2025年上学期高一数学知识点串联试题（二）

2025年上学期高一数学知识点串联试题（二）一、集合与常用逻辑用语综合题1.已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，集合(B={x|x^2-(a+1)x+a<0})，其中(a\in\mathbb{R})。（1）求集合(A)及(\complement_{\mathbb{R}}A)；（2）若“(x\inA)”是“(x\inB)”的必要不充分条件，求实数(a)的取值范围；（3）设命题(p)：(\existsx\inB)，使得(x^2-2x+m\leq0)，若命题(p)为假命题，求实数(m)的最小值。解析思路：（1）解二次不等式(x^2-3x+2\leq0)得(A=[1,2])，补集(\complement_{\mathbb{R}}A=(-\infty,1)\cup(2,+\infty))；（2）必要不充分条件等价于(B\subsetneqqA)，对集合(B)分类讨论：当(a=1)时(B=\varnothing)满足条件；当(a>1)时(B=(1,a)\subseteq[1,2])需(a\leq2)；当(a<1)时(B=(a,1)\nsubseteqA)，综上(a\in[1,2])；（3）命题(p)的否定“(\forallx\inB)，(x^2-2x+m>0)”为真，即(m>-x^2+2x)在(B)上恒成立，结合二次函数(y=-x^2+2x)在([1,2])的最大值为1，故(m>1)，最小值为2。二、函数性质与导数应用综合题2.已知函数(f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x})（(a>0)）是奇函数，且当(x=1)时(f(x))取得极小值2。（1）求函数(f(x))的解析式；（2）若对任意(x\in[\frac{1}{2},2])，不等式(f(x)\leqt-\frac{1}{x})恒成立，求实数(t)的取值范围；（3）设函数(g(x)=f(x)+\lnx)，判断函数(g(x))在区间((0,e])上的零点个数（其中(e\approx2.718)）。关键步骤：（1）奇函数性质得(c=0)，化简(f(x)=ax+\frac{b}{x})，由极值条件(f(1)=a+b=2)且(f'(1)=a-b=0)，解得(a=b=1)，故(f(x)=x+\frac{1}{x})；（2）不等式转化为(t\geqx+\frac{2}{x})，设(h(x)=x+\frac{2}{x})，求导得(h(x))在([\frac{1}{2},\sqrt{2}])递减，([\sqrt{2},2])递增，最大值为(h(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2})，故(t\geq\frac{9}{2})；（3）(g(x)=x+\frac{1}{x}+\lnx)，求导(g'(x)=1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x^2+x-1}{x^2})，零点(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0.618)，分析单调性得(g(x))在((0,0.618))递减，((0.618,e])递增，计算(g(0.618)\approx2.118>0)，无零点。三、三角函数与解三角形综合题3.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的对边分别为(a,b,c)，已知(\sinA+\sinB=2\sinC)，且(\cos2C+2\cos(A+B)=-\frac{3}{2})。（1）求角(C)的大小；（2）若(\triangleABC)的外接圆半径为2，求(a+b)的取值范围；（3）设(D)为(BC)中点，若(AD=\sqrt{7})，求(\triangleABC)面积的最大值。核心公式应用：（1）由诱导公式(\cos(A+B)=-\cosC)，代入二倍角公式得(2\cos^2C-1-2\cosC=-\frac{3}{2})，解得(\cosC=\frac{1}{2})，故(C=\frac{\pi}{3})；（2）正弦定理(a=4\sinA)，(b=4\sinB)，(A+B=\frac{2\pi}{3})，则(a+b=4[\sinA+\sin(\frac{2\pi}{3}-A)]=4\sqrt{3}\sin(A+\frac{\pi}{6}))，由(A\in(0,\frac{2\pi}{3}))得(a+b\in(2\sqrt{3},4\sqrt{3}])；（3）向量法(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}))，平方得(7=\frac{1}{4}(c^2+b^2+bc))，结合余弦定理(c^2=a^2+b^2-ab)及基本不等式，得面积(S=\frac{\sqrt{3}}{4}ab\leq3\sqrt{3})。四、数列与不等式综合题4.已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n-1)，数列({b_n})的前(n)项和(S_n=n^2+2n)。