2026年菁优高考数学压轴训练1

2026年菁优高考数学压轴训练1一.选择题(共10小题)抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证②对任意的a,b,cEG,有(a·b)·C=a·(bc);A.G={0,1,2}关于数的乘法构成群B.自然数集N关于数的加法构成群C.实数集R关于数的乘法构成群D.G={a+√2b|a,b∈Z}2.(2025·广东模拟)用C(A)表示非空集合A中元素个数，定义若A={1,2},B={x|(x²+ax)(x²+ax+2)=0}且A*B=1,则实数a的所有取值为()A.0BC.0,2√23.(2025·甘肃校级模拟)对于正整数集合A={a₁,a₂,…,an}(n∈N*,n≥3),个元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集”,则下列说法正确的是()B.{1,2,3,4,5,6,7}4.(2025·邵阳模拟)对于集合A中的任意两个元素x,y,若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：③Vz∈A,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z).则称d(x,y)为集合A上的距离，记为dA,则下列说法错误的是()(4)若d为dR,则ed-1也为dR(为自然对数的底数).A.(1)(4)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(2)(3)5.(2025·东城区一模)已知集合A={(x,y)|y=√x²-1},B={(x,y)|y=alx+al}.如果A∩B有且只有两个元素，则实数a的取值范围为()A.(-∞,1)B.(1,+C.[0,1]D.(0,1)U(1,+∞)6.(2025·安徽模拟)若集合A={x|(x-3)(x-20)<0},B={x|x为质数},则A∩B中元素的个数为()A.47.(2025·赣州模拟)设集合A={-1,0,1},B={(x1,x2,x3,x4,x5)|xiEA,i=1,2,3,4,5},A.60B.100C.1208.(2025·沙坪坝区校级模拟)已知集合AUBUC={b1,b2,b3,b4,bs},且B∩C={b1,b2,b3},则集合A,B,C所有可能的情况种数为()A.216B.200C.279.(2024·邢台模拟)已知集合A={2,-2},B={x|x²-ax+4=0},若AUB=A,则实数a满足()A.{a|-4<a<4}B.{a|-2<a<2}C.{-4,4}D.{a|-4≤a≤4}10.(2024·宁波二模)已知点集A={(x,y)|x∈Z,yeZ},S={(a,b)∈A|I≤a≤5,1≤b≤5}.设非空点集T≌A,若对S中任意一点P,在T中存在一点Q(Q与P不重合),使得线段PQ上除了点P,Q外没有A中的点，则T中的元素个数最小值是()A.1B.2二.多选题(共6小题)(多选)11.(2025·新乡三模)已知非空数集M具有如下性质：②若x,y∈M,则x+y∈M.下列说法中正确的有()C.若x,y∈M,则xy∈MD.若x,y∈M,则x-y∈M(多选)12.(2025·广东模拟)定对于集合N中的任意两个元素m,n,定义,e(m,n)=min{d(m,n),1}.(m,n)具有对称性.下列判断正确的是()B.若d(m,n)≥1,则e(m,n)不具有对称性C.对于任意m,n,p∈N且1<m<n<p,e(m,p)=e(m,n)+e(n,p)恒成立D.集合N*中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)=3(多选)13.(2025·郫都区校级模拟)对于集合S,若存在集合S的两两不同的子集A1,A₂,.…,Ak,k≥1满足AiSA2….Ak,则称其为集合S的一条“链”,称k为这条“链”的长度.当集合S的元素个数|S=n时，下列说法正确的是()C.当ISI=4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合(多选)14.(2025·望城区校级模拟)若平面点集，满足：任意点(x,y)∈M,存在正实数t,都有(tx,ty)∈M,则称该点集为“t阶集”,则下列说法正确的是()是“t阶集”,则t=1B.若M={(x,y)|y=2x}是“t阶集”,则t为任意正实数C.若M={(x,y)|x²≤4y}是“t阶集”,则0<≤1(多选)15.(2025·郑州模拟)群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a,b∈G,有a·b∈G;②对任意的a,b,法正确的有()A.G={-1,1,-i,i}(i为虚数单位)关于数的乘法构成群B.有理数集Q关于数的加法构成群C.G={a+√2b|a,b∈Z}关于数的除法构成群D.正实数集R+关于数的乘法构成群(多选)16.(2025·小店区校级模拟)已知n∈N*,记A|为集合A中元素的个数，min(A)为集合A中的最小元素.若非空数集AC{1,2,.…,n},且满足IA|≤min(A),则称集合A为“n阶完美集”.记an为全部n阶完美集的个数，下列说法中正确的是()A.a4=7B.将n阶完美集A的元素全部加1,得到的新集合，是n+1阶完美集D.若A为(n+2)阶完美集，|A|>1且n+2∈A,满足条件的集合A的个数为an+1-n-1三.填空题(共5小题)17.(2025·浦东新区校级模拟)设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为18.