层次分析法 课件

层次分析法AnalyticHierarchyProcessAHP层次分析法建模一问题的提出例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。

假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例2旅游例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。

面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。例4科研课题的选择层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）是美国运筹学家T.L.Saaty

教授于上世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法,是一种系统分析方法。

AHP是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就n个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计和预测、投入量的分配等问题。目前，AHP应用在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价、以及发展目标分析的许多都取得了令人满意的成果。引例1.1综合评价

某公司招聘工作人员，拟从能力、知识和仪态三个方面考核应聘者的综合表现。为此建立了如下评价指标的层次结构：其中

x1=写作水平，x2=外语程度，

x3=公关能力，x4=国内外政治经济时事，

x5=计算机操作知识，x6=容貌与风度，

x7=体形高矮与肥瘦，x8=音色。如能知道底层指标x1,…,x8

对最高层的权系数w1,…,w8

以及各底层指标的得分，就可以按照如下的评价公式对应聘者进行考核、排序。

引例1.2：综合决策

某地要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。过河方式的确定取决于过河的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（即效益/代价）作为选择方案的标准。为此分别给出了两个层次结构（图1.1.2和图1.1.3）。它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的。决策的制定将取决于根据这两个层次结构确定的方案的效益权重与代价权重之比，即如能知道底层方案Di（i=1,2,3）对最高层Aj（j=1,2）的权系数wij（i=1,2,3，j=1,2），则可根据如下的决策公式Si=wi1/wi2，i=1,2,3对三个方案进行排序、选择。

引例1.3：预测或估计在体育比赛中预测一个代表队的成绩，有三种可能的前景：

x1=名列第一

x2=名列前八名（不包括第一）

x3=名落孙山所用的评价指标有三个：竞技实力、自信心、环境因素。为此构建如下的层次结构：

如能知道底层指标x1,x2,x3对最高层的权系数w1j,w2j,w3j（j=1,2,3），将各相同前景的权系数相加，就可以按照如下的预测公式

对各前景x1,x2,x3对进行先验预测。引例1.4：投入量的分配

在这种问题中，投入量给定，要把它们分配到若干部门去。如能知道各部门对投入量的需求权重，把权系数看成分配的百分比率即可。

层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔层次分析法（AHP）基本原理：

AHP法首先把问题层次化，按问题性质和总目标将此问题分解成不同层次，构成一个多层次的分析结构模型，分为最低层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：

1.建立问题的递阶层次结构；

2.构造两两比较判断矩阵；

3.由判断矩阵计算被比较元素相对权重；

4.计算各层次元素的组合权重。二层次分析法的基本原理和步骤2.1建立问题的层次结构模型

一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1买钢笔准则层方案层目标层例2旅游问题的层次结构模型准则层A方案层B目标层Z国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例3

国家实力分析例4工作选择过河的效益

A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例5

横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价

A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例5

横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益

C11间接经济效益

C12社会效益

C13学识水平

C21学术创新

C22技术水平

C23技术创新

C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例6科技成果的综合评价（1）将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素。

若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。建立层次结构模型的步骤

一个典型的层次可以用下图表示：

（2）层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。（3）一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。

一个递阶层次结构应具有以下特点：

(1)从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。

(2)整个结构中层次数不受限制。

(3)最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过9个，元素多时可进一步分组。

(4)对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构。

2.2构造两两比较判断矩阵在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素Ck作为准则，对下一层次的元素A1,…,An有支配关系，我们的目的是在准则Ck之下按它们相对重要性赋予A1,…,An相应的权重。

对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重。层次分析法所用的是两两比较的方法。

设某层有个因素，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。判断矩阵中的bij是根据资料数据、专家的意见和系统分析人员的经验经过反复研究后确定。１３５７９尺度第个因素与第个因素的影响相同第个因素比第个因素的影响稍强第个因素比第个因素的影响强第个因素比第个因素的影响明显强第个因素比第个因素的影响绝对地强含义比较尺度：（1~9尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据

