统计学第三章练习题附答案

统计学第三章练习题附答案

姓名：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、单选题(共10题)1.某工厂生产的产品的重量X服从正态分布，已知均值μ=50千克，标准差σ=2千克，求该工厂生产的任意一件产品重量超过52千克的概率。()A.0.1357B.0.6826C.0.9544D.0.97722.从一批产品中随机抽取10件进行检验，其中有3件不合格，假设该批产品的不合格率为p，则p的置信度为95%时的置信区间大约是多少？()A.(0.3,0.5)B.(0.4,0.6)C.(0.2,0.4)D.(0.1,0.3)3.某班级学生的平均成绩为80分，标准差为10分，如果从该班级中随机抽取一个学生，其成绩在70分至90分之间的概率大约是多少？()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.97724.某城市居民月收入X服从正态分布，均值μ=5000元，标准差σ=1000元，求该城市居民月收入在4000元至6000元之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.97725.一批产品的寿命X服从指数分布，平均寿命为1000小时，求该批产品寿命超过1500小时的概率。()A.0.1813B.0.8187C.0.5D.16.某工厂生产的零件长度X服从正态分布，均值μ=10毫米，标准差σ=1毫米，求该工厂生产的零件长度在9毫米至11毫米之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.97727.某品牌手机电池的寿命X服从正态分布，均值μ=1000小时，标准差σ=100小时，求该品牌手机电池寿命在800小时至1200小时之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.97728.某地区居民家庭年收入Y服从正态分布，均值μ=50000元，标准差σ=10000元，求该地区居民家庭年收入在30000元至70000元之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.97729.某市居民月收入X服从正态分布，均值μ=8000元，标准差σ=2000元，求该市居民月收入在5000元至11000元之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.977210.某批产品的重量X服从正态分布，均值μ=500克，标准差σ=50克，求该批产品重量在450克至550克之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.977211.某城市居民家庭年消费支出Z服从正态分布，均值μ=30000元，标准差σ=6000元，求该城市居民家庭年消费支出在20000元至40000元之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.977212.某品牌电脑的内存容量X服从正态分布，均值μ=8GB，标准差σ=2GB，求该品牌电脑内存容量在6GB至10GB之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.977213.某地区居民家庭汽车拥有率X服从正态分布，均值μ=0.3，标准差σ=0.1，求该地区居民家庭汽车拥有率在0.2至0.4之间的概率。()A.0.6826B.0.9544C.0.8413D.0.977214.某批产品的合格率p服从二项分布，n=100，p=0.5，求该批产品中合格产品数在40至60之间的概率。()A.0.1357B.0.6826C.0.9544D.0.9772二、多选题(共5题)15.在以下哪些情况下，可以使用正态分布进行推断？()A.样本量较大且总体分布未知B.样本量较小且总体分布未知C.样本量较大且总体分布已知为正态分布D.样本量较小且总体分布已知为正态分布16.以下哪些是描述总体参数的统计量？()A.样本均值B.样本标准差C.总体均值D.总体标准差17.在假设检验中，以下哪些是犯第一类错误的可能原因？()A.样本量过小B.样本方差过大C.原假设错误D.统计量分布错误18.以下哪些是描述离散型随机变量的特征？()A.期望值B.方差C.离散系数D.累积分布函数19.以下哪些是描述连续型随机变量的特征？()A.均值B.方差C.离散系数D.累积分布函数三、填空题(共5题)20.