（1）求数列({a_n})和({b_n})的通项公式；（2）设(c_n=\frac{b_n}{a_n+n})，求数列({c_n})的前(n)项和(T_n)；（3）证明：对任意(n\in\mathbb{N}^*)，不等式(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<\frac{5}{3})恒成立。解题策略：（1）构造等比数列求(a_n)：设(a_{n+1}+(n+1)=2(a_n+n))，得(a_n+n=2^n)，故(a_n=2^n-n)；(b_n=S_n-S_{n-1}=2n+1)（(n\geq2)），验证(b_1=3)满足；（2）(c_n=\frac{2n+1}{2^n})，错位相减法求和：(T_n=3\cdot\frac{1}{2}+5\cdot\frac{1}{4}+\cdots+(2n+1)\frac{1}{2^n})，两边乘2后相减得(T_n=5-\frac{2n+5}{2^n})；（3）放缩法证明：当(n=1)时(1<\frac{5}{3})；当(n\geq2)时(\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n-n}<\frac{1}{2^{n-1}})，利用等比数列求和(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots=2<\frac{5}{3})（需调整放缩精度，如(n\geq3)时(\frac{1}{2^n-n}<\frac{1}{2^n-2^{n-2}}=\frac{1}{3\cdot2^{n-2}})）。五、立体几何与空间向量综合题5.如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)中点，(E)为(A_1C_1)中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A_1-BD-C_1)的余弦值；（3）设点(F)在线段(B_1C_1)上，若(AF\perpDE)，求线段(B_1F)的长度。空间向量解法：（1）建立坐标系(A-xyz)，坐标(D(1,1,0))，(E(0,1,2))，向量(\overrightarrow{DE}=(-1,0,2))，平面(ABB_1A_1)法向量(\vec{n}=(0,1,0))，(\overrightarrow{DE}\cdot\vec{n}=0)且(DE\not\subset)平面，得证；（2）平面(A_1BD)法向量(\vec{m}=(1,-1,1))，平面(C_1BD)法向量(\vec{p}=(1,-1,-1))，余弦值(\cos\theta=\frac{\vec{m}\cdot\vec{p}}{|\vec{m}||\vec{p}|}=\frac{1}{3})；（3）设(F(2\lambda,2-2\lambda,2))（(\lambda\in[0,1])），(\overrightarrow{AF}=(2\lambda,2-2\lambda,2))，由(\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{DE}=-2\lambda+4=0)得(\lambda=2)（舍），调整参数方程后解得(\lambda=\frac{1}{2})，(B_1F=\sqrt{2})。六、概率统计与函数建模综合题6.某工厂生产一种精密仪器，其质量指标(X)服从正态分布(N(100,\sigma^2))，且(P(X<85)=0.0228)。（1）求(P(100\leqX<115))的值；（2）质量指标在([90,110])的产品为一等品，每件可获利500元；在([85,90)\cup(110,115])的为二等品，每件可获利200元；其余为不合格品，每件亏损100元。现从该工厂随机抽取10件产品，设(Y)为这10件产品的总利润，求(Y)的数学期望；（3）为提高利润，工厂计划升级生产线，两种方案可选：方案甲升级后(\sigma=5)，成本增加1000元/天；方案乙升级后(\mu=105)，(\sigma=10)，成本增加800元/天。若工厂每天生产100件产品，以每天利润的期望值为决策依据，应选择哪种方案？数据处理：（1）由(P(X<85)=\Phi(\frac{85-100}{\sigma})=0.0228)得(\sigma=15)，故(P(100\leqX<115)=\Phi(1)-0.5=0.3413)；（2）计算各等级概率：一等品(P=0.4772)，二等品(P=0.2718)，不合格品(P=0.2510)，单件利润期望(E=500\times0.4772+200\times0.2718-100\times0.2510=276.56)元，10件总期望2765.6元；（3）方案甲：(\sigma=5)时一等品概率(0.9544)，单利期望(500\times0.9544+200\times0.0456-100\times0=486.32)元，日利润(100\times486.32-1000=47632)元；方案乙：(\mu=105)时，一等品概率(P(90\leqX\leq110)=\Phi(0.5)-\Phi(-1.5)=0.6247)，单利期望(500\times0.6247+200\times0.3413-100\times0.034=381.51)元，日利润(100\times381.51-800=37351)元，选方案甲。七、解析几何与不等式综合题7.已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，右焦点为(F)，上顶点为(M)，且(\triangleOFM)的面积为(\frac{\sqrt{3}}{4})（(O)为原点）。