甘肃省兰州市红古区2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题（含解析）

甘肃省兰州市红古区2025-2026学年九年级上学期10月期中数姓名：_班级：考号：一、单选题1.一元二次方程x²+2x-5=0的一次项系数是()A.1B.22.下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是()A.邻边相等B.对角相等C.对角线互相垂直D.对角线相等3.将一元二次方程x²-6x-9=0化成(x+a)²=b(a,b为常数)的形式，则a,b的值分别是A.-3,-18B.3,18C.3,-181一81一85.如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A,C对应的刻度(单位：cm)分别为1A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm6.若m,n是一元二次方程x²+3x-9=0的两个根，则m²+4m+n的值是()A.6B.127.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2,则∠BPC=()A.125°B.130°C.135°D.145°8.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映.上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x,则可列方程为()D.8.98+8.98(1+x)+8.98(1+x)²9.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图),各边的中点分别是E、F、G、H,用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm,则对角线AC的长度为()A.20cmB.15cmC.10cm10.关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：ax²+bx+c=0与bx²+ax+c=0称为“交换二次方程”.如x²+2x+5=0与2x²+x+5=0就程”.现有关于x的一元二次方程：(m-2)x²-4x+1=0与(n+6)x²+3x+1=0是“交换二次方程”.那么代数式mx²+nx+2031能取到的最小值是()A.2036B.2030C.2032试卷第2页，共10页11.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形∠A=60°.将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是()B.(0,-√3)c.(0,2√3)D.(0,-2√3二、填空题12.当m=时，关于x的方程(m-3)x"²-7-x=5是一元二次方程.13.在ABCD中，给出下列条件：①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AB⊥BC.中能使ABCD成为菱形的是_14.定义运算：m※n=mn²-mn-2.例如：4※1=4×1²-4×1-2=-2.则方程2※x=1的根的情况为15.如图，ABCD和DEFG是两个不等的正方形，连接BG交DE于H,如果BHE面积为10,则△DHF面积为·三、解答题17.如图，在正方形ABCD中，G是边BC上一点，连接AG,过点D作DE⊥AG于点E,过点B作BF//DE,且交AG于点F.求证：AE(1)作点A关于BD的对称点C;(要求：尺规作图，不写作法.保留作图痕迹)(2)在(1))条件下，连接BC,CD,AC,AC与BD交于点0,若AB=13,BD=10,求点B到AD的距离.试卷第4页，共10页19.落日熔金，沙海与碧波相映成辉，千年壁画随歌声苏醒.8月29日，由抖音主办，甘幕.如图，现准备利用活动场地一面墙MN(MN最长可用25m),用总长为40m的丝带(靠墙一面不用丝带)围成一个矩形ABCD观众区.当AB长度为多少时，矩形观众区的面积为20.如图，在ABCD中，点E在AD边上，BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，是矩形.21.阅读理解材料：已知实数m,n满足m²-m-1=0,n²-n-1=0,且m≠n,求的解：由题意知m,n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=1,mn=-1,解决以下问题：(2)已知实数m,n的两个实数根为x₁,x₂,则x₁+x₂._,x₁x₂=.满足m²-3m+1=0,n²-3n+1=0,且m≠n,求的值.22.为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告试卷第6页，共10页××学校九年级部分学生品种被抽查学生人数条形统计图被抽查学生人数扇形统计图数据分析及运用(1)本次被抽样调查的学生总人数为,扇形统计图中，m=;(2)请补全条形统计图；(3)甲、乙两位同学根据调查的数据发现，A,C,E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率23.已知关于x的一元二次方程x²-(m-1)x+3m-12=0.24.平凉米香醋历史悠久，相传可追溯至远古的黄帝问道广成子时期.某超市销售一批精装平凉米香醋，平均每天能售出20瓶，每瓶盈利15元.为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每瓶醋每降价1元时，平均每天可多售出4瓶.超市要想使这批米香醋的销售利润平均每天达到396元，每瓶醋应降价多少元?张长8cm,宽6cm的矩形纸片ABCD上作出一个菱形.①小明的方案，如图11.连接BD;2.作BD的垂直平分线，交AD,BC,BD于点3.连接BE,DF;②小彤的方案，如图22.顺次连接E,F,G,H;3.四边形EFGH即为所作的菱形.试卷第8页，共10页4.四边形BFDE即为所作的菱形.图2图1【解答问题】26.综合与探究定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”,如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边试卷第10页，共10页A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形(2)如图1,四边形ABCD是“中方四边形”,观察图形，写出关于四边形ABCD的结论：①②(3)如图2,以锐角VABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接BE,EG,GC,EC,BG,问EC,BG有什么位置关系和数量关系?直接写出结果.(4)如图3,已知四边形ABCD是“中方四边形”,M,N分别是AB,CD的中点.试探索BD与MN的数量关系，并说明理由.123456789BBDCCACBADD【分析】本题考查一元二次方程定义.根据题意利用一元二次方程一般形式即可得到本题答案.【详解】一元二次方程x²+2x-5=0的一次项系数是2.判断，即可求解.【详解】解：A.邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形本选项不符合题意.B.对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意.C.对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直(仅正方形垂直),本D.对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等(仅正方形相等),本选项不符合题意.故选B.可得出答案.【详解】解：∵x²-6x-9=0,答案第1页，共17页【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可.【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次，故选C.【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键.先求出AC的长度，根据矩形的性质即可求解.故选：C.