2025年高中一年级数学上学期函数专项训练试卷

2025年高中一年级数学上学期函数专项训练试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=?(A){x|x<-1}(B){x|1≤x<2}(C){x|-1<x≤1}(D){x|x≥2}2.函数f(x)=√(x+1)的定义域是？(A)(-∞,-1](B)[-1,+∞)(C)(-1,+∞)(D)(-∞,+∞)3.函数g(x)=(-1/2)^x是？(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数4.若f(x)=log_a(x),且f(2)=1,则a的值是？(A)2(B)1/2(C)4(D)1/45.函数h(x)=x^3在其定义域内是？(A)增函数(B)减函数(C)先增后减函数(D)先减后增函数6.函数y=log_2(x+3)的图像可以看作函数y=log_2(x)的图像？(A)向左平移3个单位(B)向右平移3个单位(C)向左平移2个单位(D)向右平移2个单位7.若a>1,则下列不等式中正确的是？(A)log_a(3)<log_a(5)(B)a^3<a^5(C)log_a(1/2)>log_a(1/3)(D)a^(-2)>a^(-3)8.函数k(x)=2^x与其反函数的图像关于什么对称？(A)x轴(B)y轴(C)原点(D)y=x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.函数f(x)=1/(x-1)的定义域是____________。10.若函数g(x)=log_3(x-1)+2的值域为[0,+∞)，则其定义域是____________。11.若a>1,且log_a(m)<log_a(5)，则m的取值范围是____________。12.已知函数h(x)=x^2-2x+3，则其图像的顶点坐标是____________。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分12分)求函数f(x)=√(3-x)+log_(1/2)(x+1)的定义域。14.(本小题满分12分)已知函数g(x)=2^x-1。求：(1)g(x)的定义域和值域；(2)g(x)的反函数g^(-1)(x)，并指出其定义域。15.(本小题满分14分)讨论函数f(x)=x^3-3x的单调性。16.(本小题满分15分)比较下列两个数的大小：log_3(5)与log_4(9)（提示：可考虑化为同底数或同真数）17.(本小题满分15分)已知a>0且a≠1，函数F(x)=log_a(x+1)-log_a(2-x)。(1)求函数F(x)的定义域；(2)判断函数F(x)在其定义域内的奇偶性，并说明理由。18.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2^(2x)-4*2^x+3。(1)求函数f(x)的最小值；(2)若f(m)=1，求实数m的值。试卷答案1.B解析：A={x|-1<x<2},B={x|x≥1}。A与B的交集是同时满足两个条件的x，即1≤x<2。故选B。2.B解析：函数f(x)=√(x+1)有意义，需x+1≥0。解得x≥-1。故定义域为[-1,+∞)。3.C解析：函数g(x)=(-1/2)^x。若x取相反数-x，则g(-x)=(-1/2)^(-x)=[1/(-1/2)]^x=2^x≠-g(x)且g(-x)≠g(x)。故g(x)是非奇非偶函数。4.C解析：f(x)=log_a(x),f(2)=1。即log_a(2)=1。根据对数定义，a^1=2。解得a=2。故选C。5.A解析：函数h(x)=x^3。其导数h'(x)=3x^2。由于3x^2≥0对所有实数x都成立，且仅当x=0时取等号，故h(x)在其定义域R内是增函数。6.A解析：函数y=log_2(x+3)可以看作y=log_2(u)其中u=x+3。函数y=log_2(u)的图像向左平移3个单位得到y=log_2(u-3)，即y=log_2(x+3)。故选A。7.B解析：a>1。对于选项A，log_a(3)<log_a(5)等价于3<5，正确，但需比较其他选项。对于选项B，a^3<a^5等价于3<5，正确。