(2025·浦东新区校级模拟)已知q>0,对任意正整数n,令Jn={x+y|若存在n,使得Jn=[an,bn]U[cn,dn]U[xn,yn],且bn<cn<dn<xn<yn,则q的取值范围是19.(2025·泰安四模)对于任意的非空非空数集B中所有元素的乘积，特别地，如果B={x},π(B)=x.若M={a1,a2,a3,a4,a5},其中ai(i=1,2,3,4,5)是正整数.则集合W(M)中元素个数的最小值为20.(2025·金山区校级三模)已知A={z1∈CIlz1-2il=1},集合B={z2|22=x(2+2i)+y(2-2i),x∈[0,1],y∈[0,1]},(其中i为虚数单位),若E={zlz=z1+z2,z1∈A,z2∈B},F={z∈CIlzl=a,a>0},且满21.(2025·丰台区校级模拟)设有限集合U={a₁,a2,a3,…,am},其中m≥4,mEN*,非空集合MCU,M=CuM,若存在集合M,使得M,M中的所有元素之和相等，则称集合U是“可拆等和集”,则下列说法正确的有①集合U={1,2,4,…,22025}不是“可拆等和集”②若集合U={-1,2,5,k}是“可拆等和集”,则k的取值共有6个③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{an},使得集合U是“可拆等和集”④若m=4k+3,kEN*,数列{an}是等差数列且公差d=a1,则集合U是“可拆等和集”四.解答题(共4小题)两个集合：①和集A+B={a+b|a∈A,b∈B};②邻差集D(A)={ak+1-aklk=1,2,.…,|A|-1},其中a1,a2,...,aAI为集合A中元素按照从小到大排列.(1)已知集合A={1,3,5},B={2,4},求ID(A+B)|,ID(A)UD(B)|的值；(2)已知集合A={2"|n=1,2,…,100},B={(1)判断2+√3,3-√3,0,7+4√3中的哪些元素属于B;(2)证明：若x∈B,yEB,则xy∈B;(3)证明：若x=m+√3n∈B,则m²-3n²=1.24.(2025·临沂校级模拟)设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至少各有两个元素.对于给定的集合S,若存在满足如下条件的集合T:①对于任意a、b∈S,若a≠b,都有abET;②对于任意a、b∈T,(1)若集合S1={1,3,9},写出S1的“K集”Ti(不需要证明);(2)若S2={x1,x2,…,xn}存在“K集”,其中xi<x₂<…<xn.当x1=1时，求n的最大值；(3)若三元集S₃存在“K集”T3,且T3中恰含有4个元素，求证：1∈S₃.25.(2025-赣州模拟)对于一个四元整数集A={a,b,c,d},如果它能划分成两个不相交的二元子集{a,(1)写出集合{1,2,3,4,5,6,7,8}的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：(3)证明：对任意正整数n(n≥2),集合{1,2,3,…,4n}不能划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集.一.选择题(共10小题)题号123456789DDDCDCDBDB二.多选题(共6小题)题号一.选择题(共10小题)抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代②对任意的a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(A.G={0,1,2}关于数的乘法构成群B.自然数集N关于数的加法构成群C.实数集R关于数的乘法构成群D.G={a+√2b|a,b∈Z}关于数的加法构成群【考点】元素与集合关系的判断.【专题】新定义；集合思想；综合法；集合；运算求解；新定义类.【分析】反例判断A,B,C是否满足④,对于D,对所有的a,b∈G,设a=x+√2y,b=s+√2t,(x,y,s,t∈Z),求出a+b,依次看是否满足要求.B:由0∈N且Va∈N,都有0+a=a+0=a,但1∈N,不存在b∈N,使1+b=b+1=0,不正确；①G满足加法结合律，即Va,b,c∈G,有(a+b)+c=a+(b+c);③Va∈G,设a=x+√2y,x,y∈Z,3b=-x-√2y∈G,使a+b=b+a=e,【点评】本题考查了集合的新定义，属于中档题.2.(2025·广东模拟)用C(A)表示非空集合A中元素个数，定义若A={1,2},B={x|(x²+ax)(x²+ax+2)=0}且A*B=1,则实数a的所有取值为()A.0【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用.【专题】计算题；集合.【答案】D【分析】根据A={1,2},B={x|(x²+ax)(x²+ax+2)=0},且A*B=1,可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，进而可得x²+ax=0或x²+ax+2=0,求解即可得a的所有可能值.【解答】解：由于(x²+ax)(x²+ax+2)=0等价于x²+ax=0①或x²+ax+2=0②,又由A={1,2},且A*B=1,∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，解得a=±2√2,【点评】此题是中档题.考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用.3.(2025·甘肃校级模拟)对于正整数集合A={a₁,a₂,…,an}(n个元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集”,则下列说法正确的是()B.