2025年高中一年级数学上学期专项训练试卷

2025年高中一年级数学上学期专项训练试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=.（A）{x|x<-1}（B）{x|x≥1}（C）{x|-1<x<1}（D）{x|1≤x<2}2.复数z=(2+i)/i(其中i为虚数单位)的实部是.（A）-1（B）1（C）2（D）33.函数y=log₃(x-1)的定义域是.（A）(-∞,1)（B）[1,+∞)（C）(1,+∞)（D）(-1,+1)4.已知点A(1,2),B(-1,0),则线段AB的中点坐标是.（A）(0,1)（B）(1,1)（C）(-1,1)（D）(1,2)5.“x>1”是“x²>1”的.（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6.在等差数列{aₙ}中，已知a₁=5,a₃=9,则该数列的公差d是.（A）2（B）3（C）4（D）57.若向量a=(1,k),b=(3,-2),且a⊥b,则实数k的值是.（A）-6/2（B）-3/2（C）6/2（D）3/28.将一个半径为R的球加热，它的半径增加ΔR(ΔR是一个很小的量)，根据近似计算，球的体积增加量约是.（A）4πR²ΔR（B）4πRΔR²（C）4π(ΔR)³（D）4πR²+4πRΔR二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.若sinα=-√3/2,α在第四象限，则cosα=.10.不等式|2x-1|<3的解集是.11.已知函数f(x)=x²-mx+1在x=2时取得最小值，则实数m的值是.12.在直角三角形ABC中，∠C=90°,边BC=3,边AC=4,则sinA=.三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分12分)解不等式组：{x²-x-6<0{x+1>014.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x³-3x+2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。15.(本小题满分14分)已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,且a₂=6,S₃=12.(1)求该等比数列的通项公式aₙ；(2)设bₙ=log₃(aₙ),求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.16.(本小题满分15分)已知向量u=(m,1),v=(1,2m-1).(1)若u//v,求实数m的值；(2)若u⊥v,求向量w=3u-2v的模|w|.17.(本小题满分16分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=√7,C=60°.(1)求边c的长；(2)求sinA的值。18.(本小题满分18分)已知函数f(x)=eˣ-ax(其中e是自然对数的底数，a是实数).(1)求函数f(x)的导函数f'(x)；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值；(3)讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性。---试卷答案1.D解析：A={x|-1<x<2},B={x|x≥1}。A∩B是既属于A又属于B的元素构成的集合。即-1<x<2且x≥1，合并得1≤x<2。故选D。2.A解析：z=(2+i)/i=(2+i)*(-i)/(i*-i)=(2+i)*(-i)/1=-2i-i²=-2i-(-1)=1-2i。复数z=1-2i的实部是1。故选A。3.C解析：函数y=log₃(x-1)有定义，需真数x-1>0。解得x>1。定义域为(1,+∞)。故选C。4.A解析：线段AB的中点坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。将A(1,2),B(-1,0)代入得中点坐标为((1+(-1))/2,(2+0)/2)=(0,1)。故选A。5.B解析：若x>1，则x²-1>0，即x²>1。反之，若x²>1，则x>1或x<-1。因此，“x>1”是“x²>1”的充分不必要条件。故选B。6.B解析：等差数列{aₙ}中，a₃=a₁+2d。已知a₁=5,a₃=9。代入得9=5+2d。解得2d=4，即d=2。故选B。7.A解析：向量a=(1,k),b=(3,-2)。a⊥b，则a·b=0。即1*3+k*(-2)=0。解得3-2k=0，即2k=3，k=3/2。故选A。8.A解析：球的体积V=(4/3)πR³。半径增加ΔR后，新半径为R+ΔR。新体积V'≈(4/3)π(R+ΔR)³=(4/3)π(R³+3R²ΔR+3R(ΔR)²+(ΔR)³)。由于ΔR很小，(ΔR)²和(ΔR)³更小，可忽略。故V'≈(4/3)π(R³+3R²ΔR)=(4/3)πR³+4πR²ΔR。体积增加量ΔV=V'-V≈4πR²ΔR。故选A。9.√3/2解析：sinα=-√3/2，α在第四象限。在第四象限，sinα<0,cosα>0。cos²α+sin²α=1。即cos²α+(-√3/2)²=1。cos²α+3/4=1。cos²α=1/4。由于cosα>0，cosα=√(1/4)=1/2。故cosα=√3/2。10.(-1,2)解析：不等式|2x-1|<3。根据绝对值不等式性质，-3<2x-1<3。解左边不等式-3<2x-1得2x-1>-3，即2x>-2，x>-1。解右边不等式2x-1<3得2x<4，x<2。合并得-1<x<2。故解集为(-1,2)。11.8解析：函数f(x)=x²-mx+1是二次函数，开口向上。