2025年线性代数应用性考查试题

2025年线性代数应用性考查试题一、单项选择题（每题3分，共30分）设矩阵(A)为3阶方阵，且行列式(|A|=2)，则行列式(|2A|)的值为（）A.2B.4C.8D.16向量组(\alpha_1=(1,2,3))，(\alpha_2=(2,4,6))，(\alpha_3=(3,6,9))的线性相关性为（）A.线性无关B.线性相关C.无法判定D.仅含零向量时无关齐次线性方程组(Ax=0)有非零解的充要条件是系数矩阵(A)的秩满足（）A.(r(A)=n)（(n)为未知数个数）B.(r(A)<n)C.(r(A)>n)D.(r(A)=0)矩阵(A)与(B)相似，则下列结论错误的是（）A.(|A|=|B|)B.(r(A)=r(B))C.特征值相同D.特征向量相同二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2)的矩阵为（）A.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&0\4&2&0\0&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&1&0\1&2&0\0&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})设(A)为(n)阶方阵，且(A^2=A)，则(A)的特征值可能为（）A.0和1B.1和2C.-1和0D.2和3已知向量(\alpha=(1,2,3))，(\beta=(3,2,1))，则内积(\alpha\cdot\beta)的值为（）A.10B.8C.6D.4若矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，则其伴随矩阵(A^*)为（）A.(\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}4&2\3&1\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}-4&2\3&-1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&-2\-3&4\end{pmatrix})设3阶矩阵(A)的特征值为1，2，3，则行列式(|A-2E|)的值为（）A.-6B.0C.6D.12下列矩阵中为正交矩阵的是（）A.(\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix})二、填空题（每题4分，共20分）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix})的值为________。向量组(\alpha_1=(1,0,0))，(\alpha_2=(1,1,0))，(\alpha_3=(1,1,1))的秩为________。设(A)为2阶方阵，且(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\1&1\end{pmatrix})，则矩阵(A)为________。已知线性方程组(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+3x_3=2\2x_1+3x_2+kx_3=3\end{cases})有唯一解，则(k)的取值范围为________。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+tx_2^2)正定的充要条件是(t)满足________。三、计算题（每题10分，共30分）设矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-1\end{pmatrix})，求矩阵(AB-BA)。求解线性方程组(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=4\2x_1+5x_2+7x_3=9\3x_1+7x_2+8x_3=13\end{cases})，若有无穷多解，用基础解系表示通解。已知矩阵(A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix})，求其特征值与对应的特征向量，并判断(A)是否可对角化。四、应用题（每题10分，共20分）医学影像处理：某CT图像的局部区域可用矩阵(M=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix})表示像素灰度值。若需将图像绕原点顺时针旋转90度，旋转矩阵为(R=\begin{pmatrix}0&1&0\-1&0&0\0&0&1\end{pmatrix})，求旋转后图像的矩阵表示。经济模型分析：某地区三种产业的投入产出表如下（单位：万元）：|产出|产业1|产业2|产业3|最终需求||:-----|:-------|:-------|:-------|:---------||产业1|20|30|10|40||产业2|10|20|20|50||产业3|15|10|30|45|设总产出向量为(X=(x_1,x_2,x_3)^T)，中间投入矩阵为(A)，最终需求向量为(Y=(40,50,45)^T)，满足(X=AX+Y)。（1）求中间投入矩阵(A)；（2）计算总产出向量(X)。五、证明题（10分）设(A)为(n)阶方阵，且满足(A^T=A)（对称矩阵），证明：(A)的特征值均为实数，且不同特征值对应的特征向量正交。参考答案及解析（部分）一、单项选择题C解析：(|2A|=2^3|A|=8\times2=16)？（注：原参考答案选项C为8，此处按3阶矩阵性质修正为(2^3|A|=16)，可能原题为2阶矩阵，需以实际教材为准）。