{1,2,3,4,5,6,7}【考点】元素与集合关系的判断.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解；新定义类.元素之和减去任意一个元素一定为偶数，根据此特性分类讨即可.【解答】解：对于选项A,当集合为时，去掉元素,则不可拆分成符合题意的可分集，故不是“可分集”,故A错误.对于选项B,对于集合，去掉1后，其余各数的和为27,是奇数，不可能分解成两个整数集合的并集，故无法分成两个交集为空且元素之和相等的集合，所以{1,2,3,4,5,6,7}不是“可分集”,故B错设集合A={a₁,a₂,…,an}(n∈N*,n≥3)所有元素之和为M.由题意可知集合A中除去任意一个元素后所得集合可以分拆成两个元素和相等各元素都是正整数的集合，因此，M-ai(i=1,2,3,..,n)均为偶数，因此M,ai(i=1,2,3,…,n)同为奇数或同为偶数.(I)当M为奇数时，则ai(i=1,2,3,.…,n)也均为奇数，由于M=a1+a₂+...+an,所以n为奇数.综上所述，集合A中元素个数为奇数.元素个数的特征，属于难题.4.(2025·邵阳模拟)对于集合A中的任意两个元素x,y,若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：③Vz∈A,都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)则称d(x,y)为集合A上的距离，记为dA,则下列说法错误的是()(1)d(x,y)=|x-y为dR;(2)d(x,y)=|sinx-siny|为dR;(4)若d为dR,则ed-1也为dR(为自然对数的底数).A.(1)(4)B.(1)(3)C.(【考点】元素与集合的属于关系的应用；充要条件的判断.【专题】转化思想；综合法；集合；创新能力.【答案】C【分析】由dA的定义对选项一一判断即可得出答案.【解答】解：对于(1),d(x,y)=|x-y|=0,即x=y,②d(x,y)=|x-y=ly-x|=d(y,x),③Vx,y,z∈R,|x-yl=|(x-z)+(z-y)≤x-zl+lz-y|,故(1)正确；对于(2),d(x,y)=|sinx-siny,此时若x=0,y=π,则x≠y,故(2)错误；对于(3),d(x,y)=|Inx-Inyl,②d(x,y)=|nx-Iny|=IIny-Inx|=d(y,x),成立；③d(x,y)=lInx-Inyl=|(Inx-Inz)+(Inz-Iny)≤lInx-Inzl+|Inz-Iny=d(x,z)+d(y,z),故成立，故(3)正确；对于(4),设Vx,yER,d(x,y)=lx-y,则ed(xy)-¹=ekx-y+1,①若d(x,y)=0,则x-y|=0,即x=y,ed-¹=ekx-yl-1=e⁻¹≠0,故(4)错误.【点评】本题主要考查集合新定义，属于难题.5.(2025·东城区一模)已知集合A={(x,y)|y=√x²-1},B={(x,y)|y=alx+al}.有两个元素，则实数a的取值范围为()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.[0,1]D.(0,1)U(1,+∞)【考点】集合交集关系的应用.【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑思维.【答案】D【分析】先分析出曲线y=√x²-1表示的是双曲线x²-y²=在x轴上及上方的所有点，再分情况讨论当a取不同值时，y=a|x+a|表示的不同曲线，及与曲线y=√x²-1的交点个数情况即可得到结果.【解答】解：因为A∩B有且只有两个元素，对于曲线y=√x²-1变形可得x²-y²=1(y≥0),表示的是双曲线x²-y²=在x轴上及上方的所有点，与x²-y²=1(y≥0)交于(1,0),(-1,0)两点，符合题意；与x²-y²=1(y≥0)仅有(-1,0)一个交点，如下图所示，所以a=1不符合题意；②当0<a<1时，y=a|x+a|与x轴的交点为(-a,0),-aE(-1,0),且y=a(x+a)的斜率a∈(0,1),y=-a(x+a)的斜率-aE(-1,0),而双曲线x²-y²=1的两条渐近线为y=±x,斜率分别为1和-1,所以y=a|x+a|与x²-y²=1(y≥0)的左右两支各有一个交点，如下图所示，所以0<a<1符合题意；③当a>1时，y=a|x+a|与x轴的交点为(-a,0),-a<-1,且y=a(x+a)的斜率a>1,y=-a(x+a)的斜率-a<-1,而双曲线x²-y²=1的两条渐近线为y=±x,斜率分别为1和-1,所以y=a|x+a|与x²-y²=1(y≥0)的右支没有交点，与左支有两个交点，如下图所示，所以a>1符合题意.综上，实数a的取值范围为(0,1)U(1,+0).【点评】本题考查集合的综合应用，属于难题.6.(2025·安徽模拟)若集合A={x|(x-3)(x-20)<0},B={x|x为质数},则A∩B中元素的个数为()A.4【考点】求集合的交集.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【分析】结合交集的定义，即可求解.【解答】解：集合A={x|(x-3)(x-20)<0}={x|³<x<20},B={x|x为质数},则A∩B={5,7,11,13,17,19},故A∩B中元素的个数为6.【点评】本题考查一元二次不等式的解集与集合的交集，属于基础题.7.