假设总体方差已知，进行假设检验时，检验统计量服从______分布。21.在正态分布中，若均值μ=0，标准差σ=1，则该随机变量服从______分布。22.如果一个随机变量的概率密度函数是偶函数，那么这个随机变量的分布一定是______分布。23.在二项分布中，当n增大而p趋向于0时，二项分布趋近于______分布。24.在假设检验中，如果拒绝原假设后，实际上原假设是正确的，这种情况称为______错误。四、判断题(共5题)25.在正态分布中，均值、中位数和众数都相等。()A.正确B.错误26.在二项分布中，事件的概率p越大，分布的方差也越大。()A.正确B.错误27.指数分布的累积分布函数是单调递增的。()A.正确B.错误28.在样本量固定的情况下，增加样本标准差会导致样本均值的标准误差增加。()A.正确B.错误29.在假设检验中，如果计算出的p值小于显著性水平α，则拒绝原假设。()A.正确B.错误五、简单题(共5题)30.什么是假设检验？请简述假设检验的基本步骤。31.什么是置信区间？请解释置信区间的含义和计算方法。32.什么是中心极限定理？它有什么重要意义？33.什么是皮尔逊相关系数？它如何衡量两个变量之间的线性关系？34.什么是卡方检验？它通常用于哪些类型的假设检验？

统计学第三章练习题附答案一、单选题(共10题)1.【答案】A【解析】首先计算Z值，Z=(X-μ)/σ=(52-50)/2=1。查标准正态分布表得P(Z>1)=1-P(Z≤1)=1-0.8413=0.1587。由于选项中没有0.1587，最接近的是0.1357。2.【答案】C【解析】使用正态近似法计算置信区间，n=10，p̂=3/10=0.3，q=1-p̂=0.7，标准误差SE=sqrt(p̂q/n)≈sqrt(0.3*0.7/10)≈0.1225。对于95%的置信区间，z值约为1.96。置信区间为(p̂-z*SE,p̂+z*SE)≈(0.3-1.96*0.1225,0.3+1.96*0.1225)≈(0.2,0.4)。3.【答案】B【解析】由于成绩服从正态分布，均值μ=80分，标准差σ=10分，成绩在70分至90分之间的概率可以通过计算Z值来得到。Z1=(70-80)/10=-1，Z2=(90-80)/10=1。查标准正态分布表得P(-1≤Z≤1)≈0.9544。4.【答案】B【解析】与上一题类似，计算Z值，Z1=(4000-5000)/1000=-1，Z2=(6000-5000)/1000=1。查标准正态分布表得P(-1≤Z≤1)≈0.9544。5.【答案】A【解析】指数分布的累积分布函数为F(x)=1-e^(-λx)，其中λ=1/平均寿命=1/1000。计算P(X>1500)=1-F(1500)=1-e^(-1.5)≈0.1813。6.【答案】C【解析】计算Z值，Z1=(9-10)/1=-1，Z2=(11-10)/1=1。查标准正态分布表得P(-1≤Z≤1)≈0.8413。7.【答案】B【解析】计算Z值，Z1=(800-1000)/100=-2，Z2=(1200-1000)/100=2。查标准正态分布表得P(-2≤Z≤2)≈0.9544。8.【答案】B【解析】计算Z值，Z1=(30000-50000)/10000=-2，Z2=(70000-50000)/10000=2。查标准正态分布表得P(-2≤Z≤2)≈0.9544。9.【答案】B【解析】计算Z值，Z1=(5000-8000)/2000=-2.5，Z2=(11000-8000)/2000=1.5。查标准正态分布表得P(-2.5≤Z≤1.5)≈0.9544。10.【答案】B【解析】计算Z值，Z1=(450-500)/50=-1，Z2=(550-500)/50=1。查标准正态分布表得P(-1≤Z≤1)≈0.9544。11.【答案】B【解析】计算Z值，Z1=(20000-30000)/6000=-1.67，Z2=(40000-30000)/6000=1.67。查标准正态分布表得P(-1.67≤Z≤1.67)≈0.9544。12.【答案】B【解析】计算Z值，Z1=(6-8)/2=-1，Z2=(10-8)/2=1。查标准正态分布表得P(-1≤Z≤1)≈0.9544。13.【答案】B【解析】由于汽车拥有率是一个比例，可以将其视为正态分布的连续近似。计算Z值，Z1=(0.2-0.3)/0.1=-1，Z2=(0.4-0.3)/0.1=1。查标准正态分布表得P(-1≤Z≤1)≈0.9544。14.【答案】B【解析】由于n较大，可以使用正态近似。均值μ=np=50，标准差σ=sqrt(npq)=sqrt(50*0.5*0.5)=sqrt(12.5)。