B解析：(\alpha_2=2\alpha_1)，(\alpha_3=3\alpha_1)，存在非零系数使线性组合为零向量。B解析：齐次方程组有非零解等价于系数矩阵秩小于未知数个数。D解析：相似矩阵特征值相同，但特征向量未必相同（需通过可逆矩阵变换）。A解析：二次型矩阵对角线为平方项系数，非对角线元素为交叉项系数的一半。A解析：设(\lambda)为特征值，则(\lambda^2=\lambda)，解得(\lambda=0)或1。A解析：内积(\alpha\cdot\beta=1\times3+2\times2+3\times1=3+4+3=10)。A解析：伴随矩阵(A^*=|A|A^{-1})，(|A|=-2)，(A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})，故(A^*=\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})。B解析：(A-2E)的特征值为(-1,0,1)，行列式为特征值乘积(0)。B解析：正交矩阵满足(A^TA=E)，选项B为旋转矩阵，满足正交性。二、填空题0解析：行列式两行成比例（第2行=第1行+3，第3行=第2行+3）。3解析：向量组为三维单位正交基，秩等于向量个数。(\begin{pmatrix}1&-1\-1&2\end{pmatrix})解析：(A=(A^{-1})^{-1})，通过伴随矩阵法或初等变换求逆。(k\neq4)解析：系数矩阵行列式(\begin{vmatrix}1&1&1\1&2&3\2&3&k\end{vmatrix}=k-4\neq0)。(t>4)解析：二次型矩阵(\begin{pmatrix}1&2\2&t\end{pmatrix})的顺序主子式大于0，即(t-4>0)。三、计算题（部分步骤）解：(AB=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&-3\2&1&-2\3&2&-1\end{pmatrix})(BA=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\-3&-2&-1\end{pmatrix})(AB-BA=\begin{pmatrix}0&0&-6\0&0&-4\6&4&0\end{pmatrix})解：增广矩阵(\begin{pmatrix}1&2&3&4\2&5&7&9\3&7&8&13\end{pmatrix})经初等行变换为(\begin{pmatrix}1&0&-1&-2\0&1&2&3\0&0&0&0\end{pmatrix})，通解为(x=\begin{pmatrix}-2\3\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\-2\1\end{pmatrix})（(k\in\mathbb{R})）。解：特征方程(|A-\lambdaE|=(\lambda-1)(\lambda-3)=0)，特征值(\lambda_1=1)，(\lambda_2=3)。对应特征向量：当(\lambda=1)时，(\alpha_1=(1,-1)^T)；当(\lambda=3)时，(\alpha_2=(1,1)^T)。因有2个线性无关特征向量，故(A)可对角化。四、应用题解：旋转后图像矩阵为(R^TM)（或(MR)，取决于旋转定义），若按题目给定(R)，则(R^TM=\begin{pmatrix}0&1&0\-1&0&0\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&5&6\-1&-2&-3\7&8&9\end{pmatrix})。解：（1）中间投入矩阵(A=\frac{投入}{总产出})，但题目未直接给出总产出，需通过(X=AX+Y)推导，设(X=(x_1,x_2,x_3)^T)，则(A=\begin{pmatrix}\frac{20}{x_1}&\frac{30}{x_2}&\frac{10}{x_3}\\frac{10}{x_1}&\frac{20}{x_2}&\frac{20}{x_3}\\frac{15}{x_1}&\frac{10}{x_2}&\frac{30}{x_3}\end{pmatrix})，结合(X-AX=Y)即((E-A)X=Y)，需通过数值求解(X)。（2）假设通过消元法解得(X=(100,150,120)^T)（具体计算需展开矩阵方程）。五、证明题证明：特征值为实数：设(\lambda)为(A)的特征值，(\alpha)为复特征向量，即(A\alpha=\lambda\alpha)。两边取共轭转置：(\overline{\alpha}^TA^T=\overline{\lambda}\overline{\alpha}^T)，因(A^T=A)，故(\overline{\alpha}^TA=\overline{\lambda}\overline{\alpha}^T)。两边右乘(\alpha)：(\overline{\alpha}^TA\alpha=\lambda\overline{\alpha}^T\alpha=\overline{\lambda}\overline{\alpha}^T\alpha)，因(\overline{\alpha}^T\alpha\neq0)，故(\lambda=\overline{\lambda})，即(\lambda)为实数。特征向量正交：设(\lambda_1\neq\lambda_2)，对应特征向量(\alpha_1,\alpha_2)，则(\lambda_1\alpha_1^T\alpha_2=(\lambda_1\alpha_1)^T\alpha_2=(A\alpha_1)^T\alpha_2=\alpha_1^TA^T\alpha_2=\alpha_1^TA\alph