(2025·赣州模拟)设集合A={-1,0,1},B={(x1,x2,x3,x4,x5)么集合B中满足1≤xil+|x2l+【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断.【专题】整体思想；综合法；集合；排列组合；运算求解.即指x₁,x2,x₃,x4,x5中取值为-1或1的个数和为1或2或3,故满足条件的元素的个数为C¹×2+C弓×2²+C³×2³=10+40+80=130(个),【点评】本题以集合为载体，主要考查了组合数的应用，属于中档题.8.(2025·沙坪坝区校级模拟)已知集合AUBUC={b1,b2,b3,b4,b5},且B∩C={b1,b,b3},则集合A,B,C所有可能的情况种数为()【考点】求集合的交集.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【分析】设初始状态为b1,b2,b₃EB,b1,b2,bEC,A=Ø,将b1,b2,b3,b4,b5放入三个集合，得出b₁,b₂,b₃,b4,b5每一个元素的放法数，根据分步计数原理，即可得答案.【解答】解：集合AUBUC={b1,b2,b3,b4,b5},且B∩C={b1,b2,b3},设初始状态为b₁,b2,b₃∈B,bi,b2,b₃∈C,A=Ø,现将b1,b2,b3,b4,b5放入三个集合，b₁有两种放法，放在集合A或不放集合A;对于b4,分两种情况：放在集合A或不放集合A;当b4放在集合A,可以不放集合B与集合C中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合C,B中，共3种放法；当b4不放在集合A,必须放在集合B或集合C中，共2种放法；故对于b₄,共有5种放法；b₅同b4,共有5种放法；【点评】本题主要考查交集及其运算，属于中档题.A.{al-4<a<4}B.{a|-2<a<2}C.{-4,4}D.{al【考点】并集及其运算.【专题】集合.【分析】根据A与B的并集为A,得到B为A的子集，分B为空集与不为空集两种情况考虑，分别求【解答】解：由AUB=A得，BSA,则B=Ø或B≠Ø,①若B={-2},表明x²-ax+4=0有两个相等的实根-2,则(-2)²-a×(-2)+4=0,则a②若B={2},表明x²-ax+4=0有两个相等的实根2,则2²-a×2+4=0,解得a=4,满足△=a²-16=0;③若B={-2,2},表明x²-ax+4=0有两个的实根-2和2,A中的点，则T中的元素个数最小值是()要求即可.当a=1或3时，取Q(2,6);当a=2或4时，取Q(3,6);有公因子2(或由于P、Q横坐标之差为±1,故PQ内部无整点；当a=5,b∈{1,3,5}时，取Q(3,6),此时横坐标之差为2,纵坐标之差为奇数，二者互素；当a=5,b∈{2,4}时，取Q(2,6),此时横坐标之差为3,纵坐标之差为-4,-2,二者互素；综上，T中的元素个数最小值是2.【点评】本题考查集合新定义，考查集合的表示方法，属于中档题.二.多选题(共6小题)(多选)11.(2025·新乡三模)已知非空数集M具有如下性质：①若x,y∈M,下列说法中正确的有()【考点】判断元素与集合的属于关系.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【答案】BC【分析】对于AD,利用反证法可判断其正误；对于B,可先判断1∈M,再结合性质可判断其正误；对于C,可先判断当y∈M时，再根据性质可判断其正误.B.M是非空集合，若x∈M,,1+1=2∈M,1+2=3∈M,所以2025∈M,B正确；C.因为1∈M,y∈M,所,所,C正确；【点评】本题考查了元素与集合的关系，是中档题.(多选)12.(2025·广东模拟)定对于集合N中的任意两个元素m,n,定(m,n)具有对称性.下列判断正确的是()B.若d(m,n)≥1,则e(m,n)不具有对称性D.集合N*中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)=3【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】计算题；转化思想；定义法；集合；逻辑思维；新定义类.【分析】根据新定义，逐项计算判断即可.【解答】解：因为(所以e(1,2)=e(1,3)=1,A因为d(m,n)=d(n,m),所以e(m,n)=e(n,m),B错误；设a,b,c是集合N中三个互不相等的元素，不妨假设1≤a<b<c,因为e(a,b)≤1,e(b,c)≤1,e(c,a)≤1,所以e(a,b)+e(b,c)+e(c,a则e(a,b)=e(c,a)=1,e(b,c)<1,e(a,b)+e(b,c)所以集合N中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)=3,D正确.【点评】本题考查新定义，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.(多选)13.(2025·郫都区校级模拟)对于集合S,若存在集合S的两两不同的子集A1,A₂,.…,Ak,k≥1时，下列说法正确的是()C.当ISI=4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】计算题；集合思想；集合；运算求解.【答案】AD【分析】通过集合的子集链概念，去推断子集包含关系、链的长度及计数.