2025年高中一年级数学上学期函数专题试卷

2025年高中一年级数学上学期函数专题试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=?(A){x|-1<x<1}(B){x|1≤x<2}(C){x|x>-1}(D){x|x<2}2.函数f(x)=√(x-1)的定义域是？(A)(-∞,+∞)(B)[1,+∞)(C)(-1,1)(D)(-∞,1]3.若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-1，则当x<0时，f(x)等于？(A)x^2+1(B)-x^2-1(C)x^2-1(D)-x^2+14.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是？(A)-3(B)3(C)1(D)05.函数h(x)=2^x+1在实数范围内的单调性是？(A)单调递增(B)单调递减(C)非单调(D)无法确定6.函数u(x)=log_1/2(x+3)的定义域是？(A)(-∞,-3)(B)(-3,+∞)(C)[-3,+∞)(D)(-∞,-3]∪(-3,+∞)7.函数v(x)=x^3在区间(-1,1)上的单调性是？(A)单调递增(B)单调递减(C)非单调(D)无法确定8.若a>1,b>1,且log_ab+log_ba=2，则a+b的最小值是？(A)4(B)2√(ab)(C)4√(ab)(D)8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）9.函数y=√(3-|x|)的定义域是________。10.若函数f(x)=ax+b在x₁=1处取得函数值f(x₁)=3，且其图像过点(2,5)，则f(x)的解析式为________。11.函数g(x)=1/(x-2)的对称中心是________。12.若0<a<1,则比较log_a3和log_3a的大小关系：________。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+3|。(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性。14.(本小题满分14分)已知函数g(x)=log_2(x-1)+1。(1)求函数g(x)的定义域；(2)判断函数g(x)在其定义域内的单调性，并给出证明；(3)解不等式g(x)>2。15.(本小题满分14分)设函数h(x)=x^3-3x^2+2。(1)求函数h(x)的单调区间；(2)求函数h(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。16.(本小题满分15分)已知函数F(x)=2^x-ax+1在区间(0,+∞)上恒大于零。(1)求实数a的取值范围；(2)当a取上述范围内的某个值时，若方程F(x)=0在区间(1,2)内有解，求a的具体取值范围。17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=e^x-kx，其中e是自然对数的底数。(1)求函数f(x)的导函数f'(x)；(2)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=(e-1)x+1平行，求实数k的值；(3)讨论函数f(x)的单调性。18.(本小题满分14分)已知a>0且a≠1，b>0且b≠1。解关于x的方程log_a(x+b)+log_b(ax+ab)=2。试卷答案1.B解析：A={x|-1<x<2},B={x|x≥1}。A∩B表示同时属于A和B的元素，即-1<x<2且x≥1，所以A∩B={x|1≤x<2}。2.B解析：函数f(x)=√(x-1)有意义，则需x-1≥0，解得x≥1。所以定义域为[1,+∞)。3.D解析：f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)。当x<0时，-x>0，所以f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1。因此，f(x)=-f(-x)=-(x^2-1)=-x^2+1。4.B解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x对应的数与点1、-2对应的数的距离之和。点1和-2的距离为3。当x在-2和1之间（包括端点）时，g(x)达到最小值，即3。5.A解析：函数h(x)=2^x+1是由指数函数y=2^x和常数函数y=1相加而成。指数函数y=2^x在实数范围内单调递增，加上常数1不改变单调性。因此，h(x)在实数范围内单调递增。6.B解析：对于对数函数u(x)=log_1/2(x+3)，真数x+3需要大于0，即x+3>0。解得x>-3。所以定义域为(-3,+∞)。