2025年下学期高二数学圆锥曲线的定点定值问题试题

2025年下学期高二数学圆锥曲线的定点定值问题试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点为F(1,0)，过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若线段AB的中点为M，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$B.若直线l的斜率为1，则|AB|=$\frac{24}{7}$C.无论直线l如何变化，点M的轨迹恒过定点(2,0)D.存在直线l使得以AB为直径的圆过原点已知双曲线E：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A、B两点，设AF₁与BF₁的中点分别为M、N，则下列说法正确的是（）A.若直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，则|AB|=6B.以MN为直径的圆恒过定点(±1,0)C.当AB⊥x轴时，△F₁AB的面积为12D.直线MN的斜率与直线AB的斜率之比为定值$\frac{1}{3}$抛物线C：$y^2=4x$的焦点为F，过F的直线交抛物线于P、Q两点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，连接QM交x轴于点N，则下列结论正确的是（）A.若直线PQ的倾斜角为60°，则|PQ|=$\frac{16}{3}$B.无论直线PQ如何变化，点N的坐标恒为(1,0)C.以PQ为直径的圆与直线x=-1相切D.$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}$为定值1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的左焦点为F，过F的直线交椭圆于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，则$\frac{|PF|}{|AB|}$的值为________．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的离心率为2，过右焦点F且斜率为k的直线交双曲线于M、N两点，若MF=2FN，则k²=________．抛物线$y^2=2px(p>0)$上有两点A、B，O为坐标原点，若OA⊥OB，且△OAB的面积为16，则p=________．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右顶点为A，点P在椭圆上，且PA⊥x轴，过点P的直线l交椭圆于另一点Q，若直线AQ的斜率为k₁，直线PQ的斜率为k₂，则k₁k₂=________．三、解答题（本大题共6小题，共90分）（15分）已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点(2,1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于M、N两点，在x轴上是否存在定点P，使得∠MPF=∠NPF恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（15分）已知双曲线E：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的动直线交双曲线于A、B两点．（1）当直线AB与x轴垂直时，求△F₁AB的周长；（2）设直线AF₁与直线x=$\frac{1}{2}$交于点P，证明：直线PB恒过定点．（15分）抛物线C：$y^2=4x$的焦点为F，过F的直线与抛物线交于C、D两点，点E在抛物线的准线上，且ED∥x轴．（1）求证：直线EC过原点O；（2）若线段CD的垂直平分线交x轴于点G，求$\frac{|FG|}{|CD|}$的取值范围．（15分）已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右顶点分别为A、B，点M、N为椭圆上异于A、B的两点，且满足kₐₘ·kₐₙ=$-\frac{3}{4}$．（1）求证：直线MN恒过定点；（2）求△BMN面积的最大值．（15分）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$，过右焦点F的直线l交双曲线于P、Q两点，且|PF|=2|FQ|．（1）求双曲线的离心率；（2）若直线l的斜率为k(k≠0)，直线OP、OQ分别交直线x=$\frac{a}{2}$于点M、N，求|MN|的值（用a表示）．（15分）已知抛物线$y^2=4x$的焦点为F，点A(2,2)在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点B，点C在抛物线上，且∠BAC=90°．（1）若直线AB的斜率为1，求点C的坐标；（2）求证：直线BC恒过定点．四、附加题（共20分）已知椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m>n>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，若线段PQ的中点为R，连接OR并延长交椭圆于点S（O为坐标原点）．（1）求证：$\frac{|OR|}{|RS|}$为定值；（2）若四边形OPSQ的面积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求椭圆的标准方程．参考答案与解析要点一、选择题ABDA选项：由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$c=1$得$a=2$，$b^2=3$，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；B选项：直线$y=x-1$与椭圆联立得$7x^2-8x-8=0$，$|AB|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{24}{7}$；D选项：设$l:x=ty+1$，联立得$(3t^2+4)y^2+6ty-9=0$，由$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$得$t^2=\frac{13}{9}$，存在这样的直线。ACDA选项：直线$y=\sqrt{3}(x-2)$与双曲线联立得$8x^2-36x+43=0$，$|AB|=x_1+x_2-2a=6$；C选项：AB⊥x轴时，$A(2,3)$，$B(2,-3)$，$S=\frac{1}{2}\times4\times6=12$；D选项：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$M(\frac{x_1-2}{2},\frac{y_1}{2})$，$k_{MN}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2-4}=\frac{1}{3}k_{AB}$。二、填空题$\frac{1}{4}$解析：设$l:x=my-2$，联立椭圆方程得$(5m^2+9)y^2-20my-25=0$，AB中点$(-\frac{18}{5m^2+9},\frac{10m}{5m^2+9})$，中垂线方程令$y=0$得$P(-\frac{8}{5m^2+9},0)$，$|PF|=\frac{10}{5m^2+9}$，$|AB|=\frac{40}{5m^2+9}$，比值为$\frac{1}{4}$。4解析：设$A(2pt_1^2,2pt_1)$，$B(2pt_2^2,2pt_2)$，由$OA⊥OB$得$t_1t_2=-1$，$S=\frac{1}{2}|OA||OB|=2p^2|t_1-t_2|=16$，解得$p=4$。三、解答题（2）存在定点$P(4,0)$解析：设$l:x=ty+1$，$P(x_0,0)$，由∠MPF=∠NPF得$k_{PM}+k_{PN}=0$，代入韦达定理化简得$x_0=4$。（2）直线PB过定点$(\frac{1}{2},0)$解析：设$AB:x=my+2$，联立得$(3m^2-1)y^2+12my+9=0$，$P(2,\frac{4y_1}{x_1+2})$，直线PB方程令$y=0$得$x=\frac{1}{2}$。（2）直线BC过定点$(5,-2)$解析：设$AB:y=k(x-2)+2$，联立抛物线得$ky^2-4y+8(1-k)=0$，$B(\frac{