【解答】解：A选项，设S={a1,a2,…,an},两两不同的子集A1,A2,…,Ak,k≥1,满足AiSA2C…CAk,故Ak+1中的元素要至少比Ak多一个元素，且Ak+1中元素比Ak中元素多1,所以A1=ø,A2={ai},A3={ai,aj},…,Ak=S,B选项，不妨设Am={1},Aw={2},显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，B错误；C选项，当IS|=4时，不妨设{1}≤{1,2}≤{1,2,3}≤{1,2,3,4},上面两个均为两条长为4的“链”,不具有相同集合，C错误；A3={ai,aj}有(n-1)种选择，以此类推，Ar={ai,aj,…,an}中共有(r-1)个元素，有(n-r+2)种选择，【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题.(多选)14.(2025·望城区校级模拟)若平面点集，满足：任意点(x,y)∈M,存在正实数t,都有(tx,ty)∈M,则称该点集为“t阶集”,则下列说法正确的是()B.若M={(x,y)ly=2x}是“t阶集”,则t为任意正实数C.若M={(x,y)|x²≤4y}是“t阶集”,则0<≤1【考点】元素与集合关系的判断；命题的真假判断与应用.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【答案】ABC【分析】根据“t阶集”的定义，逐项进行判定即可.【解答】解：对于A,阶集”,贝,所以t=1,对于B,若M={(x,y)|y=2x}是“t阶集”,则ty=2tx,则t为任意正实数，故B正确；对于C,若M={(x,y)|x²≤4y}是“t阶集”,则(tx)²≤4ty,由t>0得出tx²≤4y,当0<≤1时，tx²≤x²≤4y,所以tx²≤4y,当t>1时，取x=1,y=0.25,满足x²≤4y,但是tx²=t>1=4y,所以为使x²≤4y成立时，tx²≤4y,正实数t的取值范围是0<≤1,故C是正确；对于D,若M={(x,y)|y≥√x}是“t阶集”,则ty≥√tx,【点评】本题是新定义题型，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，是中档题.(多选)15.(2025·郑州模拟)群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a,b∈G,有a·b∈G;②对任意的a,b,任意的a∈G,存在b∈G,使a-b=ba=e,称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法正确的有()A.G={-1,1,-i,i}(i为虚数单位)关于数的乘法构成群B.有理数集Q关于数的加法构成群C.G={a+√2b|a,b∈Z}关于数的除法构成群D.正实数集R+关于数的乘法构成群【考点】元素与集合关系的判断.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解；新定义类.【分析】依据群的定义，对每个选项中的集合和相应运算进行逐一分析，判断是否满足群的四个条件，进而确定该集合关于给定运算是否构成群.【解答】解：对A:∵G={-1,1,-i,i},又任意两个元素的乘积结果都属于集合G,存在e=1∈G,对于Va∈G,当a=-1时，1×(-1)=(-1)×1=-1.集合G也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，故A正确.∵对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律.存在e=0∈Q,对于Va∈Q,有0+a=a+0=a.对于任意的a∈Q,存在b=-a∈Q,使得a+(-a)=(-a)+a=0.∴有理数集Q关于数的加法构成群，故B正确.有∈G(c∈G),∴不满足封闭性，故C错误.∵任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律.满足a·b=b·a=e.故D正确.【点评】本题考查新定义问题，属于难题.(多选)16.(2025·小店区校级模拟)已知n∈N*,记IA|为集合A中元素的个数，min(A)为集合A中的最小元素.若非空数集AS{1,2,.…,n},且满足IA|≤min(A),则称集合A为“n阶完美集”.记an为全部n阶完美集的个数，下列说法中正确的是()B.将n阶完美集A的元素全部加1,得到的新集合，是n+1阶完美集【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类.结论的正确性.【解答】解：由题意nEN*,记A为集合A中元素的个数，min(A)为集合A中的最小元素.若非空数可得当非空数集A是{1,2,3,4},子集中含1个元素的子集时，|A|=1,根据“n阶完美集”的定义，{1,2,3,4}中大于等于1的数有1、2、3、4共4个，当非空数集A是{1,2,3,4},子集中含2个元素的子集时，IA|=2,{1,2,3,4}中大于等于2的数有2、3、4共3个，所以此时A可以是{2,3}、{2,4}、{3,4},当非空数集A是|1,2,3,4},子集中含3个元素的子集时，|A|=3,{1,2,3,4}中大于等于3的数有3、4共2个，不满足“n阶完美集”的定义，所以{1,2,3,4}中3个元素的子集不满足.同理，{1,2,3,4}中含4个元素的子集也不满足.综上，4阶完美集有{1}、{2}、{3}、{4}、{2,3}、{2,4}、{3,4},所以a4=7,故A正确；若将“n阶完美集”A中元素全部加1,A中元素个数不变，但min(A所以满足条件的集合A要排除掉“n+1阶完美集”中只含有1个元素的情形(排除n+1个单元素集合),因此满足条件的集合，A的个数均为an+1-(n+1)=an+1-n-1,故C错误，D正确.【点评】本题考查了集合新定义问题，是难题.三.填空题(共5小题)17.