2025管理科学与工程考研运筹学冲刺模拟卷及答案

2025管理科学与工程考研运筹学冲刺模拟卷及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题2分，共10分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。）1.在线性规划问题中，下列关于可行解、最优解和最优解性质的描述，正确的是（）。A.可行解一定存在，但最优解不一定存在。B.最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。C.最优解是使目标函数值达到最大或最小的基可行解。D.若线性规划问题有最优解，则最优解唯一。2.已知线性规划问题：MaxZ=3x1+2x2s.t.x1+x2≤42x1+x2≤5x1,x2≥0用图解法求解，该问题的最优解是（）。A.(0,0)B.(4,0)C.(2,2)D.(0,5)3.在单纯形法迭代中，若某非基变量的检验数σj>0，但该检验数对应的列向量（除对角线外）的所有元素均小于或等于零，则该线性规划问题（）。A.有唯一最优解。B.有无穷多最优解。C.无界。D.可能存在最优解，也可能无解。4.对于一个标准的线性规划问题，若其对应对偶问题的最优解为(y1*,y2*,...,yn*)，则原问题的最优解x*应满足（）。A.cx*=0B.cx*=bTy*C.Ax*=bD.Ax*≤b5.在整数规划问题中，若用分支定界法求解，在得到某个整数解后，为确定该解是否为最优解，需要（）。A.继续进行分支。B.停止算法，该解即为最优整数解。C.检查该解是否满足所有整数约束。D.用分支定界树的最下端节点对应的解进行比较。二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在题中横线上。）6.若线性规划问题的某个基本解对应的基变量中，存在取值为零的非基变量，则该基本解称为________解。7.在运筹学中，用图示法求解的两变量线性规划问题，其可行域通常是一个________多边形。8.对偶单纯形法主要用于求解初始基本解________的情况。9.某排队系统只有一个服务台，若到达的顾客流服从泊松分布，平均到达率为λ；服务时间服从负指数分布，平均服务率为μ。当λ<μ时，该系统处于________状态。10.在决策分析中，若决策者根据经验或主观判断确定各自然状态发生的概率，这种决策方法称为________决策。三、计算题（每小题10分，共30分。请写出详细的计算步骤。）11.用单纯形法求解下列线性规划问题：MinZ=2x1+3x2s.t.x1+x2≥3x1+2x2≥4x1,x2≥012.某工厂计划生产两种产品A和B，需要消耗三种资源：劳动工时、原材料和设备台时。已知生产每单位产品A和B所需资源、每单位产品的利润以及资源总量如下表所示（表中资源限制均为“≤”）：|资源|产品A|产品B|资源总量||:---------|:-----|:-----|:-------||劳动工时|2|1|40||原材料|3|2|100||设备台时|1|2|50||单位利润(元)|5|4||问：该工厂应如何安排生产计划，才能使总利润最大？请建立线性规划模型，并用单纯形法求解。13.某工程由四个工序组成，它们的先后顺序及所需时间（天）如下表所示：|工序|紧前工序|时间（天）||:---|:-------|:---------||A|-|3||B|A|4||C|A|5||D|B,C|6|试用图上法计算该工程的总工期，并标出关键路线。四、综合应用题（每小题15分，共30分。请结合问题背景，建立模型，进行求解和分析。）14.某公司拟投资100万元用于开发两种新产品X和Y。市场调研表明，若投资新产品X，预计年利润率为8%；若投资新产品Y，预计年利润率为12%。市场预测显示，投资新产品X的最大市场需求量为40万元，投资新产品Y的最大市场需求量为60万元。由于资源或管理原因，该公司规定对新产品X的投资额不能超过对新产品Y的投资额的1.5倍。问：该公司应如何分配这100万元资金，才能使预期年利润最大？请建立整数规划模型，并用图解法（仅考虑非整数解区域）进行求解，找出最优解的大致范围。15.某医院急诊室只有一个医生值班。病人按平均每小时到达2个的泊松流到达。医生服务一个病人平均需要15分钟，服务时间服从负指数分布。若等待的病人可以在候诊室等待。问：(1)平均有多少病人在候诊室等待？(2)平均有多少病人在系统中（包括被服务和等待）？(3)一个病人在系统中平均花费多少时间？(4)若要求等待的病人平均不超过3人（包括正在接受服务的病人），该系统是否满足要求？（请计算说明）---试卷答案一、单项选择题1.B2.C3.C4.B5.A二、填空题6.基本可行7.边界8.初始基本解是非可行解9.稳定10.主观三、计算题11.解：引入人工变量r1,r2，将原问题转化为标准形式：MaxZ=-2x1-3x2s.t.x1+x2-r1=3x1+2x2-r2=4x1,x2,r1,r2≥0初始单纯形表：|B|x1|x2|r1|r2|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|-----||Z|-2|-3|0|0|0|0||r1|1|1|-1|0|0|3||r2|1|2|0|-1|0|4|选择入基变量：max{-2,-3}=-2，对应x1。选择出基变量：min{3/1,4/1}=3，对应r1。主元为1。进行初等行变换：|B|x1|x2|r1|r2|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|-----||Z|0|-1|2|0|0|6||x1|1|1|-1|0|0|3||r2|0|1|1|-1|0|1|所有检验数σj≤0，停止。