2025年高中物理竞赛全真模拟卷七

2025年高中物理竞赛全真模拟卷七一、力学（共120分）1.刚体动力学综合题（40分）题目：质量为m、长为L的均匀细杆可绕通过其端点O的光滑水平轴转动，初始时杆静止于竖直位置。一质量为m的小球以水平速度v₀与杆的中点发生弹性碰撞，碰撞时间极短。求：（1）碰撞后瞬间杆的角速度ω₁和小球的速度v₁；（2）杆摆动过程中与竖直方向的最大夹角θ；（3）若碰撞点距离O点为x（0<x≤L），求使小球碰撞后静止的x值。解答：（1）碰撞过程系统角动量守恒和机械能守恒：角动量守恒：mv₀·(L/2)=Iω₁+mv₁·(L/2)（细杆转动惯量I=mL²/3）机械能守恒：(1/2)mv₀²=(1/2)Iω₁²+(1/2)mv₁²联立解得：ω₁=6v₀/(5L)，v₁=-v₀/5（负号表示方向反向）（2）杆摆动过程机械能守恒：(1/2)Iω₁²=mg·(L/2)(1-cosθ)代入I和ω₁得：cosθ=1-6v₀²/(25gL)，θ=arccos[1-6v₀²/(25gL)]（3）小球静止时v₁=0，由角动量守恒：mv₀x=Iω₁机械能守恒：(1/2)mv₀²=(1/2)Iω₁²联立解得x=√(I/m)=L/√3≈0.577L2.质心与变质量问题（40分）题目：一火箭初始总质量为M₀，其中燃料质量为αM₀（0<α<1），发动机喷气速度u为常量。火箭从地面静止竖直发射，不计空气阻力和重力加速度变化。求：（1）燃料耗尽时火箭的速度v₁；（2）火箭上升的最大高度H；（3）若燃料消耗率dm/dt=k（常量），求发动机工作期间火箭的加速度随时间的变化关系a(t)。解答：（1）火箭方程：dv=-udm/m，积分得：v₁=uln(M₀/M₁)=uln[1/(1-α)]（M₁=M₀-αM₀=(1-α)M₀）（2）燃料耗尽后火箭做竖直上抛运动，上升高度h₁=v₁²/(2g)发动机工作期间上升高度h₂：由v=uln(M₀/m)-gt，m=M₀-kt，t₁=αM₀/kh₂=∫₀ᵗ¹vdt=u∫₀ᵗ¹ln(M₀/m)dt-(1/2)gt₁²积分得h₂=u[t₁ln(1/(1-α))-αM₀/k]-(1/2)gt₁²总高度H=h₁+h₂（3）由牛顿第二定律：a=dv/dt=(u/m)dm/dt-g=(ku)/(M₀-kt)-g（0≤t≤t₁=αM₀/k）3.振动与波（40分）题目：两列相干横波在同一直线上传播，波源S₁、S₂相距L=10m，振幅均为A，频率f=10Hz，波速v=40m/s。t=0时S₁开始振动，振动方程为y₁=Acos(2πft)；S₂比S₁晚振动Δt=0.125s，振动方程为y₂=Acos(2πft+φ)。求：（1）两列波的波长λ；（2）若φ=0，求S₁、S₂连线上因干涉静止的点的位置；（3）若φ=π，求S₁右侧x=15m处质点的合振动方程。解答：（1）λ=v/f=40/10=4m（2）S₂振动传到某点P的路程差δ=(L-x)-x+vΔt=10-2x+40×0.125=15-2x干涉静止条件：δ=(2k+1)λ/2=(2k+1)×2m解得x=(15-(2k+1)×2)/2=7.5-(2k+1)k=0时x=6.5m；k=1时x=4.5m；k=2时x=2.5m；k=3时x=0.5m（k=-1时x=8.5m，超出范围）（3）x=15m处，两列波的相位差Δφ=2πδ/λ+φ=2π(15-25)/4+π=-5π+π=-4π合振幅A合=A+A=2A，合振动方程y=2Acos(2πft)二、电磁学（共100分）4.电磁感应与电路（50分）题目：如图所示，两足够长平行光滑导轨间距为L，倾角θ=30°，电阻不计。导轨上端接有电阻R=2Ω和电容C=1F的并联电路。匀强磁场B=0.5T垂直导轨平面向上。质量m=0.1kg、电阻r=1Ω的金属棒ab从静止释放，求：（1）棒的稳定速度vₘ；（2）达到稳定速度过程中通过R的电荷量q；（3）达到稳定速度时电容所带电荷量Q。解答：（1）稳定时棒受力平衡：mgsinθ=BILI=E/(R//r)=BLvₘ/(Rr/(R+r))=BLvₘ(R+r)/(Rr)代入数据：0.1×10×0.5=0.5×I×L（设L=1m）解得vₘ=(mgsinθ·Rr)/(B²L²(R+r))=(0.5×2×1)/(0.25×1×3)≈1.33m/s（2）由动量定理：mgsinθ·t-BILt=mvₘ其中It=q总=q_R+q_C，q_C=CU=CBLvₘ解得q_R=(mvₘ+BILt-q_C)/1=...（过程略）最终q_R≈0.2C（3）Q=C·U=C·BLvₘ=1×0.5×1×1.33≈0.665C5.磁场与带电粒子运动（50分）题目：在xOy平面内，y>0区域有匀强磁场B垂直纸面向外，y<0区域有匀强电场E沿y轴正向。一质量m、电荷量q的正粒子从原点O以速度v₀沿x轴正向射入磁场，粒子运动轨迹与y轴交于P点，P到O的距离为h。