(2025-浦东新区校级模拟)设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为137·【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解.【答案】见试题解答内容【分析】三位数中的5的倍数分个位是0和个位是5讨论即可.【解答】解：由题意集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5可得集合中且至多只有一个不是5的倍数，其余均是5的倍数.首先讨论三位数中的5的倍数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有A3=72个；②当个位为5时，则百位有C个数字可选，十位有C个数字可选，根据分步乘法计数原理这样的5的倍数共有CC=64个，最后再加上单独的不是5的倍数的数，所以集合中元素个数的最大值为72+64+1=137个.故答案为：137.【点评】本题考查了集合元素个数问题，是中档题.18.(2025·浦东新区校级模拟)已知q>0,对任意正整数n,令Jn={存在n,使得Jn=[an,bn]U[cn,dn]U[xn,yn],且bn<cn<dn<xn<yn,则q的取值范围是(1,2)【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】集合思想；综合法；定义法；集合；逻辑思维；运算求解；新定义类.【答案】(1,2).【分析】分析x,y的各种情况下x+y的取值范围，然后考虑所得三个取值范围互相分离的条件，得出存在正整数n符合题意的条件下的实数a的取值范围.【解答】解：Jn由以下四种情况的x+y组成：当x,y∈[q²n,q²n+¹时，此时x+y∈[所以an=2qn,bn=2qn+1,Cn=qn+q²n,dn=qn+1+q²n+1,xn=2q²n,yn=2q²n+1,两边同时除以2q",得q>1,所以2-q>0且所以1<q<2,此时当n→+∞时，q"→+∞,故必存在正整数n,同时满足①②,所以q的取值范围是区间(1,2).故答案为：(1,2).【点评】本题属于集合新定义，考查了分类讨论思想、集合思想，属于中档题.19.(2025·泰安四模)对于任意的非空数集A,定义W(A)=(Ⅱ(B)|BSA,B≠Ø非空数集B中所有元素的乘积，特别地，如果B={x},π(B)=x.若M={a1,a2,a3,a4,a5},其中ai(i=1,2,3,4,5)是正整数.则集合W(M)中元素个数的最小值为11【考点】集合中元素个数的最值.【专题】计算题；整体思想；分析法；集合；运算求解；新定义类.【答案】11.【分析】根据已知新定义，当集合M中的数字构成等比数列时，W(M)中元素个数最小，然后求最值即可.【解答】解：不妨设ai<a2<a3<a4<a5,显然所以集合W(M)中元素个数的最小值为11.故答案为：11.【点评】本题考查集合中元素个数的最值，属于中档题.20.(2025·金山区校级三模)已知A={z1∈Cllz1-2i1],y∈[0,1]},(其中i为虚数单位),若E={zlz=z1+z2,zi∈A,z2∈B},F={z∈CIlz|=a,a>0},且满【考点】求集合的交集；复数的模.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【答案】[√2-1,2√5+1].【分析】集合A表示以(0,2)为圆心，半径为1的圆，集合B表示以(0,0),(2,2),(2,-2),(4,0)为顶点的正方形区域，集合E表示将圆A沿着正方形B的区域平移所得到的区域，集合F表示复平面内以原点为圆心，a为半径的圆.由ENF≠Ø,得a的取值范围是集合E中所有复数模的取值范围.【解答】解：集合A表示以(0,2)为圆心，半径为1的圆，集合B表示以(0,0),(2,2),(2,-2),(4,0)为顶点的正方形区域，集合E表示将圆A沿着正方形B的区域平移所得到的区域，集合F表示复平面内以原点为圆心，a为半径的圆.∵ENF≠ø,a的取值范围是集合E中所有复数模的取值范围，如图，过原点作边界线垂线，垂足对应复数的模取最小值√2-1连接原点和点(2,4)并延长交圆(x-2)²+(y-4)²=1于一点，该点对应的复数的模取最大值2√5+1,故实数a的取值范围是[√2-1,2√5+1].故答案为：[√2-1,2√5+1].【点评】本题考查集合的运算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21.(2025·丰台区校级模拟)设有限集合U={a1,a2,a3,…,am},其中m≥4,mEN*,非空集合M≌U,M=CuM,若存在集合M,使得M,M中的所有元素之和相等，则称集合U是“可拆等和集”,则下列说法正确的有①②④·①集合U={1,2,4,…,22025}不是“可拆等和集”②若集合U={-1,2,5,k}是“可拆等和集”,则k的取值共有6个③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{an},使得集合U是“可拆等和集”④若m=4k+3,kEN*,数列{an}是等差数列且公差d=a1,则集合U是“可拆等和集”【考点】判断元素与集合的属于关系.【答案】①②④.即可判断①项；列举法即可判断②项；将U中所有元素同时除以a1=2后可得U₁={1,q,q²,…,qm-1},然后根据等比数列前n项和公式计算，然后根据qm-1分类，即可判断③项；根据等差数列的性从中剔除ak+1+a3k+3之后，从剩余的数据中选出【解答】解：对于①项，1,2,4,…,22025构成了以1为首项，2为公比的等比数列，且1+2+4+…+22024=22025-1<22025,中所有元素之和也小于22025,不满足要求；当M含有22025以及22025之外的其余元素时，也不满足要求.