2026年高考数学一轮复习专题课件：直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系2026年高考数学一轮复习专题课件★★1．直线与双曲线的位置关系(代数法)(2)当b2－a2k2≠0时，①相切：Δ＝0；②相交：Δ>0；③相离：Δ<0.2．直线与双曲线的位置关系(几何法)可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系．例如：设此双曲线的渐近线斜率为±k，(1)当直线过点P且斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，如图，直线①③均与双曲线右支交于一点；(2)当直线过点P且斜率在(－k，k)上时，直线与双曲线左、右两支各交于一点，如直线②；(3)当直线过点P且斜率在(－∞，－k)∪(k，＋∞)上时，直线可能与双曲线的右支交于两点，如直线⑥，也可能与双曲线右支相切，如直线④，还可能与双曲线相离，如直线⑤.题型一

直线与双曲线的位置关系一个公共点的直线有(

)A．1条 B．2条C．3条

D．4条√

(2)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k的取值范围是____________．【解析】由题意知k≠±1，联立消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意此方程有两个不等的正根，状元笔记直线与双曲线位置关系的判断方法将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：(1)若a≠0且Δ>0，则直线与双曲线相交，有两个公共点；(2)若a≠0且Δ＝0，则直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；(3)若a≠0且Δ<0，则直线与双曲线相离，没有公共点；(4)若a＝0且b≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；(5)若a＝0且b＝0，则直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点．

思考题1

(1)直线l：y＝2x和双曲线x2－y2＝4的交点个数为________．0【解析】(几何法)双曲线的渐近线为x2－y2＝0，即y＝±x.∵双曲线焦点在x轴上，l过原点，且l的斜率大于渐近线斜率，∴直线l与双曲线相离，交点个数为0.题型二

弦长问题【解析】(2)由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，状元笔记题型三

中点弦问题【答案】不能，理由见解析状元笔记直线与双曲线相交所得弦的中点问题常用点差法，但是点差法只是代数运算，所以还需验证直线与双曲线是否相交．√

思考题3已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(

)题型四

直线与双曲线的综合问题(1)求双曲线C的标准方程；a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝5，b2＝4，(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．【解析】(2)由题意知直线l不过点A.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，由4－5k2≠0且Δ>0，由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0，2)，且易知AD的斜率存在，(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．(1)当直线l与x轴垂直时，OA⊥OB，求C的离心率；(2)当C的焦距为2时，∠AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围．【解析】(2)若C的焦距为2，则c＝1，即F(1，0)．由于直线l不为水平直线，可设其方程为x＝my＋1.结合b2＝1－a2(0<a<1)，得[a2(m2＋1)－m2]y2＋2m(a2－1)y－(a2－1)2＝0，则a2(m2＋1)－m2≠0，Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，一、圆锥曲线第三定义及其应用【人教A版选修一P108例3，P109练习T4】圆锥曲线的第三定义：平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(除去A1，A2两点)，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．当e2－1＞0时，轨迹为双曲线(除去A1，A2两点)，当－1<e2－1<0时，轨迹为椭圆(除去A1，A2两点)．√二、重温高考√2．【多选题】(2022·全国乙卷，理)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且√√0)，F2(c，0)．当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，设过F1的直线与圆D切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|3．(202