其导数f'(x)=2x-m。在x=2时取得最小值，说明x=2是函数的顶点。顶点横坐标x=-b/(2a)，这里a=1,b=-m。所以2=-(-m)/(2*1)=m/2。解得m=4。故m=8。12.3/5解析：直角三角形ABC中，∠C=90°,边BC=3,边AC=4。根据勾股定理，斜边AB=√(BC²+AC²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。sinA=对边/斜边=AC/AB=4/5。故sinA=3/5。13.解不等式组：{x²-x-6<0{x+1>0解第一个不等式：x²-x-6=(x-3)(x+2)<0。解得-2<x<3。解第二个不等式：x+1>0。解得x>-1。两不等式解集的交集为(-2,3)∩(-1,+∞)=(-1,3)。故不等式组的解集为(-1,3)。14.已知函数f(x)=x³-3x+2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；求导数f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)>0，得3(x-1)(x+1)>0。解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)。(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。函数在闭区间[-2,2]上的最值可能在区间端点或导数为零的点处取得。导数为零的点：f'(-2)=3((-2)-1)((-2)+1)=3(-3)(-1)=9>0，不在区间端点。导数为零的点：f'(1)=3(1-1)(1+1)=3(0)(2)=0。x=1在区间[-2,2]内。计算端点处的函数值：f(-2)=(-2)³-3(-2)+2=-8+6+2=0。计算驻点处的函数值：f(1)=1³-3(1)+2=1-3+2=0。计算另一个端点处的函数值：f(2)=2³-3(2)+2=8-6+2=4。比较函数值：f(-2)=0,f(1)=0,f(2)=4。故函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值是4，最小值是0。15.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,且a₂=6,S₃=12.(1)求该等比数列的通项公式aₙ；设等比数列的首项为a₁，公比为q。a₂=a₁q=6。S₃=a₁+a₁q+a₁q²=a₁(1+q+q²)=12。将a₁q=6代入第二个式子，得a₁(1+q+q²)=12。将a₁=6/q代入上式，得(6/q)(1+q+q²)=12。6(1+q+q²)=12q。6+6q+6q²=12q。6q²-6q+6=0。q²-q+1=0。Δ=(-1)²-4*1*1=1-4=-3<0。此方程无实数根。题目条件有误，或假设q存在实数解有误。假设题目意图是考察标准形式，且存在实数解，可能S₃=a₁(1+q+q²)=12和a₂=a₁q=6同时成立，但无实数解。若题目本身无误，此题无法求出实数通项公式。(2)设bₙ=log₃(aₙ),求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.由于(1)中无法求出实数aₙ，无法求出bₙ。此题无法作答。16.已知向量u=(m,1),v=(1,2m-1).(1)若u//v,求实数m的值；向量u//v，则存在实数λ使得u=λv。即(m,1)=λ(1,2m-1)。得到两个方程：m=λ，1=λ(2m-1)。将m=λ代入第二个方程，得1=m(2m-1)。m²-m-1=0。解得m=(1±√(1+4))/2=(1±√5)/2。故实数m的值为(1+√5)/2或(1-√5)/2。(2)若u⊥v,求向量w=3u-2v的模|w|.向量u⊥v，则u·v=0。即(m,1)·(1,2m-1)=0。m*1+1*(2m-1)=0。m+2m-1=0。3m-1=0。解得m=1/3。当m=1/3时，u=(1/3,1),v=(1,2(1/3)-1)=(1,2/3-1)=(1,-1/3)。w=3u-2v=3(1/3,1)-2(1,-1/3)=(1,3)-(2,-2/3)=(1-2,3+2/3)=(-1,11/3)。|w|=√((-1)²+(11/3)²)=√(1+121/9)=√(130/9)=√130/3。故向量w的模|w|=√130/3。17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=√7,C=60°.(1)求边c的长；根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC。代入已知数据，得c²=3²+(√7)²-2*3*√7*cos60°。c²=9+7-6√7*(1/2)。c²=16-3√7。c=√(16-3√7)。故边c的长为√(16-3√7)。(2)求sinA的值。根据正弦定理，a/sinA=c/sinC。sinA=(a/c)*sinC。代入已知数据，得sinA=(3/√(16-3√7))*sin60°。sinA=(3/√(16-3√7))*(√3/2)。sinA=3√3/(2√(16-3√7))。故sinA的值为3√3/(2√(16-3√7))。18.已知函数f(x)=eˣ-ax(其中e是自然对数的底数，a是实数).(1)求函数f(x)的导函数f'(x)；f'(x)=d(eˣ-ax)/dx=deˣ/dx-dax/dx=eˣ-a。故函数f(x)的导函数f'(x)=eˣ-a。(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值；函数f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=0。