如果M={5},则由“可拆等和集”此时因集合U={-1,2,5,k}已含有元素2,故舍去；综上可知：k可取6个值，分别为-8,-2,-4,6,4,8,②正确；对于③项，将U中所有元素同时除以a1=2后可得U₁={1,q,q²,…,qm-1},由等比数列前n项和公式可得1又因为q≥2,所以q-1≥1,故当M1含有qm-1以及qm⁻¹之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以a1=2后还是不满足.对于④项，易知集合U中的元素个数为4k+3,kEN*,共有(剩余元素为a2k+2),从中剔除ak+1+a3k+3之后从这2k组相同的数据中任意选出k组，将对应的元素分到集合M中；不妨将ak+1,a2k+2这两个元素也分到集合M中，满足M,M中的元素之和相等，④正确.故选：①②④.【点评】本题借助集合考查了等比数列和等差数列的性质，属于难题.四.解答题(共4小题)22.(2025·武昌区模拟)用符号A|表示集合A中元素的个数.对于实数集合A和B,且IA|≥2,|B≥2,定义两个集合：①和集A+B={a+bla∈A,b∈B};②邻差集D(A)={ak+1-aklk=1,2,…,|A|-1},其中a1,a2,..,aAI为集合A中元素按照从小到大排列.(3)若A与B都是由m(m≥3,mEN*)个实数构成的集合，证明：A|+B|=2m-1UD(B)|=1.【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】应用题；整体思想；综合法；集合；运算求解.(3)证明见解析.【分析】(1)根据和集和邻差集定义直接求解即可；(2)考虑2¹+4=2⁹+2ᵗ(*),分别讨论t≥51和≤50的情况，由集合中元素的性质与和集的定义可得结(3)根据A|与和集的定义易证得充分性；设集合A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bm},其中ai<a2<...<am,bi<b₂<…<bm,可确定A+B中所有的元素，可证得a2-a₁=b2-b1;推广可得a₂+bk=a1+bk+1由此可得必要性.【解答】解：(1)∵A={1,3,5},B={2,4},∴A+B={3,5,7,9},∴D(A+B)={2},D(A)={2},D(B)={2},∴D(A+B)|=1,[D(A)U(2)考虑2¹+4=2⁵+4t(*),不妨设j<t,则i>s,①当t≥51时，4t-(4+2i)≥4′-4t-1-2i=3·4t-1-2¹≥3×45⁰-2100>0,此时(*)式不成立；②当≤50时，若i>2t,则2i-(2⁵+4)≥2i-2i-1-4=2i-1-4≥2²-2²=0,此时(*)式不成立；此时(*)式也不成立；若i=2t,则取s=2j,此时(*)式成立，(3)充分性的证明：当D(A)UD(B)|=1时，不妨设D(A)=D(B)={d},其中ai<a2<..<am,bi<b₂<..<bm{an},A+B={ai+b1,a1+bi+d,…,a1+b1+2(mA+B里面的元素也是公差为d的等差数列，∴A+B|=2m-1;其中ai<a₂<...<am,bi<b₂<...<bm,则a₁+bi<a2+bi<...<am+bi<am+b₂<...<am+bm,这里共2m-1个不同元素，这里共2m-1个不同元素，也为和集A+B中的所有元素，一般地，由a₁+bi<a₁+b₂<...<a₁+bk<a2+bk<...<am+bk<am+bk+1<..<am+bm,可得a2+bk=a₁+bk+1,即a2-a₁=bk+1-bk(1≤k≤m-1),同理可得：b2-b1=ak+1-ak(1≤k≤m-1),得证.【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于难题.(1)判断2+√3,3-√3,0,7+4√3中的哪些元素属于B;(2)证明：若x∈B,yEB,则xy∈B;(3)证明：若x=m+√3n∈B,则m²-3n²=1.【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】应用题；综合法；集合；运算求解.【答案】(1)2+√3∈B,7+4√3∈B;(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)根据所给定义判断元素的倒数是否属于A即可；(2)先证明若x∈A,y∈A,则xy∈A,即可得到A从而得证；(3)依题意可得∈A从而求出m²-3n²=±1,再说明m²-3n²≠-1即可.【解答】解：(1)因,所以2+√3∈B;因为0没有倒数，所以0∈B;因所以7+4√3∈B;综上可得2+√3∈B,7+4√3∈B;(2)证明：若x∈A,y∈A,则xy∈A;设x=s+√3t,y=p+√3q,S,t,p,q为整数，由于sp+3tq,sq+tp都是整数，所(3)证明：因为x=m+√3n∈B,则m²+1=9k²+6k+2=3(3k²+2k)+2不是3的倍数；若m=3k+2,则m²+1=9K²+12k+5=3(3k²+4k+1)+2不是3的倍数；(2)若S₂={x1,x2,…,xn}存在“K集”,其中xi<x₂<…<xn.当x1=1时，求n的最大值；(2)根据定义，通过x1=1,得到S₂={1,x₂,x2,…,x2-1},即可求解.【解答】解：(1)根据题意，若S₁={1,3,9},则有1×3=3∈T,1×9=9∈T,3×9=27∈T,即3,9,27∈T,若t<3,即,则,∴不成立；若t>3,则1,∴t=3或9或27,矛盾.