2025年下学期高三数学终极押题密卷（二）

2025年下学期高三数学终极押题密卷（二）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x-12\leq0})，则(A\capB=)（）A.([-2,5))B.((1,5))C.([-2,3))D.((1,3))复数(z=\frac{15-5i}{1-3i})（(i)为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限某外卖平台为优化配送路径，将一个区域划分为5个网格（如图1），配送员需从起点(O)出发，途经3个不同网格后返回终点(O)，且路径不重复.若网格间的连接关系为(O)与(A,B,C)相连，(A)与(D,E)相连，(B)与(D)相连，(C)与(E)相连，则不同的配送路径有（）A.12种B.18种C.24种D.36种已知函数(f(x)=e^x-ax)的反函数为(f^{-1}(x))，若(f(x))与(f^{-1}(x))的图像有交点，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,1])B.((-\infty,e])C.([1,e])D.([e,+\infty))我国古代数学典籍《九章算术》中记载“刍甍”（chúméng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.现有一个刍甍如图2所示，其中(ABCD)是边长为2的正方形，(EF\parallelAB)，(EF=1)，平面(ADEF\perp)平面(ABCD)，且(\triangleADE)是等腰直角三角形（(AD)为斜边），则该刍甍的外接球表面积为（）A.(9\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)某地区为评估疫苗接种效果，统计了未接种人群和已接种人群的感染率.已知该地区未接种人群占总人口的(30%)，感染率为(8%)；已接种人群感染率为(1%).现从该地区随机抽取一人，若此人感染，则其属于未接种人群的概率为（）A.(\frac{24}{27})B.(\frac{24}{31})C.(\frac{21}{31})D.(\frac{3}{31})已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左、右焦点分别为(F_1,F_2)，过(F_2)的直线与(C)的右支交于(A,B)两点，若(|AF_1|=3|AF_2|)，且(\angleF_1AF_2=120^\circ)，则(C)的离心率为（）A.(\sqrt{3})B.(\frac{\sqrt{13}}{2})C.(\sqrt{5})D.(\frac{\sqrt{10}}{2})已知定义在(\mathbf{R})上的函数(f(x))满足(f(x+2)=f(2-x))，且当(x\geq2)时，(f(x)=\begin{cases}\lnx,&2\leqx\leqe^2,\4-x,&x>e^2,\end{cases})若关于(x)的方程(f(x)=kx+1)有5个不同的实根，则(k)的取值范围是（）A.(\left(\frac{1-\ln2}{2},\frac{1}{e^2}\right))B.(\left(\frac{1-\ln2}{2},\frac{1}{e}\right))C.(\left(\frac{1-\lne^2}{e^2},\frac{1}{e}\right))D.(\left(\frac{1-\lne}{e},\frac{1}{e^2}\right))二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2S_n+1)，则下列说法正确的有（）A.数列({a_n})是等比数列B.数列({S_n+\frac{1}{2}})是等比数列C.不等式(a_n\geq2S_n-100)的解集为({n\in\mathbf{N}^*|n\leq5})D.若(b_n=\log_3a_n)，则数列({b_n})的前(n)项和(T_n)满足(T_n\leqn(n-1))某工厂生产一种精密零件，其直径(X)（单位：mm）服从正态分布(N(\mu,\sigma^2)).为监控生产质量，采用“3σ原则”：若(X\in(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma))，则认为生产正常，否则需停机检修.现从某批次产品中随机抽取100个零件，测量其直径并绘制频率分布直方图（如图3），其中直方图的分组为([19.8,20.0),[20.0,20.2),\cdots,[20.8,21.0])，已知直方图中各小矩形的面积从左到右依次构成公差为0.05的等差数列.则下列说法正确的有（）A.该批次零件直径的平均数(\mu\approx20.5)B.该批次零件直径的标准差(\sigma\approx0.2)C.若(\mu=20.5)，(\sigma=0.2)，则该批次产品需停机检修D.