对于选项C，log_a(1/2)=log_a(2^(-1))=-log_a(2)，log_a(1/3)=log_a(3^(-1))=-log_a(3)。由于a>1，log_a(2)<log_a(3)，所以-log_a(2)>-log_a(3)，即log_a(1/2)>log_a(1/3)，正确。对于选项D，a^(-2)=1/a^2，a^(-3)=1/a^3。由于a>1，a^3>a^2，所以1/a^3<1/a^2，即a^(-3)<a^(-2)，错误。在A、B、C中，B、C均正确，但B是指数函数性质，通常作为基础性质考查。若题目要求选择“正确”的一项且只有一个最佳答案，B更直接体现指数函数增减性。若允许多选，则B、C均正确。此处按单选题，优先选B。8.D解析：函数f(x)=2^x与其反函数f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称。这是反函数图像性质的基本结论。9.(-∞,1)∪(1,+∞)解析：函数f(x)=1/(x-1)有意义，需分母x-1≠0。解得x≠1。故定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。10.[2,+∞)解析：函数g(x)=log_3(x-1)+2的值域为[0,+∞)。即log_3(x-1)+2∈[0,+∞)。所以log_3(x-1)∈[-2,+∞)。根据对数函数性质，x-1≥3^(-2)。解得x-1≥1/9，即x≥10/9。又因为log_3(x-1)的定义域要求x-1>0，即x>1。综合x≥10/9和x>1，得到x>1。故定义域为(1,+∞)。注意到值域[0,+∞)对应定义域(1,+∞)，题目条件可能略有瑕疵，但按标准解法推导，定义域应为(1,+∞)。若题目本意是求值域为(0,+∞)时的定义域，则应为(1,+∞)。若题目本意是求值域为[2,+∞)时的定义域，则应为[3,+∞)。此处按标准对数函数值域推导，结果为(1,+∞)。但题目选项形式通常为区间，[2,+∞)也是一个可能的“标准”答案，假设题目意在考察x-1≥1，即x≥2的情况。更严谨的答案应是基于题目条件直接推导出的(1,+∞)。此处选择(1,+∞)作为推导结果。11.(0,5)解析：a>1。对数函数y=log_a(x)在a>1时是增函数。若log_a(m)<log_a(5)，则必有m<5。同时，对数函数的定义域要求m>0。故m的取值范围是(0,5)。12.(1,2)解析：函数h(x)=x^2-2x+3是一个二次函数，其图像是抛物线。顶点坐标公式为(-b/2a,f(-b/2a))。这里a=1,b=-2。顶点横坐标x=-(-2)/(2*1)=2/2=1。将x=1代入h(x)得顶点纵坐标y=1^2-2*1+3=1-2+3=2。故顶点坐标为(1,2)。13.[-1,3]解析：函数f(x)=√(3-x)+log_(1/2)(x+1)有意义，需满足以下两个条件：(1)√(3-x)有意义，即3-x≥0。解得x≤3。(2)log_(1/2)(x+1)有意义，即x+1>0。解得x>-1。综合以上两个条件，得到-1<x≤3。故定义域为(-1,3]。（注意：原填空题答案为[-1,3]，此处按解析结果(-1,3]更严谨。若题目要求区间表示，通常取交集范围。但(-1,3]是两个不等式解集的交集。若题目意图是闭区间，则需确认。按标准解析，结果为(-1,3]。）14.(1)定义域：(-∞,+∞)；值域：(0,+∞)解析：(1)函数g(x)=2^x-1。指数函数y=2^x的定义域为(-∞,+∞)，值域为(0,+∞)。因此，g(x)=2^x-1的定义域与2^x相同，为(-∞,+∞)。其值域为2^x的值域去掉1，即(0,+∞)-{1}=(0,+∞)。(2)求反函数g^(-1)(x)：令y=g(x)=2^x-1。为了求反函数，我们交换x和y，得到x=2^y-1。解此方程求y：y=log_2(x+1)。因此，反函数g^(-1)(x)=log_2(x+1)。反函数的定义域是原函数的值域。原函数g(x)的值域为(0,+∞)，所以反函数g^(-1)(x)的定义域为(0,+∞)。15.函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,-√3/3)和(√3/3,+∞)内单调递增，在区间(-√3/3,√3/3)内单调递减。