法

非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简化，有很大的实际意义。方法一：忽略弱非线性环节

如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略。212.

控制系统的时域数学模型非线性系统的线性化

-线性化方法方法二：偏微法(小偏差法，切线法，增量线性化法)假设控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域是线性的，符合许多控制系统实际工作情况。222.

控制系统的时域数学模型

忽略二次以上的各项，上式可以写成这就是非线性元件的线性化数学模型232.

控制系统的时域数学模型非线性系统的线性化

-线性化方法方法三：平均斜率法一个非线性元件输入输出关系如图所示，此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为(死区)电机242.

控制系统的时域数学模型非线性系统的线性化

-注意：以上方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。控制系统的复数域数学模型263.

控制系统的复数域数学模型时域数学模型：微分方程

-优点：直观，易于分析系统响应

-缺点：结构改变或者参数变化时，必须重新列写微分方程，不便于系统分析和设计复数域数学模型：传递函数

-经典控制理论中最基本最重要的概念补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换）273.

控制系统的复数域数学模型

拉氏变换的定义

-设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。

-记法

-

f(t)称为F(s)的拉氏反变换，记为f(t)F(s)f(t)F(s)d(t)1sinwt1(t)1/scoswtt(t)1/s2e-atsinwte-at1/(s+a)e-at

coswt常用函数的拉氏变换283.

控制系统的复数域数学模型拉式变换的基本性质（1）线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。（2）微分性质

293.

控制系统的复数域数学模型拉式变换的基本性质（2）微分性质

证明：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可得到原函数n阶导数的拉氏变换303.

控制系统的复数域数学模型

313.

控制系统的复数域数学模型传递函数的定义

-零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为

323.

控制系统的复数域数学模型传递函数的定义

-零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为注:

(3)零极点描述：，

333.

控制系统的复数域数学模型传递函数的定义

对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：343.

控制系统的复数域数学模型

353.

控制系统的复数域数学模型

传递函数的性质传递函数与线性定常微分方程一一对应。传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关）只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性。只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。控制系统的结构图和信号流图374.

控制系统的结构图和信号流图

结构图的概念和基本组成

-概念：将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。

-基本组成：方框有输入信号、输出信号、传递线方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。G(s)X(s)Y(s)384.

控制系统的结构图和信号流图

结构图的概念和基本组成

-三种基本形式：

G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串联并联反馈394.

控制系统的结构图和信号流图

信号流图的组成-信号流图也是控制系统的一种表示法

-信号流图的简化可以直接采用梅森增益公式abGGab方框图表示信号流图表示a,b为节点，G为增益，表示关系404.

控制系统的结构图和信号流图

信号