专升本数学专业2025年线性代数专项训练试卷（含答案）

专升本数学专业2025年线性代数专项训练试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设A为n阶矩阵，若A可逆，则det(A)等于（）。（A）0（B）1（C）-1（D）非零任意实数2.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，则下列向量组中线性相关的是（）。（A）α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁（B）α₁,α₂+α₃,α₃（C）α₁+α₂,α₁-α₂,α₃（D）α₁,α₂,α₁+α₂3.设A是3阶矩阵，其特征值为1,2,-1，则det(A)等于（）。（A）0（B）2（C）-2（D）-14.非齐次线性方程组Ax=b，若其增广矩阵（A|b）的秩为r，系数矩阵A的秩为r'，则（）。（A）r=r'时，方程组有唯一解（B）r>r'时，方程组无解（C）r=r'+1时，方程组有无穷多解（D）r=r'时，方程组有无穷多解5.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+4x₂x₃的矩阵形式为（）。（A）[x₁,x₂,x₃][111][x₁]（B）[x₁,x₂,x₃][122][x₂][123][x₃]（C）[x₁,x₂,x₃][101][x₁][022][x₂][123][x₃]（D）[x₁,x₂,x₃][111][x₁][122][x₂][123][x₃]二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。）6.设A为4阶方阵，det(A)=-2，则det(2A)等于_________。7.若向量组α₁,α₂,α₃线性相关，α₁+kα₂+α₃=0，且k≠0，则k=_________。8.设A是2阶矩阵，且A²=A，则det(A)的可能值为_________。9.齐次线性方程组x₁+x₂+x₃=0的解空间的维数是_________。10.若矩阵A=[12;34]的逆矩阵为A⁻¹，则A⁻¹[1;1]=_________。三、计算题（本大题共4小题，满分40分。）11.（本小题满分10分）计算行列式D的值：D=|1-12||3-21||120|12.（本小题满分10分）设矩阵A=[12;-10]，求矩阵A的逆矩阵A⁻¹（若存在）。13.（本小题满分10分）解线性方程组：{x₁+2x₂+x₃=1{2x₁+3x₂+2x₃=3{x₁+x₂+2x₃=214.（本小题满分10分）求矩阵A=[1-12;02-1;003]的特征值和特征向量。四、证明题（本大题共2小题，满分25分。）15.（本小题满分12分）设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，证明向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关。16.（本小题满分13分）设A是n阶实对称矩阵，且满足A²=A。证明：存在正交矩阵P，使得PᵀAP=对角矩阵。试卷答案一、选择题1.D2.A3.B4.C5.B二、填空题6.-167.-18.0,19.210.[3;-2]三、计算题11.解：按第一列展开计算行列式D：D=1×|-21|-(-1)×|31|+2×|3-2||20||-20||-22|D=1×((-2)×0-1×2)+1×(3×0-1×(-2))+2×(3×2-(-2)×(-2))D=1×(-2)+1×2+2×(6-4)D=-2+2+2×2D=-2+2+4D=412.解：计算行列式det(A)：det(A)=(1)(0)-(2)(-1)=0+2=2≠0因为det(A)≠0，所以矩阵A可逆。利用伴随矩阵法求逆：A⁻¹=1/det(A)*Adj(A)A⁻¹=1/2*[0-2;-(-1)1](计算伴随矩阵Adj(A))A⁻¹=1/2*[0-2;11]A⁻¹=[0-1;1/21/2]13.解：写出增广矩阵，并进行行变换化为行简化阶梯形矩阵：[121|1][232|3][112|2]→[121|1]R₂-2R₁→R₂[0-10|1][112|2]R₃-R₁→R₃[0-11|1]→[121|1]R₃+R₂→R₃[0-10|1][001|2]→[120|-1]R₁-R₃→R₁[0-10|1]R₂×(-1)→R₂[001|2]→[100|1]R₁-2R₂→R₁[010|-1][001|2]对应的方程组为：x₁=1x₂=-1x₃=2解为：x₁=1,x₂=-1,x₃=2.14.解：计算特征多项式det(λI-A)：λI-A=[λ-11-2;0λ-21;00λ-3]det(λI-A)=(λ-1)|λ-21|(按第一行展开)[0λ-3][0λ-3]det(λI-A)=(λ-1)[(λ-2)(λ-3)-0]=(λ-1)(λ²-5λ+6)det(λI-A)=(λ-1)(λ-2)(λ-3)特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3.求特征向量：对λ₁=1：(I-A)x=[01-2;0-11;00-2][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[01-2;0-11;00-2][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[01-2;0-11;00-2][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[01-2;01-1;000](R₂+R₁→R₂)→[01-2;01-1;000](R₁+2R₂→R₁)→[000;01-1;000](R₁-2R₂→R₁)对应方程组：x₂-x₃=0,x₂=x₃.x₁无约束，令x₁=c₁,x₃=c₂,x₂=c₂.特征向量形式为k₁[1;1;1](k₁≠0).对λ₂=2：(2I-A)x=[11-2;001;00-1][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[11-2;001;00-1][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[11-2;001;000](R₃+R₂→R₃)→[11-2;001;000](R₁+2R₂→R₁)→[110;001;000](R₁+2R₂→R₁)对应方程组：x₁+x₂=0,x₂=0.x₃无约束，令x₃=c₂,x₁=-c₂,x₂=0.特征向量形式为k₂[0;-1;1](k₂≠0).对λ₃=3：(3I-A)x=[21-2;011;000][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[21-2;011;000][x₁;x₂;x₃]=[0;0;0]→[20-1;011;000](R₁-R₂→R₁)对应方程组：2x₁-x₃=0,x₂+x₃=0.x₁=x₃/2,x₂=-x₃.令x₃=c₃,x₁=c₃/2,x₂=-c₃.特征向量形式为k₃[1/2;-1;1](k₃≠0).四、证明题15.证明：假设α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁线性相关，则存在不全为零的常数k₁,k₂,k₃使得k₁(α₁+α₂)+k₂(α₂+α₃)+k₃(α₃+α₁)=0(k₁+k₃)α₁+(k₁+k₂)α₂+(k₂+k₃)α₃=0由于α₁,α₂,α₃线性无关，上式成立当且仅当系数全为零：{k₁+k₃=0{k₁+k₂=0{k₂+k₃=0解此方程组：由(2)得k₂=-k₁.代入(1)得k₁-k₁=0,0=0(恒成立).代入(3)得-k₁+k₃=0,k₃=k₁.将k₃=k₁代入(1)得k₁+k₁=0,2k₁=0,k₁=0.则k₂=-k₁=0,k₃=k₁=0.这与k₁,k₂,k₃不全为零矛盾。因此，假设错误，α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁线性无关。16.证明：A是实对称矩阵，则其特征值λ都是实数，且存在正交矩阵P（列向量是单位正交向量），使得PᵀAP=P⁻¹AP=对角矩阵D（对角元为A的特征值）。由题设A²=A，即A是幂等矩阵。对任意向量x，有(A²)x=Ax。由幂等性得A(Ax)=Ax。等式两边左乘Pᵀ，得PᵀA(Ax)=Pᵀ(Ax)。由P是正交矩阵，PᵀA=APᵀ，Pᵀx是x在P的基下的坐标向量。等式变为(APᵀ)(Ax)=(APᵀ)x。设PᵀAP=D=diag(λ₁,λ₂,...,λₙ)