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）过点(F)的直线(l)与椭圆交于(A,B)两点，设线段(AB)的中点为(N)，若原点(O)在以(AB)为直径的圆上，求直线(ON)的斜率；（3）设动直线(y=kx+m)与椭圆(C)交于(P,Q)两点，且(OP\perpOQ)，求证：点(O)到直线(PQ)的距离为定值，并求(\triangleOPQ)面积的最大值。代数运算要点：（1）由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，面积(\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{3}}{4})，结合(a^2=b^2+c^2)解得(a=2)，(b=1)，方程为(\frac{x^2}{4}+y^2=1)；（2）设直线(l:x=ty+\sqrt{3})，联立椭圆得((t^2+4)y^2+2\sqrt{3}ty-1=0)，由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，代入韦达定理解得(t^2=\frac{1}{8})，中点(N)坐标((\frac{4\sqrt{3}}{t^2+4},\frac{-\sqrt{3}t}{t^2+4}))，斜率(k_{ON}=-\frac{t}{4}=\pm\frac{\sqrt{2}}{8})；（3）由(OP\perpOQ)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，联立直线与椭圆得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0)，代入韦达定理得(5m^2=4(1+k^2))，原点距离(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5})为定值；面积(S=\frac{1}{2}d\cdot|PQ|)，利用弦长公式及基本不等式得最大值为1。八、函数与导数的实际应用题8.某企业生产一种智能机器人，固定成本为200万元，每生产一台机器人需增加投入10万元，设该企业一年内生产该机器人(x)台并全部销售完，每台机器人的销售收入为(R(x))万元，且(R(x)=\begin{cases}50-\frac{1}{2}x,&0<x\leq40\\frac{1000}{x}-\frac{4000}{x^2},&x>40\end{cases})。（1）写出年利润(L(x))（万元）关于年产量(x)（台）的函数解析式；（2）当年产量为多少台时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？（3）若该企业的年利润不低于400万元，求年产量(x)的取值范围。分段函数处理：（1）当(0<x\leq40)时，(L(x)=xR(x)-(200+10x)=-\frac{1}{2}x^2+40x-200)；当(x>40)时，(L(x)=xR(x)-(200+10x)=-\frac{4000}{x}-10x+800)；（2）分段求最值：二次函数在(x=40)时取得最大值600万元；对勾函数(L(x)=-10(x+\frac{400}{x})+800\leq-10\times40+800=400)万元，故最大利润为600万元（40台）；（3）解不等式：当(0<x\leq40)时(-\frac{1}{2}x^2+40x-200\geq400)得(20\leqx\leq40)；当(x>40)时(-\frac{4000}{x}-10x+800\geq400)无解，故(x\in[20,40])。九、数列与数学归纳法综合题9.已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})（(n\in\mathbb{N}^)）。*（1）求证：数列({\frac{1}{a_n}})是等差数列，并求(a_n)；（2）设(b_n=a_n\cdota_{n+1}\cdot2^n)，求数列({b_n})的前(n)项和(S_n)；（3）用数学归纳法证明：对任意(n\geq2)，有(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2<\frac{3}{2})。数学归纳法步骤：（1）取倒数得(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2})，等差数列(\frac{1}{a_n}=\frac{n+1}{2})，故(a_n=\frac{2}{n+1})；（2）(b_n=\frac{4\cdot2^n}{(n+1)(n+2)}=4(\frac{2^n}{n+1}-\frac{2^{n+1}}{n+2}))，裂项相消得(S_n=4(\frac{2}{2}-\frac{2^{n+1}}{n+2})=4-\frac{2^{n+3}}{n+2})；（3）①当(n=2)时(1+(\frac{2}{3})^2=\frac{13}{9}<\frac{3}{2})成立；②假设(n=k)时成立，当(n=k+1)时，(S_{k+1}=S_k+(\frac{2}{k+2})^2<\frac{3}{2}+\frac{4}{(k