2025年下学期高二数学多项选择题专练（一）

2025年下学期高二数学多项选择题专练（一）一、函数与导数1.下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的有（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=e^x-e^{-x})D.(f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1})解析：A选项：(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x))，为奇函数。导数(f'(x)=3x^2\geq0)，且仅在(x=0)处导数为0，故在定义域内单调递增，正确。B选项：(\sin(-x)=-\sinx)，为奇函数，但(\sinx)在(\mathbb{R})上不单调（如在([0,\frac{\pi}{2}])递增，在([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}])递减），错误。C选项：(f(-x)=e^{-x}-e^x=-f(x))，为奇函数。导数(f'(x)=e^x+e^{-x}>0)，故在(\mathbb{R})上单调递增，正确。D选项：(f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{1-2^x}{1+2^x}=-f(x))，为奇函数。化简得(f(x)=1-\frac{2}{2^x+1})，由于(2^x)单调递增，故(f(x))单调递增，正确。答案：ACD2.已知函数(f(x)=x^3-ax^2+bx+c)在(x=1)和(x=3)处有极值，则下列结论正确的有（）A.(a=6)B.(b=9)C.函数的极大值点为(x=1)D.若(f(0)=2)，则(c=2)解析：导数(f'(x)=3x^2-2ax+b)，极值点处导数为0，即(f'(1)=3-2a+b=0)，(f'(3)=27-6a+b=0)。联立解得(a=6)，(b=9)，A、B正确。导数(f'(x)=3(x-1)(x-3))，当(x<1)时(f'(x)>0)，(1<x<3)时(f'(x)<0)，(x>3)时(f'(x)>0)，故极大值点为(x=1)，极小值点为(x=3)，C正确。(f(0)=c=2)，D正确。答案：ABCD二、三角函数与解三角形3.已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\sin\alpha=\frac{3}{5})，则下列结论正确的有（）A.(\cos\alpha=\frac{4}{5})B.(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=7)C.(\sin2\alpha=\frac{24}{25})D.(\cos(\frac{\pi}{2}-2\alpha)=\frac{7}{25})解析：A选项：(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{4}{5})，正确。B选项：(\tan\alpha=\frac{3}{4})，(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=\frac{\frac{3}{4}+1}{1-\frac{3}{4}}=7)，正确。C选项：(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{25})，正确。D选项：(\cos(\frac{\pi}{2}-2\alpha)=\sin2\alpha=\frac{24}{25})，错误。答案：ABC4.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(A=\frac{\pi}{3})，则下列说法正确的有（）A.(\sinB=\frac{1}{2})B.(B=\frac{\pi}{6})C.(c=4)D.(\triangleABC)的面积为(\sqrt{3})解析：由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB})，得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2})，A正确。(a>b)，故(A>B)，则(B=\frac{\pi}{6})（(B=\frac{5\pi}{6})舍去），B正确。(C=\pi-A-B=\frac{\pi}{2})，由勾股定理(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12+4}=4)，C正确。面积(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times2\times1=2\sqrt{3})，D错误。答案：ABC三、平面向量与解析几何5.已知向量(\overrightarrow{a}=(2,1))，(\overrightarrow{b}=(1,-2))，则下列结论正确的有（）A.(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b})B.(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{10})C.与(\overrightarrow{a})同向的单位向量为((\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}))D.若(\overrightarrow{c}=(x,y))满足(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=0)且(|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5})，则(\overrightarrow{c}=(1,-2))解析：A选项：(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times1+1\times(-2)=0)，故垂直，正确。B选项：(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,-1))，(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10})，正确。C选项：(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5})，单位向量为(\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}=(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}))，正确。D选项：由(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=2x+y=0)和(x^2+y^2=5)，解得(\overrightarrow{c}=(1,-2))或((-1,2))，错误。答案：ABC6.已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(2)，右焦点为(F(2,0))，则下列结论正确的有（）A.(a=1)B.(b=\sqrt{3})C.渐近线方程为(y=\pm\sqrt{3}x)D.点((1,\sqrt{3}))在双曲线上解析：离心率(e=\frac{c}{a}=2)，右焦点(F(2,0))即(c=2)，故(a=1)，A正确。(c^2=a^2+b^2)，得(b^2=4-1=3)，即(b=\sqrt{3})，B正确。渐近线方程(y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{3}x)，C正确。将((1,\sqrt{3}))代入双曲线方程：(\frac{1}{1}-\frac{3}{3}=0\neq1)，故不在双曲线上，D错误。