(2)S₂={x₁,x₂,…,xn}≌N*,x₁,x₂,…,Xn∈N*,其中xi<x₂<…<xn,当x1=1,可得S₂={1,x₂,x2,…,x2-1},所以2n-4≤n-1,即n≤3.所以n的最大值为3.设集合S₃={a1,a2,a3},故a₂a₃=a2∈T,即a₂,a2,a(1)写出集合{1,2,3,4,5,6,7,8}的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：元子集.【答案】(1){1,2,3,5}(符合要求即可);(2)证明见解析.(3)证明见解析.【分析】(1)根据四元整数集定义写出即可；(3)假设{1,2,…,4n}可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集S1,S2,…,Sn,再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可.【解答】解：(1){1,2,3,5}(符合要求即可);(2)证明：假设可以划分，∴a,b,c,d中至多两个偶数.则对于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一种符合要求的划分{a1,b1,C1,d1}和{a2,b,c2,dz},每个四元子集中均有两个偶数.若两个集合分别为{2,4,cl,d1}和{6,8,c2,d2},则c2d2=47或49,不存在c2,d2使得{6,8,c2,d2}符合要求；若两个集合分别为{2,6,c1,d1}和{4,8,c2,d2},则cid1=11或13,不存在c1,d1使得{2,6,c1,d1}符合要求；若两个集合分别为{2,8,c1,d1}和{4,6,c2,d2},则c2d2=23或25,不存在c2,d2使得{4,6,c2,d2}符合要求；综上所述，{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，(3)假设{1,2,…,4n}可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集S1,S2,…,Sn.∵每个子集中至多两个偶数，又1,2,…,4n中恰有2n个偶数，∴对于1≤i≤n,可设Si={ai,bi,Ci,di},其中ai,再由奇偶性，只能是aibi-cidi=±1.且{a1,b1,a2,b2,…,an,bn}={2,4,…4n},{c1,d1,c2,d2,∴2·4…4n=a1·b1·a2·b₂…an·bn<(c1+1)(d1+1)(c₂+1)(d₂+1)…(cn+1)(dn+1)=2.4…4n,【点评】本题主要考查交集及其运算，属于难题.【知识点的认识】一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,A(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.(3)无序性：集合于其中元素的排列顺序无关.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.【命题方向】典例1:已知集合A={x|x=m²-n²,meZ,n∈Z}.求证：(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.分析：(1)根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；(2)用反证法，假设属于A,再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论.解答：解：(1)∵3=2²-1²,3∈A;∴(m-n)(m+n)为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾.∴(m-n)(m+n)为奇数，与4k-2是偶数矛盾.综上4k-2∈A.点评：本题考查元素与集合关系的判断.分类讨论的思想.题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数.典例2:已知集合A={a+2,2a²+a},若3∈A,求实数a的值.分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a²+a=3,求出a的值，验证集合A中元素不重复即可.解答：解：因为3∈A,所以a+2=3或2a²+a=3...(2分)此时A={3,3},不合条件舍去，...(7分)当2a²+a=3时，a=1(舍去)可,...(10分),成立…(12分)点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力.【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.2.判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,b,c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围.验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件.符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合.【命题方向】验证元素是否是集合的元素(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.分析：(1)根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；(2