便于定性到定量的转化

心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个

1

9的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法。首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言。再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，1

9级的标度是适用的。其次，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在5

9级之间，采用1

9的标度反映多数人的判断能力。例如，准则是社会经济效益，子准则可分为经济、社会和环境效益。如果认为经济效益比社会效益明显重要，它们的比例标度取5，而社会效益对于经济效益的比例标度则取1/5。由上述定义知，成对比较矩阵则称为正互反阵。事实上，对于n阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共n(n-1)/2个给出判断即可。例2中第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。满足以下性质

由上表，可得成对比较矩阵旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？2.3层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度。例如

一块石头重量记为1，打碎分成个小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出，即但在例2的成对比较矩阵中，在正互反矩阵中，若，则称A为一致阵。一致阵的性质：5.的任一列(行)都是对应于特征根的特征向量。若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征向量，且定理：阶互反阵的最大特征根，当且仅当时，为一致阵。表示下层第个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则这样确定权向量的方法称为特征根法.特征根方法中的最大特征根

max

和特征向量w，可用Matlab

软件直接计算。

例如：计算矩阵的最大特征值及相应的特征向量。相应的Matlab

程序如下：A=[1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;…1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1];[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y是特征值，且从大到小排列；x是特征向量矩阵，每一列为相应特征值的一个特征向量。输出结果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520-0.4184-0.4223-0.1099-0.2730-0.6604

由于连续的依赖于，则比大得越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用

数值的大小来衡量的不一致程度。（1）定义一致性指标（ConsistencyIndex)其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。CI越大，不一致越严重一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。则可得一致性指标（2）查找随机一致性指标n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51随机构造500个矩阵平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏1986年得出的判断矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标如下：一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。判断矩阵一致性指标C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I.之比称为随机一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。一般，当的不一致程度在容许范围之内，否则要重新构造成对比较矩阵，加以调整,使其满足从而具有满意的一致性。时，认为(3)计算一致性比率

CR=CI/RI2.4层次总排序及其一致性检验

确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。为了得到递阶层次结构中每一层次中所有元素相对于总目标的相对权重，需要进行总的一致性检验。这一步是由上而下逐层进行的。最终计算结果得出最低层次元素，即决策方案的优先顺序的相对权重和整个递阶层次模型的判断一致性检验。从最高层到最低层逐层进行。设：

对总目标Z的排序为的层次单排序为即层第个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：B层的层次总排序AB层次总排序的一致性检验设层对上层层中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指标为则层次总排序的一致性比率为：当时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。假定递阶层次结构共有m层，第k层有nk（k=1,2,…,m）个元素，如图1.2.2。

已经计算出第k

1层nk

1个元素A1,A2,…,相对于总目标的组合排序权重向量w(k

1)=(w1(k

1),w2(k

1),…,wnk

1(k

1))T，以及第k层nk

个元素B1,B2,…,相对于第k

1层每个元素Aj（j=1,2,…,nk

1）的单排序权重向量pi(k)=(p1j(k

1),p2j(k

1),…,pnk

j(k

1))T，i=1,2,…,nk

其中不受Aj

支配的元素权重取为0。作nk

nk

1

阶矩阵P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk

1(k))那么第k层nk

个元素B1,B2,…,相对于总目标的组合排序权重向量为w(k)=(w1(k),w2(k),…,wnk(k))T=P(k)w(k

1)，并且一般公式为w(k)=P(k)P(k

1)…P(3)w(k

1)。对于递阶层次模型的判断一致性检验，需要类似地逐层计算。

若分别得到了第k

1层次的计算结果C.I.k

1、R.I.k

1

和C.R.k

1，则第k层次的相应指标为1.建立层次结构模型包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳：3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。利用总排序一致性比率层次分析法建模举例3.1旅游问题分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。(1)建模（2）构造成对比较矩阵(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵的最大特征值表明通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量

