2026年高考数学一轮复习专题课件：利用导数研究函数的零点

利用导数研究函数的零点2026年高考数学一轮复习专题课件★★题型一

确定零点个数(微专题)微专题1数形结合法研究函数的零点【答案】当a＞1时，f(x)没有零点；当a＝1或a≤0时，f(x)有唯一的零点；当0＜a＜1时，f(x)有两个零点研究其单调性及最值，从而讨论a的取值范围，进而得到函数零点的个数．当x>0时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝1，而当x>－1时，g(x)>0；当x<－1时，g(x)<0.当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0.所以g(x)的大致图象如图所示．①当a>1时，方程g(x)＝a无解，即f(x)没有零点；②当a＝1时，方程g(x)＝a有且只有一解，即f(x)有唯一的零点；③当0<a<1时，方程g(x)＝a有两解，即f(x)有两个零点；④当a≤0时，方程g(x)＝a有且只有一解，即f(x)有唯一的零点．综上，当a>1时，f(x)没有零点；当a＝1或a≤0时，f(x)有唯一的零点；当0<a<1时，f(x)有两个零点．【讲评】此题考查导数的应用，考查了函数的零点的判断方法，利用了数形结合的数学思想，属于中档题．状元笔记数形结合法确定函数的零点个数构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(1)求f(x)的单调区间；【答案】(1)见解析(2)讨论方程f(x)＝1根的个数．【答案】(2)见解析作出h(x)的图象如图．微专题2利用函数性质研究函数的零点已知函数f(x)＝xsinx－1.【答案】(1)见解析【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，(2)证明：函数y＝f(x)在[0，π]上有两个零点．【答案】(2)证明见解析当x∈(m，π]时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，则f(x)在(m，π]上单调递减，综上，函数y＝f(x)在[0，π]上有两个零点．状元笔记利用函数零点存在定理确定函数的零点个数先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)，再确定区间端点函数值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．【答案】(1)证明见解析易知h′(x)在区间(0，＋∞)单调递增，又h′(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，则h(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，原不等式得证．(2)判断f′(x)的零点个数．【答案】(2)2【解析】(2)f′(x)＝(2x－1)lnx－1(x>0)，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2lnx－＋2，易知g′(x)在区间(0，＋∞)单调递增，所以g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，题型二

由函数零点的个数求参数的取值范围(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；【答案】(1)－1

若x∈(0，1)，f′(x)>0，f(x)单调递增；若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－1.(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(2)(0，＋∞)若x∈(0，1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零点；零点，即0<a<1满足条件．综上，若f(x)恰有一个零点，a的取值范围为(0，＋∞)．状元笔记已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法

思考题3

(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】(2)(1，e)∪(e，＋∞)【解析】(2)曲线y＝f(x)