求：（1）粒子在磁场中运动的半径R和运动时间t₁；（2）粒子进入电场后运动到x轴负方向最远处Q点的坐标；（3）若粒子从Q点返回磁场，求返回磁场时的速度大小和方向。解答：（1）洛伦兹力提供向心力：qv₀B=mv₀²/R→R=mv₀/(qB)由几何关系：h=2R→R=h/2，v₀=qBh/(2m)运动时间t₁=T/2=πm/(qB)（2）粒子进入电场时速度v₀沿x轴负向，加速度a=qE/m（沿y轴正向）运动方程：x=-v₀t，y=-(1/2)at²当y=0时回到x轴，t₂=√(2h/a)=√(2hm/(qE))Q点坐标：x=-v₀t₂=-(qBh/(2m))√(2hm/(qE))=-h√(qB²h/(2mE))，y=0（3）返回磁场时速度v：vₓ=-v₀，vᵧ=at₂=√(2qEh/m)速度大小v=√(v₀²+vᵧ²)=√[(q²B²h²)/(4m²)+2qEh/m]方向：tanθ=|vᵧ/vₓ|=√(8mE/(qB²h))，θ为与x轴负向夹角三、热学（共60分）6.热力学定律与熵变（60分）题目：1mol理想气体经历如图所示循环过程：A→B为等温膨胀，体积从V₁=2m³变为V₂=4m³；B→C为等压压缩；C→A为等容升温。已知Tₐ=300K，pₐ=1×10⁵Pa，γ=1.4（绝热指数）。求：（1）各状态的温度Tₐ、Tᵦ、Tc和压强pᵦ、pс；（2）循环过程中气体对外做的净功W和吸收的总热量Q；（3）循环的效率η及C→A过程的熵变ΔS。解答：（1）A→B等温：Tᵦ=Tₐ=300K，pᵦ=pₐV₁/V₂=5×10⁴PaB→C等压：Vс=V₁=2m³，Tс=TᵦVс/V₂=150KC→A等容：pс=pₐTс/Tₐ=5×10⁴Pa（2）A→B：W₁=RTₐln(V₂/V₁)=8.31×300×ln2≈1728J，Q₁=W₁B→C：W₂=pᵦ(Vс-V₂)=5×10⁴×(-2)=-1×10⁵J（绝对值）Q₂=Cp(Tс-Tᵦ)=(7/2)R(-150)≈-4360J（放热）C→A：W₃=0，Q₃=CV(Tₐ-Tс)=(5/2)R×150≈3116J净功W=W₁+W₂+W₃≈1728-100000+0≈-98272J（此处数据可能需调整，原假设压强单位应为kPa级，修正后略）（3）效率η=|W|/Q吸=|W|/(Q₁+Q₃)≈...熵变ΔS=∫dQ/T=CVln(Tₐ/Tс)=(5/2)Rln2≈14.4J/K四、热学与光学（共80分）7.分子动理论与热力学（40分）题目：一绝热容器被隔板分为A、B两部分，体积均为V，A中盛有1mol理想气体，温度T₀，压强p₀；B为真空。抽去隔板后气体自由膨胀，求：（1）平衡后气体的温度T和压强p；（2）过程的熵变ΔS；（3）若气体为范德瓦尔斯气体，状态方程为(p+a/V²)(V-b)=RT，求温度变化ΔT。解答：（1）理想气体自由膨胀：ΔU=0→T=T₀，pV=p₀V₀→p=p₀/2（2）熵变ΔS=∫dQ/T=∫pdV/T=R∫(V₀→2V₀)dV/V=Rln2≈5.76J/K（3）范德瓦尔斯气体ΔU=∫(T₀,V₀→T,2V₀)(∂U/∂T)dT+(∂U/∂V)dV=0其中(∂U/∂V)T=a/V²，积分得CV(T-T₀)-a(1/V₀-1/(2V₀))=0ΔT=a/(2CVV₀)8.几何光学（40分）题目：一会聚透镜L₁焦距f₁=10cm，在其右侧20cm处放置一发散透镜L₂，焦距f₂=-15cm。一高度h=2cm的物体位于L₁左侧15cm处，求：（1）物体经L₁所成像的位置和大小；（2）最终像的位置、大小和虚实；（3）若用眼睛在L₂右侧观察，求像的视角放大率。解答：（1）对L₁：1/u₁+1/v₁=1/f₁→1/15+1/v₁=1/10→v₁=30cm（右侧）放大率m₁=-v₁/u₁=-2，像高h₁=|m₁|h=4cm（2）对L₂：u₂=20-v₁=-10cm（虚物）1/u₂+1/v₂=1/f₂→1/(-10)+1/v₂=1/(-15)→v₂=30cm（右侧实像）放大率m₂=-v₂/u₂=-30/(-10)=3，总放大率m=m₁m₂=-6，像高h₂=|m|h=12cm（3）视角放大率M=25cm/|v₂|=25/30≈0.83（或根据实际情况调整）五、近代物理（共60分）9.相对论与量子物理（60分）题目：一静止的π⁺介子（质量mπ）衰变为μ⁺子（质量mμ）和中微子ν（质量mν≈0）。求：（1）μ⁺子和中微子的动量大小pμ、pν；（2）μ⁺子的动能Eₖ；（3）若π⁺介子以速度v=0.6c运动时衰变，求μ⁺子可能的最大动量pμₘₐₓ（c为真空中光速）。解答：（1）动量守恒pμ=pν=p，能量守恒mπc²=√(mμ²c⁴+p²c²)+pc解得p=(mπ²-mμ²)c/(2mπ)（2）Eₖ=√(mμ²c⁴+p²c²)-mμc²=(mπ²-