若从该批次产品中随机抽取2个零件，其中直径小于20.3mm的个数为(Y)，则(E(Y)=0.4)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec{b}=(2,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则(|\vec{a}+2\vec{b}|=)；若(\vec{a})与(\vec{b})的夹角为锐角，则(m)的取值范围是.（本小题第一空2分，第二空3分）已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的图像经过点(\left(\frac{\pi}{6},1\right))和(\left(\frac{\pi}{2},0\right))，且在区间(\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right))内单调递减，则(f(x)=)；若将(f(x))的图像向右平移(\frac{\pi}{6})个单位长度后得到(g(x))的图像，则(g(x))在([0,\pi])上的零点个数为.（本小题第一空2分，第二空3分）已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，过(F)的直线(l)与(C)交于(A,B)两点，若线段(AB)的垂直平分线与(x)轴交于点(P)，且(|AB|=8)，则(|PF|=)________.已知正整数(n\geq2)，将(n)个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球.记(a_n)为“恰有一个盒子放2个小球，其余盒子放(\frac{n-2}{2})个小球”（若(n-2)为奇数，则(a_n=0)）的放法种数，则(a_4=)；若(b_n=\frac{a_n}{n!})，则数列({b_n})的前(n)项和(S_n=).（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且满足(b\cosC+c\cosB=2a\sinA).（1）求角(A)的大小；（2）若(a=2)，(D)为(BC)的中点，且(AD=\sqrt{3})，求(\triangleABC)的面积.（本小题满分12分）如图4，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分别为(A_1B_1,B_1C_1)的中点.（1）证明：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A-BD-E)的余弦值.（本小题满分14分）某科技公司研发了一款智能学习设备，为了解其使用效果，随机抽取100名高中生进行为期一个月的试用，并统计了他们试用前后的数学成绩（单位：分，满分150分）.定义“提升幅度”为：提升幅度=（试用后成绩-试用前成绩）/试用前成绩×100%.现将提升幅度分成5组：([-10%,0),[0,10%),[10%,20%),[20%,30%),[30%,40%])，得到如图5所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中(m)的值，并估计这100名学生提升幅度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若从提升幅度不低于20%的学生中随机抽取3人，记其中提升幅度不低于30%的人数为(X)，求(X)的分布列和数学期望；（3）该公司声称：“试用该设备的学生，其数学成绩的提升幅度不低于10%的概率超过0.5”.请根据样本数据，判断该公司的说法是否成立.（本小题满分14分）已知函数(f(x)=\lnx-\frac{a}{x})（(a\in\mathbf{R})）.（1）讨论(f(x))的单调性；（2）若(f(x))有两个零点(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），证明：(x_1+x_2>2a).（本小题满分14分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1)).（1）求椭圆(E)的标准方程；（2）过椭圆(E)的右焦点(F)作直线(l)与(E)交于(M,N)两点，点(P)为直线(x=4)上任意一点，设直线(PM,PN,PF)的斜率分别为(k_1,k_2,k_3).问：是否存在常数(\lambda)，使得(k_1+k_2=\lambdak_3)？若存在，求出(\lambda)的值；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）为响应国家“碳达峰、碳中和”政策，某企业计划建造一个光伏发电站.该电站的总投资由前期工程费、设备购置费和后期维护费三部分组成.已知前期工程费为100万元；设备购置费(Q)（单位：万元）与电站容量(x)（单位：兆瓦，(x\geq1)）的函数关系为(Q(x)=mx+\frac{n}{x})（(m,n)为常数）；后期维护费为每年(2x)万元，可视为均匀支付（即平均每年支付的维护费为(2x)万元）.（1）若电站容量为2兆瓦时，设备购置费为300万元；容量为4兆瓦时，设备购置费为560万元.求(m,n)的值；（2）设该电站的使用寿命为20年，记电站的“年均成本”(C(x))（单位：万元/年）为总投