2025年高三数学函数性质错题锦集（附答案）

2025年高三数学函数性质错题锦集（附答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数f(x)=log₃(2x-a)在(1,+∞)上有意义，则实数a的取值范围是()A.a<2B.a≤2C.a>2D.a≥22.函数g(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是()A.1B.3C.5D.73.已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间(-∞,1]上是单调递减的，则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≤-1D.a≥-14.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x²B.y=x³C.y=|x|D.y=log₃|x|5.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是()A.π/2B.πC.2πD.3π/26.若函数f(x)=x²+bx+1在R上是偶函数，则实数b的值是()A.0B.1C.-1D.27.函数f(x)=1/(x-1)在区间(1,+∞)上的单调性是()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定8.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值是()A.3B.-3C.2D.-29.函数f(x)=x-sinx在R上的零点个数为()A.0B.1C.2D.无数多个10.若函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是2，则实数k的取值范围是()A.k<2B.k=2C.k>2D.k=-211.函数f(x)=x²-4x+3的图像关于直线x=1对称，则函数g(x)=sin(x+φ)(φ∈R)的一个单调递增区间可以是()A.[-π/2,π/2]B.[0,π]C.[-π/2,0]D.[π/2,π]12.设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，f(a)=f(b)，则下列结论不一定正确的是()A.存在c∈(a,b)使得f'(c)=0B.f(x)在[a,b]上的最大值和最小值至少有一个在端点取得C.f(x)在[a,b]上恒为常数D.存在d∈(a,b)使得f'(d)>0且f'(e)<0(其中d,e∈(a,b))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。13.函数f(x)=cos(3x-π/4)的图像关于点(π/4,0)中心对称，则函数f(x)的一个单调递减区间是________。14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈(0,1)时，f(x)=x，则f(2025)的值是________。15.函数f(x)=x³-3x+1在区间(0,2)上的最大值与最小值之差是________。16.若函数f(x)=x³-3x²+2x+k在R上恰有一个极值点，则实数k的取值范围是________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值。18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log₃(2x+1)-a(x∈R)是奇函数。(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性，并说明理由。19.(本小题满分12分)已知函数g(x)=sinx+cosx。(1)求函数g(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间。20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1在x=-1处有极值，且其图像与直线y=1相切。(1)求实数a和b的值；(2)判断函数f(x)在R上的单调性。21.(本小题满分12分)已知函数F(x)=x³-3x+2。(1)求函数F(x)的单调区间；(2)证明：对于任意x₁,x₂∈(-∞,-1)，都有F(x₁)+F(x₂)>0。22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|。(1)作出函数f(x)的图像；(2)解不等式f(x)<3。---试卷答案一、选择题：1.A2.B3.A4.B5.B6.A7.B8.A9.B10.B11.C12.C二、填空题：13.[π/4,3π/4]14.115.216.三、解答题：17.(1)解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x>2或x<0；令f'(x)<0，得0<x<2。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。(2)由(1)知，函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增，在(0,4]上单调递减。计算f(-1)=(-1)³-3(-1)²+2=-2，f(0)=0³-3(0)²+2=2，f(4)=4³-3(4)²+2=18-48+2=-28。故函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值是2，最小值是-28。18.(1)解：函数f(x)的定义域为(-1/2,+∞)。由于f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)恒成立。即log₃(-2x+1)-a=-(log₃(2x+1)-a)，即log₃(-2x+1)+log₃(2x+1)=0。所以log₃[(-2x+1)(2x+1)]=log₃(1)，即(-2x+1)(2x+1)=1。解得-2x+1=1或2x+1=1，即x=0或x=-1/2。由于x∈(-1/2,+∞)，故x=0。此时a=log₃(2*0+1)=log₃(1)=0。经检验，a=0时，f(x)=log₃(2x+1)是奇函数。故实数a的值为0。(2)由(1)知，f(x)=log₃(2x+1)。函数g(x)=log₃(u)在底数3>1时，其单调性与真数u的单调性相同。令u=2x+1，则u在R上是单调递增函数。故函数f(x)=log₃(2x+1)在其定义域(-1/2,+∞)上是单调递增函数。19.(1)解：函数g(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)。故函数g(x)的最小正周期T=2π/ω=2π。当sin(x+π/4)=1时，函数g(x)取得最大值√2。(2)令0≤x≤π，则π/4≤x+π/4≤5π/4。当π/4≤x+π/4≤π/2，即0≤x≤π/4时，sin(x+π/4)递增，函数g(x)递增。当π/2<x+π/4≤5π/4，即π/4<x≤π时，sin(x+π/4)递减，函数g(x)递减。故函数g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是[0,π/4]。20.(1)解：f'(x)=3x²-2ax+b。由题意知，x=-1是f(x)的极值点，且f'(-1)=0。代入得3(-1)²-2a(-1)+b=0，即3+2a+b=0，①又函数图像与直线y=1相切，即过点(-1,1)且切线斜率为0。即f'(-1)=0且f(-1)=1。代入得3(-1)²-2a(-1)+b=0，即3+2a+b=0，①（与上式相同）代入得(-1)³-a(-1)²+b(-1)+1=1，即-1-a-b+1=1，即-a-b=1，②联立①②，解得a=-1，b=-2。(2)由(1)知，a=-1，b=-2，故f(x)=x³+x²-2x+1，f'(x)=3x²+2x-2。令f'(x)=3x²+2x-2=(3x-2)(x+1)。令f'(x)>0，得x>2/3或x<-1；令f'(x)<0，得-1<x<2/3。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(2/3,+∞)，单调递减区间为(-1,2/3)。21.(1)解：F'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。令F'(x)>0，得x>1或x<-1；令F'(x)<0，得-1<x<1。故函数F(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。(2)证明：任取x₁,x₂∈(-∞,-1)，且x₁<x₂。则x₁+x₂∈(-2,-2)，即x₁+x₂>-2。要证F(x₁)+F(x₂)>0，只需证F(x₁)+F(x₂)-2(x₁+x₂)>0。即证(x₁³-3x₁+2)+(x₂³-3x₂+2)-2(x₁+x₂)>0。即证(x₁³+x₂³)-3(x₁+x₂)+4-2(x₁+x₂)>0。即证(x₁³+x₂³)-5(x₁+x₂)+4>0。由x₁,x₂∈(-∞,-1)，得x₁+x₂∈(-2,-2)，x₁x₂>1。由x₁+x₂<0，得(x₁+x₂)³<0，即x₁³+x₂³+3x₁x₂(x₁+x₂)<0。即x₁³+x₂³<-3x₁x₂(x₁+x₂)。要证原不等式，只需证[-3x₁x₂(x₁+x₂)]-5(x₁+x₂)+4>0。令t=x₁+x₂∈(-2,-2)，h(t)=-3t²-5t+4。对称轴t=-5/(-6)=5/6∈(-2,-2)。h(t)在(-2,-2)上单调递减。故h(t)>h(-2)=-3(-2)²-5(-2)+4=-12+10+4=2>0。即-3x₁x₂(x₁+x₂)-5(x₁+x₂)+4>0。故F(x₁)+F(x₂)>0恒成立。22.(1)解：函数f(x)=|x-1|+|x+1|可化为：f(x)={x+1,x≤-1{2,-1<x<1{-x+1,x≥1图像如下：```/\/\/\/------\/\/