计算Z值，Z1=(40-50)/sqrt(12.5)≈-1.96，Z2=(60-50)/sqrt(12.5)≈1.96。查标准正态分布表得P(-1.96≤Z≤1.96)≈0.6826。二、多选题(共5题)15.【答案】AC【解析】正态分布是一种常见的连续概率分布，当样本量较大时，无论总体分布如何，样本均值分布都会趋近于正态分布，因此选项A和C是正确的。当样本量较小时，如果总体分布已知为正态分布，那么样本均值也会服从正态分布，因此选项D也是正确的。选项B是错误的，因为样本量较小时，即使总体分布未知，也不能保证样本均值服从正态分布。16.【答案】CD【解析】总体均值和总体标准差是描述总体特征的参数，它们是未知的，通常需要通过样本数据来估计。样本均值和样本标准差是描述样本特征的统计量，它们是根据样本数据计算得出的。因此，选项C和D是正确的描述总体参数的统计量。17.【答案】ABD【解析】第一类错误是指原假设实际上为真，但被错误地拒绝了。样本量过小可能导致统计检验的效力不足，样本方差过大可能导致统计量的分布与理论分布有较大差异，统计量分布错误也可能导致错误地拒绝原假设。原假设错误并不是犯第一类错误的可能原因，因为原假设错误本身并不会导致错误地拒绝原假设。因此，选项A、B和D是正确的。18.【答案】ABC【解析】离散型随机变量的特征包括期望值（数学期望）、方差和离散系数。期望值是随机变量取值的平均值，方差是衡量随机变量取值分散程度的度量，离散系数是方差的标准化形式。累积分布函数是描述连续型随机变量的特征，因此选项D不是描述离散型随机变量的特征。19.【答案】ABD【解析】连续型随机变量的特征包括均值（期望值）、方差和累积分布函数。均值是随机变量取值的平均值，方差是衡量随机变量取值分散程度的度量，累积分布函数是描述随机变量取值小于或等于某个值的概率。离散系数是方差的标准化形式，通常用于离散型随机变量。因此，选项A、B和D是正确的描述连续型随机变量的特征。三、填空题(共5题)20.【答案】t【解析】当总体方差已知时，样本均值与总体均值之差的标准化形式服从t分布。t分布的形状与样本量有关，样本量越大，t分布越接近标准正态分布。21.【答案】标准正态分布【解析】当正态分布的均值μ=0，标准差σ=1时，该分布称为标准正态分布。标准正态分布是所有正态分布的一个特例，其概率密度函数是已知的。22.【答案】对称分布【解析】偶函数是指函数图像关于y轴对称，因此如果一个随机变量的概率密度函数是偶函数，那么其分布也必须是关于某个轴对称的，即对称分布。23.【答案】正态分布【解析】根据中心极限定理，当二项分布的样本量n足够大，而事件发生的概率p相对较小时，二项分布的极限分布是正态分布。这是二项分布的一种渐近性质。24.【答案】第一类错误【解析】在假设检验中，第一类错误是指原假设为真时，却错误地拒绝了它。这种错误也被称为假阳性错误或TypeI错误。四、判断题(共5题)25.【答案】正确【解析】正态分布是一种对称分布，其均值、中位数和众数都位于对称轴上，因此它们是相等的。26.【答案】错误【解析】在二项分布中，事件的概率p越大，分布的方差实际上越小。方差是np(1-p)，当p接近0.5时，方差达到最大。27.【答案】正确【解析】指数分布的累积分布函数是单调递增的，这是因为指数分布的概率密度函数是单调递减的，累积分布函数是概率密度函数的积分，因此也是单调递增的。28.【答案】正确【解析】样本均值的标准误差是样本标准差除以样本量的平方根。因此，当样本量固定时，增加样本标准差会导致样本均值的标准误差增加。29.【答案】正确【解析】在假设检验中，如果p值小于显著性水平α，这意味着观察到的结果在原假设为真的情况下发生的概率很小，因此有足够的证据拒绝原假设。五、简答题(共5题)30.【答案】假设检验是一种统计方法，用于判断样本数据是否提供了足够的证据来拒绝或接受关于总体参数的假设。基本步骤包括：提出原假设和备择假设、选择显著性水平α、计算检验统计量、确定拒绝域、比较检验统计量与拒绝域，并根据比较结果做出决策。【解析】假设检验的目的是通过样本数据来推断总体参数的情况。基本步骤包括提出原假设和备择假设，选择显著性水平α来定义拒绝域，计算检验统计量，比较检验统计量与拒绝域，并根据比较结果做出拒绝或接受原假设的决策。31.【答案】置信区间是用于估计总体参数的一个区间，它包含了总体参数的真实值的概率。置信区间的含义是在给定的置信水平下，区间内包含总体参数真实值的概率。计算方法通常涉及样本统计量（如样本均值）和标准误差，以及相应的分布（如正态分布或t分布）。【解析】置信区间是统计学中用来估计总体参数范围的一种方法。它告诉我们，在一定置信水平下，总体参数的真实值很可能落在计算出的区间内。置信区间的计算通常基