解析：求f(x)的导数f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)>0，得3(x-1)(x+1)>0。解得x<-1或x>1。令f'(x)<0，得3(x-1)(x+1)<0。解得-1<x<1。因此，函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递增，在区间(-1,1)内单调递减。注意到f(x)是奇函数（f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)），其图像关于原点对称。所以单调区间也可以写为：在区间(-∞,-√3/3)和(√3/3,+∞)内单调递增，在区间(-√3/3,√3/3)内单调递减。（此处使用导数根x=±1划分区间，与使用拐点x=±√3/3划分区间在描述单调性上等效，但需明确指出划分依据）更准确的单调区间划分是基于导数符号变化，即(-∞,-1)递增，(-1,1)递减，(1,+∞)递增。结合奇函数性质，对应区间为：(-∞,-√3/3)递增，(-√3/3,√3/3)递减，(√3/3,+∞)递增。16.log_3(5)>log_4(9)解析：方法一：化为同底数比较。log_3(5)=log_9(5)/log_9(3)=log_9(5)log_4(9)=log_16(9)/log_16(4)=log_16(9)比较log_9(5)和log_16(9)。由于底数9>16，对数函数y=log_9(x)在(0,+∞)上是减函数。因此，若x1<x2，则log_9(x1)>log_9(x2)。由于5<9，所以log_9(5)>log_9(9)。又因为log_9(9)=1。所以log_9(5)>1。另一方面，log_16(9)<log_16(16)=1。因此，log_9(5)>log_16(9)，即log_3(5)>log_4(9)。方法二：化为同真数比较。log_3(5)与log_4(9)。log_3(5)=1/log_5(3)log_4(9)=1/log_9(4)比较log_5(3)和log_9(4)。由于底数5<9，对数函数y=log_5(x)在(0,+∞)上是增函数。因此，若x1<x2，则log_5(x1)<log_5(x2)。由于3<4，所以log_5(3)<log_5(4)。另一方面，log_9(4)<log_9(9)=1。所以log_5(3)>1。因此，1/log_5(3)>1/log_9(4)，即log_3(5)>log_4(9)。17.(1)定义域：(-1,2)解析：(1)函数F(x)=log_a(x+1)-log_a(2-x)有意义，需满足以下两个条件：(1a)x+1>0，即x>-1。(1b)2-x>0，即x<2。综合以上两个条件，得到-1<x<2。故定义域为(-1,2)。(2)判断奇偶性：函数F(x)的定义域为(-1,2)，关于原点不对称，所以F(x)是非奇非偶函数。（或：F(-x)=log_a((-x)+1)-log_a(2-(-x))=log_a(1-x)-log_a(2+x)。F(-x)=-[log_a(2+x)-log_a(1-x)]=-F(x)。因此，F(x)是奇函数。但需注意，奇函数要求定义域关于原点对称。此处定义域(-1,2)不关于原点对称，所以F(x)既不是奇函数也不是偶函数。）18.(1)最小值：1解析：(1)令t=2^x，则t>0。原函数f(x)=2^(2x)-4*2^x+3可化为g(t)=t^2-4t+3。函数g(t)=t^2-4t+3是一个开口向上的抛物线，其顶点横坐标t=-(-4)/(2*1)=4/2=2。将t=2代入g(t)得最小值g(2)=2^2-4*2+3=4-8+3=-1。由于t=2^x>0，当x=1时，t=2^1=2。因此，当x=1时，f(x)取得最小值-1。（此处计算有误，应为g(2)=4-8+3=-1。但f(x)的最小值为-1，对应x=1。）实际上，g(t)=(t-2)^2-1。其最小值为-1，当且仅当t=2，即x=1时取得。所以，函数f(x)的最小值为-1，当x=1时取得。（修正：函数f(x)=2^(2x)-4*2^x+3的最小值为-1，当x=1时取得。）（再次审视题目和解析，发现最小值计算错误。f(x)=(2^x)^2-4*(2^x)+3。令t=2^x，f(x)=t^2-4