答案：ABC四、数列与不等式7.已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)，则下列结论正确的有（）A.公差(d=2)B.(a_1=1)C.(S_n=n^2)D.若(a_m=2025)，则(m=1013)解析：设公差为(d)，则(a_3=a_1+2d=5)，(S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25)，联立解得(a_1=1)，(d=2)，A、B正确。(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n+n(n-1)=n^2)，C正确。(a_m=a_1+(m-1)d=1+2(m-1)=2m-1=2025)，解得(m=1013)，D正确。答案：ABCD8.关于不等式(x^2-3x+2\leq0)的解法及应用，下列结论正确的有（）A.解集为([1,2])B.若(x\in[0,3])，则不等式的解集为([1,2])C.若(x>0)，则(\frac{x^2-3x+2}{x}\leq0)的解集为((0,1]\cup[2,+\infty))D.若(a>0)，则(x^2-3x+2\leqa)的解集为(\mathbb{R})解析：A选项：(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\leq0)，解集为([1,2])，正确。B选项：在([0,3])内，不等式解集仍为([1,2])，正确。C选项：(\frac{(x-1)(x-2)}{x}\leq0)，等价于(x(x-1)(x-2)\leq0)且(x\neq0)，解得((0,1]\cup[2,+\infty))，正确。D选项：当(a=0.1)时，(x^2-3x+1.9\leq0)，判别式(\Delta=9-7.6=1.4>0)，解集不为(\mathbb{R})，错误。答案：ABC五、立体几何与概率统计9.已知正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)的棱长为2，下列结论正确的有（）A.直线(AC_1)与平面(ABCD)所成角的正切值为(\frac{\sqrt{2}}{2})B.三棱锥(A_1-BCD)的体积为(\frac{8}{3})C.异面直线(A_1B)与(AD_1)所成角为(60^\circ)D.正方体的外接球表面积为(12\pi)解析：A选项：(AC_1)在平面(ABCD)上的射影为(AC)，(\tan\theta=\frac{CC_1}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2})，正确。B选项：(V=\frac{1}{3}S_{\triangleBCD}\timesAA_1=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times2=\frac{4}{3})，错误。C选项：(A_1B\parallelD_1C)，(\triangleAD_1C)为等边三角形，故(\angleAD_1C=60^\circ)，即异面直线所成角为(60^\circ)，正确。D选项：外接球直径(2R=AC_1=2\sqrt{3})，(R=\sqrt{3})，表面积(4\piR^2=12\pi)，正确。答案：ACD10.从装有3个红球和2个白球的袋子中随机取出2个球，下列结论正确的有（）A.“至少有1个红球”与“至少有1个白球”是互斥事件B.“恰有1个红球”的概率为(\frac{3}{5})C.“2个都是红球”的概率为(\frac{3}{10})D.取出的2个球颜色相同的概率为(\frac{2}{5})解析：A选项：“至少有1个红球”与“至少有1个白球”可同时发生（如1红1白），不互斥，错误。B选项：(P=\frac{C_3^1C_2^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5})，正确。C选项：(P=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10})，正确。D选项：颜色相同包含“2红”或“2白”，(P=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5})，正确。答案：BCD六、复数与逻辑用语11.已知复数(z=1+i)，则下列结论正确的有（）A.(|z|=\sqrt{2})B.(z^2=2i)C.(\overline{z}=1-i)在复平面内对应的点位于第四象限D.(z)的共轭复数与(z)的乘积为2解析：A选项：(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2})，正确。B选项：(z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i)，正确。C选项：(\overline{z}=1-i)对应点((1,-1))，在第四象限，正确。D选项：(z\cdot\overline{z}=|z|^2=2)，正确。答案：ABCD12.下列命题中为真命题的有（）A.“若(x>1)，则(x^2>1)”的逆否命题为真命题B.“(\existsx\in\mathbb{R})，(x^2+x+1<0)”的否定为真命题C.“(x>2)”是“(x^2-3x+2>0)”的充分不必要条件D.若(p\lorq)为真命题，则(p\landq)为真命题解析：A选项：原命题“若(x>1)，则(x^2>1)”为真，逆否命题与原命题等价，正确。B选项：(x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}>0)，原命题为假，其否定“(\forallx\in\mathbb{R})，(x^2+x+1\geq0)”为真，正确。C选项：(x^2-3x+2>0)解集为(x<1)或(x>2)，故“(x>2)”是充分不必要条件，正确。D选项：(p\lorq)为真时，(p)、(q)可能一真一假，此时(p\landq)为假，错误。答案：ABC七、综合应用13.已知函数(f(x)=\log_a(x+1)+\log_a(3-x)(a>0,a\neq1))，则下列结论正确的有（）A.定义域为((-1,3))B.当(a>1)时，(f(x))的最大值为(\log_a4)C.若(f(1)=1)，则(a=2)D.函数(f(x))的图像关于直线(x=1)对称解析：A选项：(\begin{cases}x+1>0\3-x>0\end{cases})，解得(-1<x<3)，正确。B选项：(f(x)=\log_a[-(x-1)^2+4])，当(a>1)时，最大值为(\log_a4)（当(x=1)时），正确。C选项：(f(1)=\log_a2+\log_a2=\log_a4=1)，得(a=4)，错误。D选项：(f(2-x)=\log_a(3-x)+\log_a(x+1)=f(x))，故图像关于(x=1)对称，正确。答案：ABD14.已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，(M)为线段(AB)的中点，则下列结论正确的有（）A.抛物线的准线方程为(x=-1)B.若直线(AB)的斜率为1，则(|AB|=8)C.点(M)的轨迹方程为(y^2=2(x-1))D.若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，则直线(AB)的斜率为(\pm2\sqrt{2})解析：A选项：抛物线(y^2=4x)的准线方程为(x=-1)，正确。B选项：直线(AB)：(y=x-1)，联立(y^2=4x)得(x^2-6x+1=0)，(|AB|=x_1+x_2+p=6+2=8)，正确。C选项：设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，(M(x,y))，则(y_1^2=4x_1)，(y_2^2=4x_2)，作差得((y_1-y_2)(y_1+y_2)=4(x_1-x_2