【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握根与系数的关系是解题的关键.把x=m代入x²+3x-9=0可得到m²+3m=9,再由根与系数的关系可得到m+n=-3,转化m²+4m+n为m²+3m+(m+n),再分别代入m²+3m=9和m+n=-3运算即可.【详解】已知m,n是一元二次方程x²+3x-9=0的两个根，则m²+3m=9.由根与系数的关系，得m+n=-3,【分析】由正方形的性质可得∠ACB=∠BAC=45°,可得∠1+∠BCP=45°,由∠1=∠2得到∠2+∠BCP=45°,由三角形内角和定理可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，答案第2页，共17页答案第3页，共17页键.出等量关系式.根据题意可得出第二周的票房为8.98(1+x),第三周的票房为8.98(1+x)²,将第三周的票房收入代入即可得出答案.【详解】增长率为x,则第二周的票房为8.98(1+x),第三周的票房为8.98(1+x)²,所以可列方程为8.98(1+x)²=12.93.【分析】根据等腰梯形的性质及三角形中位线的性质可推出四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质可求得其边长，再根据三角形中位线的性质即可求得梯形对角线AC的长度.【详解】解：连接BD,答案第4页，共17页∵四边形EFGH场地的周长为40cm,故选：A.【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质及菱形的判定，证明四边形EFGH为菱形是解题的关键.【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“交换二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可.【详解】因为(m-2)x²-4x+1=0与(n+6)x²+3x+1=0是当且仅当x-1=0,即x=1时，5x²-10x+2031取得最小值2026,即代数式mx²+nx+2031能取到的最小值是2026.【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键.由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得然后由勾股定理可得到OA的长，即可求解.【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，答案第5页，共17页【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程ax²+bx+c=0中，①方程最高次数为二次；②二次项系数a≠0.【详解】解：由题意可得：m²-7=2,且m-3≠0,解得：m=-3.答案第6页，共17页题关键.【分析】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b²熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元有实数根.根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可.∴方程2※x=1的根的情况为有两个不相等的实数根题的关键；连接BD,AE,AH,由正方形的性质得SBHE=SAHE,SDHF=SDHG;而SADE=SBDG,且SBDH=SADH,则可得S△DHF=SBHE=10,从而问题求解.【详解】解：如图，连接BD,AE,AH,FF答案第7页，共17页(2)图见解析，点B到AD的距离是【分析】本题主要考查了轴对称与尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，证得四边形ABCD是菱形成为解题关键.(1)先运用尺规作出线段BD的垂直平分线，然后再作出OC=OA即可确定点C;(2)先根据题意作图，再由轴对称的性质、等角对等边可证明四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD、、AD=13.运用勾股定理可得OA=12,如图：过B于E,然后运用等面积法列方程求解即可.【详解】(1)解：如图：点C即为所求.(2)解：∵∠ABD=∠ADB,AD=AB=13.在RtAOB中，由勾股定理得：OA=√BA²-OB²=12,答案第8页，共17页如图：过B点作BE⊥AD于E,19.当AB长度为15m时，矩形观众区的面积为150m²【分析】本题考查一元二次方程的应用.本题可先设出AB的长度，再根据矩形周长和面积公式列出方程，最后求解方程并结合墙长的限制条件确定AB的长度.【详解】解：设AB=x米，则BC=(40-2x)米，根据题意得：x(40-2x)=150,解得：x₁=5,x₂=15,当x=5时，40-2x=40-2×5=30>25,不符合题意，舍去；当x=15时，40-2x=40-2×15=10<25,符合题意.答：当AB长度为15m时，矩形观众区的面积为150m².的关键.先证明四边形BECF是平行四边形，再结合角平分线的定义可得到∠BEC=90°,即可求证.【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形BECF是平行四边形.答案第9页，共17页答案第10页，共17页∴四边形BECF是矩形.(1)直接利用根与系数的关系求解即可；(2)m,n可看作方程x²-3x+1=0的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到m+n=3,mn=1,再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值.【详解】(1)解：∵方程x²-4x-3=0的两个实数根为x₁,x₂,故答案为：4,-3;(2)解：∵m²-3m+1=0,n²-3n+1=0,且m≠n,∴m,n可看作方程x²-3x+1=0的两个不相等22.(1)120,30;(2)见解析；(3)或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键.(2)根据频数之和等于样本容量，确定C组的人数，完善统计图即可；答案第11页，共17页(3)画树状图，求解即可.【详解】解：(1)根据题意，得18÷15%=120(人),故m=30.故答案为：120,30.(2)喜欢豆沙月饼的人数为：120-36-12-18-30=24(人),(3)根据题意，画树状图如下：一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果，方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键.(1)根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解；(2)根据题意，当矩形ABCD是正方形时，AB=BC,即方程有两个相等的根，所以(m-7)²=0,即可求解m=7,再代入方程求解【详解】(1)证明：关于x的一元二次方程x²-(m-1)x+3m-12=0,答案第12页，共17页(2)解：矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根，解得，m=7,当m=7时，一元二次方程为：x²-6x+9=0,故答案为：7,3;24.每瓶醋应降价6元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元，根据题意，列出方程，即可求解.【详解】解：设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元，根据题意得：(15-x)(20+4x)解得：x=4,x₂=6,因要尽快减少库存，故x=6,经检验，符合题意.答：每瓶醋应降价6元.(2)方案①,见解析【分析】(1)根据四边相等的四边形是菱形，结合三角形中位线定理，判定两种方案都是正(2)根据四边相等的四边形是菱形，进行证明即可；(3)利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和平行四边形的面积计算，比较大小即可.答案第13页，共17页特殊四边形的判定和性质定理是解题的关键.【详解】(1)解：根据作图，四条边相等的四边形是菱形，可以判定，两种方案都是中正确(2)解：方案1:四边形BE