最优解为x1=3,x2=0。最优值为Z=6。（注：此题最终解为x1=3,x2=0，对应原问题解为x1=3,x2=0，Z=6。原题约束为“≥”，此转化引入“-”号，结果一致。）12.解：建立线性规划模型：MaxZ=5x1+4x2s.t.2x1+x2≤403x1+2x2≤100x1+2x2≤50x1,x2≥0引入松弛变量s1,s2,s3，化为标准形式：MaxZ=5x1+4x2s.t.2x1+x2+s1=403x1+2x2+s2=100x1+2x2+s3=50x1,x2,s1,s2,s3≥0初始单纯形表：|B|x1|x2|s1|s2|s3|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|----|-----||Z|-5|-4|0|0|0|0|0||s1|2|1|1|0|0|0|40||s2|3|2|0|1|0|0|100||s3|1|2|0|0|1|0|50|选择入基变量：max{-5,-4}=-5，对应x1。选择出基变量：min{40/2,100/3,50/1}=20/2=10，对应s1。主元为2。进行初等行变换：|B|x1|x2|s1|s2|s3|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|----|-----||Z|0|-1|5/2|0|0|0|100||x1|1|1/2|1/2|0|0|0|20||s2|0|1/2|-3/2|1|0|0|40||s3|0|3/2|-1/2|0|1|0|30|选择入基变量：max{-1,0}=-1，对应x2。选择出基变量：min{20/(1/2),40/(1/2),30/(3/2)}=40/1=40，对应s2。主元为1/2。进行初等行变换：|B|x1|x2|s1|s2|s3|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|----|-----||Z|0|0|7/2|1|0|0|140||x1|1|0|2/3|-1/2|0|0|0||x2|0|1|-3/2|2/2|0|0|80||s3|0|0|2/3|-3/2|1|0|10|所有检验数σj≤0，停止。最优解为x1=0,x2=80。最优值为Z=140。（注：此解对应原问题x1=0,x2=80。检查约束：2*0+1*80+s1=40=>s1=40-80=-40，不满足s1≥0。此单纯形表为最终表，说明原问题无解。需检查模型约束是否正确。根据题意资源均为“≤”，模型建立正确，故原问题无解。或题目可能意图是<，需确认。按标准形式和单纯形表结果，无可行解。）13.解：1.画图：按工序时间比例（可适当压缩）绘制甘特图或节点图。A(3)-->B(4)-->D(6)A(3)-->C(5)-->D(6)节点表示：A(0),B(3),C(3),D(7)2.最早时间（EarliestTime,ET）计算（从左到右）：ET(A)=0ET(B)=ET(A)+工序B时间=0+4=4ET(C)=ET(A)+工序C时间=0+5=5ET(D)=max{ET(B)+工序B时间,ET(C)+工序C时间}=max{4+4,5+5}=max{8,10}=103.最迟时间（LatestTime,LT）计算（从右到左）：LT(D)=max{ET(D)}=10LT(C)=LT(D)-工序C时间=10-5=5LT(B)=LT(D)-工序B时间=10-4=6LT(A)=min{LT(B),LT(C)}=min{6,5}=54.总时差（TotalFloat,TF）计算：TF=LT-ETTF(A)=5-0=5TF(B)=6-4=2TF(C)=5-5=0TF(D)=10-10=05.关键路线确定：总时差为零的工序构成关键路线。关键路线为：A(0,5)-->C(3,5)-->D(7,10)。6.总工期：终点节点D的最早时间ET(D)=10天。四、综合应用题14.解：(1)定义决策变量：x1：投资新产品X的金额（万元）x2：投资新产品Y的金额（万元）(2)目标函数：MaxZ=0.08x1+0.12x2(3)约束条件：x1+x2≤100（总投资额）x1≤40（X的市场限制）x2≤60（Y的市场限制）x1≤1.5x2（投资比例限制）x1,x2≥0（非负限制）(4)建立整数规划模型：MaxZ=0.08x1+0.12x2s.t.x1+x2≤100x1≤40x2≤60x1≤1.5x2x1,x2≥0,且为整数(5)用图解法求解（仅考虑非整数解区域）：首先考虑不考虑整数约束的线性规划问题：绘制可行域，由约束x1+x2≤100,x1≤40,x2≤60,x1≥0,x2≥0围成。顶点为：(0,0),(40,0),(40,60),(0,60),(0,100)。其中(40,0)和(0,60)在所有约束内。计算目标函数值：Z(40,0)=0.08*40+0.12*0=3.2Z(0,60)=0.08*0+0.12*60=7.2可行域顶点(40,0)和(0,60)是非整数规划问题的两个解。考虑整数约束：由于最优解必须是整数，且(0,60)已经是整数解，其目标函数值为7.2。检查(40,0)是否可以调整到整数解：它不满足x2≤60的整数要求。可以沿x1或x2方向调整。例如，沿x2方向调整，保持x1=40不变，则x2可以取59,58,...,0。目标函数值将小于7.2。沿x1方向调整，保持x2=0不变，则x1可以取39,38,...,0。目标函数值将小于3.2。因此，在不违反其他约束的情况下，最优整数解只能在(0,60)处取得。