对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：计算可知通过一致性检验。对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得，对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。故最后的决策应为去桂林。即各方案的权重排序为1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用1~9尺度构造成对比较矩阵。4.计算总排序权向量并做一致性检验求最大特征对应的归一化特征向量，做一致性比率检验。利用层次单排序，计算层次总排序，并做一致性检验。某工厂有一笔企业利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。为了进一步促进企业发展，比如调动职工的积极性、提高企业的技术水平、引进新设备等。如何合理使用这笔利润。3.2合理分配资金问题合理分配资金问题（1）层次结构模型合理利用企业利润Z调动职工的积极性C1提高企业的技术水平C2改善职工的生活条件C3

发奖金P1

扩建福利事业P2

引进新设备P3

（2）求解Z-C矩阵ZC1C2C3WC1C2C3

11/51/351331/310.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0033<0.1OKC-P矩阵C1P1P2

WP1P2

131/310.750.25CI1RI200OKC2P2P3

WP2P3

11/5510.1670.833CI2RI200OK{0.75,0.25,0}{0,0.167,0.833}C3P1P2WP1P2

121/210.6670.333CI3RI200OK{0.667,0.333,0}Z-P矩阵ZPC1C2C30.1050.6370.258总排序权值P1P2P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=000<0.1OK{0.251,0.218,0.531}P3>P1>P2例3某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。目标层选一领导干部健康状况业务知识口才写作能力工作作风准则层方案层政策水平⑴建立层次结构模型健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风A的最大特征值相应的特征向量为：假设3人关于6个标准的判断矩阵为：健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风

3.023.023.563.053.003.21各属性的最大特征值从而有即在3人中应选择A担任领导职务。3.4工作选择问题经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示：经过仔细斟酌，该生对准则层和方案层分别进行了两两比较，所做的两两比较判断矩阵为：(1)各层及组合权值准则研究发展待遇同事地理单位课题前途情况位置名气总排序权值准则层权值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879方案层单排序权值工作10.13650.09740.24260.27900.46670.79860.3952工作20.62500.33310.08790.64910.46670.10490.2996工作30.23850.56950.66940.07190.06670.09650.3052(2)各层及组合一致性比例准则研究发展待遇同事地理单位课题前途情况位置名气组合一致比例准则层一致比例0.0981方案层一致比例0.01760.02360.00680.06240.00000.00680.1111对矩阵A和Bj（j=1,…,6）分别进行求最大特征值、一致性判断、求权值等运算，再经过组合权重的计算和组合一致性的判断，最终结果是：该生最满意的工作为工作1。注意：事实上，在准则层的最终组合一致性比例为0.1111，大于0.1。但由于各个单层的一致性都是可以接受的，组合一致性比例比0.1大的很少，考虑到调整两两比较判断矩阵非常麻烦，故在此问题中，我们认可这样的一致性比例。

系统性：AHP把对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。实用性:AHP把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。简洁性:计算简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。四层次分析法的优点和局限性AHP的局限性主要表现在以下几个方面：（1）只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。（2）该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。（3）从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。正互反阵的最大特征值是大于零的吗？有它对应的特征向量各分量是正的吗？用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时。怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。五正互反阵最大特征值和特征向量实用算法

5.1定理对于正矩阵A

（A的所有元素为正）1）A的最大特征根为正单根；2）对应正特征向量w（w的所有分量为正）；3）其中是对应的归一化特征向量。5.2

正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算

精确计算的复杂和不必要

简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法——取列向量的算术平均列向量归一化算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度

2)计算3）归一化5)计算简化计算4）若，停止；否则，k:=k+1,转2和法a)将A的每一列向量归一化得b)

对c)归一化按行求和得d)计算e)计算，最大特征值的近似值。5.3特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与

aij相差尽量小（对所有i,j)。用拟合方法确定w非线性最小二乘线性化——对数最小二乘结果与根法相同列向量归一化求和归一化精确计算，得六递阶层次结构与更复杂的层次结构

以上层次结构模型有两个共同特点：模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次