2025年向量法求线线夹角试题及答案

2025年向量法求线线夹角试题及答案

一、单项选择题1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1)\)，则向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角的余弦值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(0\)C.\(-\frac{3}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)答案：B2.若直线\(l_1\)的方向向量为\(\overrightarrow{m}=(1,-2,3)\)，直线\(l_2\)的方向向量为\(\overrightarrow{n}=(2,1,0)\)，则两直线\(l_1\)与\(l_2\)夹角的余弦值为（）A.\(\frac{2}{7}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{7}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{5}\)D.\(\frac{2}{5}\)答案：C3.已知空间中两直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,0,1)\)，则\(l_1\)与\(l_2\)夹角的大小为（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)答案：C4.若直线\(l\)的方向向量\(\overrightarrow{v}=(2,1,m)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\overrightarrow{n}=(1,\frac{1}{2},2)\)，且\(l\perp\alpha\)，则\(m\)的值为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(-4\)D.\(-2\)答案：B5.设直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(1,2,-2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,3,m)\)，若\(l_1\perpl_2\)，则\(m\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(3\)答案：B6.已知两直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(3,-6,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,2,\frac{1}{3})\)，则\(l_1\)与\(l_2\)的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定答案：A7.若直线\(l_1\)的方向向量\(\overrightarrow{u_1}=(1,3,2)\)，直线\(l_2\)的方向向量\(\overrightarrow{u_2}=(1,-1,1)\)，那么两直线夹角的余弦值为（）A.\(\frac{\sqrt{21}}{7}\)B.\(\frac{\sqrt{21}}{6}\)C.\(\frac{\sqrt{42}}{6}\)D.\(\frac{\sqrt{42}}{7}\)答案：D8.已知空间两直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(-2,1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4,-1)\)，则两直线夹角的余弦值为（）A.\(\frac{\sqrt{6}}{18}\)B.\(\frac{\sqrt{6}}{6}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{18}\)答案：B9.设直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{e_1}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\overrightarrow{e_2}=(x_2,y_2,z_2)\)，若\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(\theta\)，则\(\cos\theta\)等于（）A.\(\frac{\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}}{\vert\overrightarrow{e_1}\vert\vert\overrightarrow{e_2}\vert}\)B.\(-\frac{\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}}{\vert\overrightarrow{e_1}\vert\vert\overrightarrow{e_2}\vert}\)C.\(\vert\frac{\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}}{\vert\overrightarrow{e_1}\vert\vert\overrightarrow{e_2}\vert}\vert\)D.\(\pm\frac{\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}}{\vert\overrightarrow{e_1}\vert\vert\overrightarrow{e_2}\vert}\)答案：C10.已知直线\(l_1\)的方向向量\(\overrightarrow{a}=(1,-1,2)\)，直线\(l_2\)的方向向量\(\overrightarrow{b}=(2,-2,-1)\)，则\(l_1\)与\(l_2\)夹角的余弦值为（）A.\(\frac{4}{9}\)B.\(-\frac{4}{9}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)答案：A二、多项选择题1.已知直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(2,4,-4)\)，\(\overrightarrow{b}=(-6,9,6)\)，则以下说法正确的是（）A.\(l_1\perpl_2\)B.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(90^{\circ}\)C.\(l_1\)与\(l_2\)平行D.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(45^{\circ}\)答案：AB2.若直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{m}=(1,-2,-2)\)，\(\overrightarrow{n}=(-2,-1,2)\)，则下列结论正确的是（）A.\(l_1\parallell_2\)B.\(l_1\perpl_2\)C.\(l_1\)与\(l_2\)相交但不垂直D.\(l_1\)与\(l_2\)的夹角为\(90^{\circ}\)答案：BD3.设直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{e_1}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\overrightarrow{e_2}=(x_2,y_2,z_2)\)，则下列能使\(l_1\)与\(l_2\)夹角为锐角的是（）A.\(\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}\gt0\)B.\(\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}\lt0\)C.\(\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}\gt0\)且\(\overrightarrow{e_1}\)与\(\overrightarrow{e_2}\)不共线D.\(\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}\lt0\)且\(\overrightarrow{e_1}\)与\(\overrightarrow{e_2}\)不共线答案：C4.已知空间两直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(1,-2,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-4,m)\)，若\(l_1\)与\(l_2\)夹角为锐角，则\(m\)的取值范围可能是（）A.\(m\gt-2\)B.\(m\gt-2\)且\(m\neq4\)C.\(m\lt-2\)D.\(m\lt-2\)且\(m\neq-4\)答案：B5.若直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{v_1}=(3,0,6)\)，\(\overrightarrow{v_2}=(-1,0,-2)\)，则（）A.\(l_1\parallell_2\)B.\(l_1\)与\(l_2\)重合C.\(l_1\)与\(l_2\)相交D.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(0^{\circ}\)答案：AD6.已知直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(2,-1,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(-4,2,x)\)，若\(l_1\)与\(l_2\)夹角为钝角，则\(x\)的取值范围是（）A.\(x\lt\frac{10}{3}\)B.\(x\lt\frac{10}{3}\)且\(x\neq-6\)C.\(x\gt\frac{10}{3}\)D.\(x\gt\frac{10}{3}\)且\(x\neq6\)答案：B7.设直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{e_1}=(1,2,-2)\)，\(\overrightarrow{e_2}=(-2,3,m)\)，若\(l_1\)与\(l_2\)夹角为锐角，则\(m\)的取值可能是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：BCD8.已知直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(3,-1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-6,2,-4)\)，则（）A.\(l_1\parallell_2\)B.\(l_1\)与\(l_2\)反向C.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(180^{\circ}\)D.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(0^{\circ}\)答案：ABC9.若直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{v_1}=(1,-2,3)\)，\(\overrightarrow{v_2}=(-2,4,-6)\)，则（）A.\(l_1\parallell_2\)B.\(l_1\)与\(l_2\)重合C.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(0^{\circ}\)D.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(180^{\circ}\)答案：AD10.已知直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,0,1)\)，则（）A.\(l_1\)与\(l_2\)夹角的余弦值为\(\frac{1}{2}\)B.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(60^{\circ}\)C.\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(30^{\circ}\)D.\(l_1\)与\(l_2\)夹角的余弦值为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：AB三、判断题1.若两直线的方向向量的数量积大于\(0\)，则两直线的夹角一定是锐角。（×）2.若直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(1,-1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,2,-4)\)，则\(l_1\parallell_2\)。（√）3.已知直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(2,3,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-6,-9,3)\)，则\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(180^{\circ}\)。（√）4.若直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{m}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{n}=(0,1,0)\)，则\(l_1\perpl_2\)。（√）5.设直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)，则\(l_1\)与\(l_2\)夹角\(\theta\)满足\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}}{\vert\overrightarrow{e_1}\vert\vert\overrightarrow{e_2}\vert}\)。（×）6.若两直线的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,-2,-3)\)，则两直线夹角为\(0^{\circ}\)。（√）7.已知直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{a}=(3,-2,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,2,-1)\)，则\(l_1\)与\(l_2\)夹角为\(180^{\circ}\)。（√）8.若直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{v_1}=(1,1,1)\)，\(\overrightarrow{v_2}=(-1,-1,-1)\)，则\(l_1\)与\(l_2\)反向。（√）9.设直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)，若\(\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=0\)，则\(l_1\)与\(l