7.A解析：函数v(x)=x^3的导函数为v'(x)=3x^2。当x∈(-1,1)时，x^2>0，所以v'(x)=3x^2>0。导函数大于0表示函数在该区间内单调递增。因此，v(x)在区间(-1,1)上单调递增。8.A解析：由对数性质，log_ab+log_ba=log_ab+log_ab/log_ab=log_a(b*b/1)=log_ab^2=2。所以log_ab^2=2，即b^2=a^2，解得b=a（因为b>1，a>1）。所以a+b=a+a=2a。因为a>1，所以2a>2。要使a+b最小，需a最小。由于a>1，a的最小值趋近于1。当a趋近于1时，2a趋近于2，但a+b=2a，所以最小值为4（当a=1时，虽然a>1不满足，但极限值是4）。更准确地说，a+b的最小值为4，当a=b=2时取到，此时log_22+log_22=2。9.[-3,3]解析：函数y=√(3-|x|)有意义，则需3-|x|≥0。解得|x|≤3，即-3≤x≤3。所以定义域为[-3,3]。10.f(x)=2x+1解析：设f(x)=ax+b。由f(x₁)=3，得ax₁+b=3。由图像过点(2,5)，得2a+b=5。联立方程组：{ax₁+b=3{2a+b=5代入x₁=1，得a+b=3。将a+b=3代入2a+b=5，得a=2。再代入a+b=3，得b=1。所以f(x)=2x+1。11.(2,0)解析：函数g(x)=1/(x-2)是反比例函数y=k/x的变形（k=1），其图像是中心在(2,0)的双曲线。所以对称中心是(2,0)。12.log_a3<log_3a解析：因为0<a<1，所以对数函数y=log_ax是定义域(0,+∞)上的减函数。由于1<3，所以log_a3<log_a1=0。又因为0<a<1，所以对数函数y=log_3x是定义域(0,+∞)上的增函数。由于1<a，所以log_3a>log_31=0。因此，log_a3<0且log_3a>0，所以log_a3<log_3a。13.(1)定义域：(-∞,+∞)；值域：[4,+∞)解析：|x-1|和|x+3|都是非负数。当x∈(-∞,-3]时，g(x)=-(x-1)-(x+3)=-2x-2。当x∈(-3,1]时，g(x)=-(x-1)+(x+3)=4。当x∈(1,+∞)时，g(x)=(x-1)+(x+3)=2x+2。分段函数的最小值为4（在x=1或x=-3处取得）。由于各段函数值均大于等于4，且可以无限大，所以值域为[4,+∞)。定义域为所有实数，即(-∞,+∞)。(2)f(x)不是奇函数也不是偶函数。解析：f(-x)=|-x-1|+|-x+3|=|x+1|+|x-3|。当x>0时，f(-x)=(x+1)+(x-3)=2x-2。而f(x)=|x-1|+|x+3|=(x-1)+(x+3)=2x+2。显然f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)。当x<0时，f(-x)=|-x-1|+|-x+3|=|x+1|+|x-3|。而f(x)=|x-1|+|x+3|=|-x-1|+|-x+3|。此时f(-x)=f(x)。因此，f(x)不是奇函数也不是偶函数（它既不具有奇函数的对称性也不具有偶函数的对称性，只是在特定区间上对称）。14.(1)定义域：(-1,+∞)解析：函数g(x)=log_2(x-1)+1有意义，则需真数x-1>0。解得x>1。所以定义域为(-1,+∞)。(2)函数g(x)在其定义域内单调递增。证明：任取x₁,x₂∈(-1,+∞)，且x₁<x₂。则x₁-1>0且x₂-1>0。g(x₁)-g(x₂)=[log_2(x₁-1)+1]-[log_2(x₂-1)+1]=log_2(x₁-1)-log_2(x₂-1)=log_2((x₁-1)/(x₂-1))。因为x₁<x₂，所以0<x₁-1<x₂-1，因此(x₁-1)/(x₂-1)>0且(x₁-1)/(x₂-1)<1。由于对数函数y=log_2x在(0,+∞)上单调递增，所以log_2((x₁-1)/(x₂-1))<log_21=0。即g(x₁)-g(x₂)<0，所以g(x₁)<g(x₂)。因此，g(x)在(-1,+∞)上单调递增。(3)解不等式g(x)>2，即log_2(x-1)+1>2。移项得log_2(x-1)>1。由对数不等式性质，得x-1>2^1=2。解得x>3。所以不等式的解集为(3,+∞)。15.(1)单调增区间：(-∞,1)；单调减区间：(1,3)解析：求函数h(x)的单调区间，需先求导数h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令h'(x)=0，得x=0或x=2。将实数轴分为三段：(-∞,0)，(0,2)，(2,+∞)。在(-∞,0)上，h'(x)>0，函数单调递增。在(0,2)上，h'(x)<0，函数单调递减。在(2,+∞)上，h'(x)>0，函数单调递增。所以单调增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。(2)函数h(x)在区间[-1,3]上的最大值为2；最小值为-2。解析：函数在闭区间上的最值出现在端点或导数为零的点处。需计算h(x)在x=-1,x=0,x=2,x=3处的值。h(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。h(0)=0^3-3(0)^2+2=2。h(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2。h(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。比较这些函数值，最大值为2，最小值为-2。16.(1)a的取值范围：(-1,0]解析：F(x)=2^x-ax+1在(0,+∞)上恒大于零，即2^x-ax+1>0对x∈(0,+∞)恒成立。等价于ax<2^x+1对x∈(0,+∞)恒成立。当x>0时，由于2^x>0，1>0，所以2^x+1>1。若a≥0，则ax≥0，不等式恒成立。若a<0，则需ax<2^x+1对x∈(0,+∞)恒成立。即a<(2^x+1)/x对x∈(0,+∞)恒成立。令f(x)=(2^x+1)/x，研究其在(0,+∞)的最小值。求导f'(x)=[(2^x*ln2*x)-(2^x+1)]/x^2=[(2^x*(ln2*x-1-ln2))]/x^2。令f'(x)=0，得2^x*(ln2*x-1-ln2)=0。因为2^x>0，所以ln2*x-1-ln2=0，解得x=(1+ln2)/ln2。当x∈(0,(1+ln2)/ln2)时，ln2*x-1-ln2<0，f'(x)<0，f(x)单调递减。当x∈((1+ln2)/ln2,+∞)时，ln2*x-1-ln2>0，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以f(x)在x=(1+ln2)/ln2处取得最小值。最小值为f((1+ln2)/ln2)=[2^((1+ln2)/ln2)+1]/((1+ln2)/ln2)=[(e^(ln2+1))+1]/((1+ln2)/ln2)=[e*e^(ln2)+1]/((1+ln2)/ln2)=(e*2+1)/((1+ln2)/ln2)=(2e+1)*(ln2/(1+ln2))=(2e+1)/(eln2+2)。所以a<(2e+1)/(eln2+2)。因此，a的取值范围是(-1,(2e+1)/(eln2+2)]。结合a≥0的情况，最终a的取值范围是(-1,0]。(2)a的具体取值范围：(-1,-1/e]解析：方程F(x)=0在区间(1,2)内有解，即存在x₁∈(1,2)使得2^x₁-ax₁+1=0。即a=(2^x₁+1)/x₁。令x=x₁，则x∈(1,2)。由(1)部分知，a<(2e+1)/(eln2+2)。现在需a≥(2^x+1)/x对x∈(1,2)恒成立。令g(x)=(2^x+1)/x，研究其在(1,2)的最大值。g'(x)=[(2^x*ln2*x)-(2^x+1)]/x^2=[(2^x*(ln2*x-1-ln2))]/x^2。令g'(x)=0，得x=(1+ln2)/ln2。因为(1+ln2)/ln2≈1.4427，所以该驻点在区间(1,2)内。当x∈(1,(1+ln2)/ln2)时，g'(x)<0，g(x)单调递减。当x∈((1+ln2)/ln2,2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增。所以g(x)在x=(1+ln2)/ln2处取得最小值，在x=2处取得最大值。最小值为g((1+ln2)/ln2)=[(2^((1+ln2)/ln2))+1]/((1+ln2)/ln2)=(2e+1)/(eln2+2)。最大值为g(2)=(2^2+1)/2=5/2。因此，要使方程在(1,2)内有解，需a≥(2e+1)/(eln2+2)且a≤5/2。结合(1)部分的结论a<(2e+1)/(eln2+2)，可得a≤(2e+1)/(eln2+2)。所以a的具体取值范围是(-1,(2e+1)/(eln2+2)]∩(-∞,5/2]=(-1,(2e+1)/(eln2+2)]。因为(2e+1)/(eln2+2)≈1.2958<5/2，所以最终a的具体取值范围是(-1,(2e+1)/(eln2+2)]。根据(1)的结论a≤0，所以最终a的具体取值范围是(-1,0]。17.(1)f'(x)=e^x-k解析：根据导数定义，f'(x)=d/dx(e^x-kx)=d/dx(e^x)-d/dx(kx)=e^x-k。(2)k=e-1解析：函数f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)。切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1)。已知切线与直线y=(e-1)x+1平行，所以斜率相等，即f'(1)=e-1。由(